1 $k$-近鄰?fù)扑]原理

2 各種距離

2.1 歐幾里得距離

$$d_{12}=\sqrt{(x_1?x_2{)}^2+(y_1?y_2{)}^2}$$

缺點(diǎn)：歐式距離是一種常用的距離度量，但它并不是尺度不變的，這意味著所計(jì)算的距離可能會(huì)根據(jù)特征的單位發(fā)生傾斜。通常，在使用歐式距離度量之前，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。

此外，隨著數(shù)據(jù)維數(shù)的增加，歐氏距離的作用也就越小。這與維數(shù)災(zāi)難（curse of dimensionality）有關(guān)。

用例：當(dāng)數(shù)據(jù)的維度比較低，歐式距離的效果非常好。如果在低維數(shù)據(jù)上使用歐式距離，則如 $k$-NN 和 HDBSCAN 之類(lèi)的方法可達(dá)到開(kāi)箱即用的效果。

2.2 曼哈頓距離

在曼哈頓街區(qū)要從一個(gè)十字路口開(kāi)車(chē)到另一個(gè)十字路口，駕駛距離顯然不是兩點(diǎn)間的直線距離。這個(gè)實(shí)際駕駛距離就是曼哈頓距離。 曼哈頓距離也稱(chēng)為“城市街區(qū)距離”(City Block distance)。
$$d_{12}=\left|x_1?x_2\right|+\left|y_1?y_2\right|$$

缺點(diǎn)：盡管曼哈頓距離在高維數(shù)據(jù)中可以工作，但它比歐式距離直觀性差。此外，由于它可能不是最短路徑，有可能比歐氏距離給出一個(gè)更高的距離值。

用例：當(dāng)數(shù)據(jù)集具有離散或二進(jìn)制屬性時(shí)，曼哈頓距離似乎工作得很好，因?yàn)樗紤]了在這些屬性值中實(shí)際可以采用的路徑。以歐式距離為例，它會(huì)在兩個(gè)向量之間形成一條直線，但實(shí)際上這是不可能的。

2.3 切比雪夫距離 (Chebyshev Distance)

切比雪夫距離定義為兩個(gè)向量在任意坐標(biāo)維度上的最大差值。換句話說(shuō)，它就是沿著一個(gè)軸的最大距離。切比雪夫距離通常被稱(chēng)為棋盤(pán)距離，因?yàn)閲?guó)際象棋的國(guó)王從一個(gè)方格到另一個(gè)方格的最小步數(shù)等于切比雪夫距離。

$$d_{12}=\max (\left|x_1?x_2\right|,\left|y_1?y_2\right|)$$
缺點(diǎn)：切比雪夫距離通常用于特定的用例，這使得它很難像歐氏距離或余弦相似度那樣作為通用的距離度量。因此，在確定適合用例時(shí)才使用它。

用例：切比雪夫距離用于提取從一個(gè)方塊移動(dòng)到另一個(gè)方塊所需的最小移動(dòng)次數(shù)。此外，在允許無(wú)限制八向移動(dòng)的游戲中，這可能是有用的方法。在實(shí)踐中，切比雪夫距離經(jīng)常用于倉(cāng)庫(kù)物流，因?yàn)樗浅ｎ?lèi)似于起重機(jī)移動(dòng)一個(gè)物體的時(shí)間。

2.4 余弦距離

$$d_{12}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$

缺點(diǎn)：余弦相似度的一個(gè)主要缺點(diǎn)是沒(méi)有考慮向量的大小，而只考慮它們的方向。以推薦系統(tǒng)為例，余弦相似度就沒(méi)有考慮到不同用戶之間評(píng)分尺度的差異。

用例：當(dāng)我們對(duì)高維數(shù)據(jù)向量的大小不關(guān)注時(shí)，可以使用余弦相似度。對(duì)于文本分析，當(dāng)數(shù)據(jù)以單詞計(jì)數(shù)表示時(shí)，經(jīng)常使用此度量。例如，當(dāng)一個(gè)單詞在一個(gè)文檔中比另一個(gè)單詞更頻繁出現(xiàn)時(shí)，這并不一定意味著文檔與該單詞更相關(guān)。可能是文件長(zhǎng)度不均勻或者計(jì)數(shù)的重要性不太重要。我們最好使用忽略幅度的余弦相似度。

