【注】：閱讀該文章之前，建議先閱讀筆者的前幾篇文章：指數(shù)函數(shù)和自然對數(shù)、揭秘自然對數(shù)（ln）、從群論角度理解歐拉公式。

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個人看來，傅里葉變換是最深刻的見解之一。不幸的是，這個意義被隱藏在晦澀難懂的無窮級數(shù)中：

與其直接理解這些復雜的符號，不如讓我們從生活出發(fā)，直觀地理解它。

平時做飯的時候，比如做一個蛋炒飯，需要蛋，需要飯，還需要鹽巴等等，而通過某種方式將這些混合起來，就變成了蛋炒飯。

如果是從業(yè)多年的廚師，你給他個蛋炒飯，他能告訴你，這蛋炒飯由哪些原料烹飪而成。而傅里葉也具備這樣的能力。

當你給它一個信號（或函數(shù)）,傅里葉變換能采用基于時間的模式，測量該信號（或函數(shù)）的每一個可能周期，告訴你組成該信號（或函數(shù)）的循環(huán)周期的振幅、偏移量和旋轉(zhuǎn)速度等“原料”。

傅里葉變換給予我們一種新思維，讓我們從思考“這是什么”轉(zhuǎn)變?yōu)樗伎肌斑@是如何產(chǎn)生的”。

那么，傅里葉變換是如何找到各個周期函數(shù)的“原料”的呢？這就是接下來要討論的問題了。

假設我們有很多過濾網(wǎng)，上面的孔徑大小不同，將蛋炒飯往過濾網(wǎng)上一倒

第一個，網(wǎng)孔最大的過濾網(wǎng)把蛋過濾了出來

第二個，網(wǎng)孔適中的過濾網(wǎng)把飯過濾了出來

第三個，網(wǎng)孔較小的過濾網(wǎng)把鹽巴過濾了出來

………………

通過無數(shù)孔徑不一的過濾網(wǎng)，不同“原料”被過濾出來，而這些過濾網(wǎng)統(tǒng)稱為“過濾器(filter)”。

傅里葉是這么說的：“任何信號（或函數(shù)）都可以轉(zhuǎn)換成無窮多個周期函數(shù)的和。”

【題外話】：筆者最喜歡的兩個數(shù)學家分別是“泰勒”和“傅里葉”，他們的兩個定理貌似揭示了世界的真理。

泰勒說：“任何函數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成無窮多個冪函數(shù)的和。”

“泰勒的這句話，給后來計算機的發(fā)展帶來了巨大貢獻，舉個例子，計算機并沒辦法計算類似于sin、cos這樣的函數(shù)，只能通過將他們轉(zhuǎn)換為各個冪函數(shù)的和來實現(xiàn)。”

傅里葉說：“任何信號（或函數(shù)）都可以轉(zhuǎn)換成無窮多個周期函數(shù)的和。”這句話的涵義，我們后面會慢慢細講。

傅里葉變換用濾波器把一個基于時間的信號（或函數(shù)）的每個“圓形原料”分解出來。

【注】：所謂“圓形原料”，思考一下，我們高中所學的圓周運動，它是否就包含了一定的循環(huán)周期、振幅、偏移量和旋轉(zhuǎn)速度等“原料”？所以這里用“圓形原料”指代這些“原料”。

如果地震波可被分解，找出不同的振幅和速度，那么我們可以針對地震的特定振幅和速度設計對應的抗震建筑物。

如果聲波可被分解成低音和高音，我們就可以放大我們關心的部分，縮小我們不關心的部分。

? ? "比如你喜歡小提琴，那便可以提高高音部分，隱去低音部分。

? ? 如果你喜歡低音貝斯，那么你就可以提高低音部分，隱去高音部分。"

如果計算機數(shù)據(jù)可以用震蕩波形表示，且其中包含可忽略的數(shù)據(jù)，那么就可以用傅里葉變換濾去不重要的數(shù)據(jù)。這在數(shù)據(jù)科學中被叫為“數(shù)據(jù)濾波器”。

如果是收音機的無線電波，那么我們就可以收聽到特定頻率的廣播。

傅里葉變換在工程中的應用是十分廣泛的，以上舉例的只是小小一部分，希望能助于你們理解傅里葉變換背后的根源。

我們重新看看剛剛的公式

相當于單位向量繞著原點旋轉(zhuǎn)角

由此我們可以推出就是單位向量繞著原點旋轉(zhuǎn)一周

不難看出，傅里葉變換公式可以這么理解：

就是長度為的向量繞著原點旋轉(zhuǎn)?圈

把這些不同單位向量的旋轉(zhuǎn)疊加起來就是原信號（或原函數(shù)）

那么將原信號分解為多個圓相加是什么意思呢？

我們這么看，首先我們建立一個X軸和Y軸，并且再建立一個軸。

一個小球以軸為圓心，綠線為半徑進行旋轉(zhuǎn)，并且邊旋轉(zhuǎn)邊上升。

接下來我們對坐標進行一個旋轉(zhuǎn)，從另外一個角度來看看這個旋轉(zhuǎn)過程

我們似乎發(fā)現(xiàn)了什么，我們對坐標繼續(xù)的進行旋轉(zhuǎn)，沒錯這就是我們的函數(shù)

而從坐標系上方往下看是這樣子的

他是由一個一個的圓形組成的，而傅里葉變換就是將不同種類的圓形分解出來。

現(xiàn)在我們在加上一個紅色的圓

同樣的，讓他們一起旋轉(zhuǎn)起來

換個角度來看，這就是

?

這里有一種動圖，大家可以更好的理解這個過程。

所以，我們很直觀的發(fā)現(xiàn)，傅里葉變換其實就是一個找圓的過程，將不同的信號（或函數(shù)）分解成不同的圓形，當他們疊加起來就又變回我們原有的信號（或函數(shù)）。

∑編輯:Gemini

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的细讲傅立叶变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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