2.5 閔氏距離（Minkowski）

$$d_{12}=[(x_1?x_2{)}^p+(y_1?y_2{)}^p{]}^{\frac{1}{p}}$$

最有趣的一點(diǎn)是，我們可以使用參數(shù) $p$ 來(lái)操縱距離度量，使其與其他度量非常相似。常見(jiàn)的 $p$ 值有：

• $p=1$：曼哈頓距離
• $p=2$：歐氏距離
• $p=\infty$：切比雪夫距離

缺點(diǎn)：閔氏距離與它們所代表的距離度量有相同的缺點(diǎn)，因此，對(duì)曼哈頓距離、歐幾里得距離和切比雪夫距離等度量標(biāo)準(zhǔn)有個(gè)好的理解非常重要。此外，參數(shù)$p$ 的使用可能很麻煩，因?yàn)楦鶕?jù)用例，查找正確的 $p$ 值在計(jì)算上效率低。

用例：$p$的積極一面是可迭代，并找到最適合用例的距離度量。它允許在距離度量上有很大的靈活性，如果你非常熟悉 $p$和許多距離度量，將會(huì)獲益多多。

2.6 雅卡爾指數(shù)（Jaccard Index）

雅卡爾指數(shù)（交并比）是用于比較樣本集相似性與多樣性的統(tǒng)計(jì)量。雅卡爾系數(shù)能夠量度有限樣本集合的相似度，其定義為兩個(gè)集合交集大小與并集大小之間的比例。

$$d_{AB}=1?\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$$

缺點(diǎn)：雅卡爾指數(shù)的一個(gè)主要缺點(diǎn)是它受數(shù)據(jù)大小的影響很大。大數(shù)據(jù)集對(duì)指數(shù)有很大影響，因?yàn)樗梢燥@著增加并集，同時(shí)保持交集相似。
用例：雅卡爾指數(shù)通常用于使用二進(jìn)制或二進(jìn)制數(shù)據(jù)的應(yīng)用程序中。當(dāng)你有一個(gè)深度學(xué)習(xí)模型來(lái)預(yù)測(cè)圖像分割時(shí)，比如一輛汽車(chē)，雅卡爾指數(shù)可以用來(lái)計(jì)算給定真實(shí)標(biāo)簽的預(yù)測(cè)分割的準(zhǔn)確度。
類(lèi)似地，它可以用于文本相似性分析，以測(cè)量文檔之間有多少詞語(yǔ)重疊。因此，它可以用來(lái)比較模式集合。

2.7 漢明距離（Hamming Distance）

漢明距離是兩個(gè)向量之間不同值的個(gè)數(shù)。它通常用于比較兩個(gè)相同長(zhǎng)度的二進(jìn)制字符串。它還可以用于字符串，通過(guò)計(jì)算不同字符的數(shù)量來(lái)比較它們之間的相似程度。

缺點(diǎn)：當(dāng)兩個(gè)向量長(zhǎng)度不相等時(shí)，漢明距離使用起來(lái)很麻煩。當(dāng)幅度是重要指標(biāo)時(shí)，建議不要使用此距離指標(biāo)。

用例：典型的用例包括數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)的錯(cuò)誤糾正 / 檢測(cè)。它可以用來(lái)確定二進(jìn)制字中失真的數(shù)目，作為估計(jì)誤差的一種方法。此外，你還可以使用漢明距離來(lái)度量分類(lèi)變量之間的距離。

2.8 半正矢（Haversine）

半正矢距離是指球面上的兩點(diǎn)在給定經(jīng)緯度條件下的距離。它與歐幾里得距離非常相似，因?yàn)樗梢杂?jì)算兩點(diǎn)之間的最短連線。主要區(qū)別在于半正矢距離不可能有直線，因?yàn)檫@里的假設(shè)是兩個(gè)點(diǎn)都在一個(gè)球面上。
$$d=2\mathrm{rarcsin}\left(\sqrt{{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2?{\phi }_1}{2}\right)+\cos \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right){\sin }^2\left(\frac{{\lambda }_2?{\lambda }_1}{2}\right)}\right)$$
符號(hào)說(shuō)明：
$d$：兩點(diǎn)之間的距離；
$r$：球的半徑；
${\phi }_1,{\phi }_2$：點(diǎn)1和點(diǎn)2的緯度，以弧度制度量；
${\lambda }_1,{\lambda }_2$：點(diǎn)1和點(diǎn)2的經(jīng)度，以弧度制度量。

缺點(diǎn)：這種距離測(cè)量的一個(gè)缺點(diǎn)是，假定這些點(diǎn)位于一個(gè)球體上。實(shí)際上，這種情況很少出現(xiàn)，例如，地球不是完美的圓形，在某些情況下可能使計(jì)算變得困難。相反，如果假定是橢球，使用 Vincenty 距離比較好。

用例：半正矢距離通常用于導(dǎo)航。例如，你可以使用它來(lái)計(jì)算兩個(gè)國(guó)家之間的飛行距離。請(qǐng)注意，如果距離本身不那么大，則不太適合。

2.9 S?rensen-Dice 系數(shù)

S?rensen-Dice 系數(shù)與雅卡爾指數(shù)非常相似，都是度量樣本集的相似性和多樣性。盡管它們的計(jì)算方法相似，但是 S?rensen-Dice 系數(shù)更直觀一些，因?yàn)樗梢员灰暈閮蓚€(gè)集合之間重疊的百分比，這個(gè)值在 0 到 1 之間：
$$D(A,B)=\frac{2|A\cap B|}{|A|+|B|}$$

缺點(diǎn)：正如雅卡爾指數(shù)，S?rensen-Dice 系數(shù)也夸大了很少或沒(méi)有真值的集合的重要性，因此，它可以控制多集合的平均得分，還可以控制多組平均得分并按相關(guān)集合的大小成反比地加權(quán)每個(gè)項(xiàng)目，而不是平等對(duì)待它們。

用例：用例與雅卡爾指數(shù)相似，它通常用于圖像分割任務(wù)或文本相似性分析。

2.10 M-Distance

Mei Zheng, Fan Min, Heng-Ru Zhang, Wen-Bin Chen, Fast recommendations with the M-distance, IEEE Access 4 (2016) 1464–1468.

2.11 MCFV

Heng-Ru Zhang, Fan Min, Zhi-Heng Zhang, Song Wang, Efficient collaborative filtering recommendations with multi-channel feature vectors. International Journal of Machine Learning & Cybernetics. (2019)1165–1172.

2.12 三角距離Triangle

$$\begin{gathered} \mathrm{Triangle}\left(i_j,i_q\right)=\mathrm{Triangle}(OA,OB)=1?\frac{|AB|}{|OA|+|OB|} \\ \mathrm{Triangle}\left(i_j,i_q\right)=1?\frac{\sqrt{{\sum }_{u\in C_{ij,i_q}}{\left(r_{u,j}?r_{u,q}\right)}^2}}{\sqrt{{\sum }_{u\in C_{i,i,q}}{r}_{u,j}^2}+\sqrt{{\sum }_{u\in C_{i,i,q}}{r}_{u,q}^2}} \end{gathered}$$

where $OA$ is the rating vector of $i_j$, $OB$ is the rating vector of $i_q$.

Triangle considers both the length of vectors and the angle between them, so it is more reasonable than the angle based Cosine measure. For example, given the two vectors A = (5, 5, 5) and B = (1, 1, 1), the Cosine similarity is 1, which is contrary to common sense. In contrast, the Triangle similarity between them is 0.33, more in line with expectations.
三角距離既考慮了向量的長(zhǎng)度，也考慮了它們之間的夾角，因此比基于角度的余弦測(cè)度更合理。 例如，給定兩個(gè)向量 A = (5, 5, 5) 和 B = (1, 1, 1)，則余弦相似度為 1，這與常識(shí)相反。 相比之下，它們之間的三角形相似度為0.33，更符合預(yù)期。

Shuang-Bo Sun, Zhi-Heng Zhang, Xin-Ling Dong, Heng-Ru Zhang, Tong-Jun Li, Lin Zhang, Fan Min, Integrating Triangle and Jaccard similarities for recommendation, PLOS ONE 12 (8) (2017) 1–16.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的k近邻推荐用到的各种距离的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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