感謝理解完指數(shù)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)和自然對(duì)數(shù)），下一個(gè)目標(biāo)就是對(duì)數(shù)函數(shù)。數(shù)學(xué)中對(duì)自然對(duì)數(shù)的定義是的逆運(yùn)算，但有一個(gè)更形象的理解：自然對(duì)數(shù)刻畫(huà)了復(fù)合利率的增長(zhǎng)時(shí)間

假設(shè)你的投資有100%的回報(bào)率，并保持復(fù)利。如果你想獲得10倍的增長(zhǎng)，那么你只需要等待年。接下來(lái)我將給大家解釋為什么是這個(gè)數(shù)字。

e 的指數(shù)函數(shù)和自然對(duì)數(shù)互為逆運(yùn)算：

e 是單位時(shí)間的增長(zhǎng)的總量倍數(shù)

自然對(duì)數(shù)(ln) 是在復(fù)利增長(zhǎng)的條件下，增長(zhǎng)到某一數(shù)量級(jí)所需要的時(shí)間

可別被費(fèi)解的名詞解釋嚇到！深吸一口氣，跟隨筆者一道，讓我們進(jìn)入e的內(nèi)部一探究竟！

e--關(guān)于增長(zhǎng)

正如我們上次所說(shuō)的那樣，描述了復(fù)合增長(zhǎng)率乘以時(shí)間的情形：連續(xù)3年保持100%的增長(zhǎng)，和在1年里有300%的增長(zhǎng)，最終效果是一樣的。

我們可以使用任意的復(fù)合利率和時(shí)間，將其轉(zhuǎn)化為利率為100%時(shí)所需要的時(shí)間。這樣我們就只需要考慮時(shí)間分量。

例如：

在50%的增長(zhǎng)率下增長(zhǎng)4年，可以轉(zhuǎn)化為在100%的增長(zhǎng)率下增長(zhǎng)2年。即：

所以，含義是：

在增長(zhǎng)了x個(gè)單位時(shí)間后，我能得到多少？

例如：在增長(zhǎng)了3個(gè)單位時(shí)間后，我就得到倍的東西。

所以e是一個(gè)單位因子，他向我們展示了單位時(shí)間內(nèi)的復(fù)合增長(zhǎng)率。

ln--關(guān)于時(shí)間

自然對(duì)數(shù)是的逆運(yùn)算，那么逆運(yùn)算是什么意思呢？

的x是代表時(shí)間，而計(jì)算結(jié)果是增長(zhǎng)倍數(shù)。

lnx的x是代表增長(zhǎng)倍數(shù)，而計(jì)算結(jié)果是時(shí)間。

例如：

假設(shè)增長(zhǎng)率為100%，我們有：

經(jīng)過(guò)3個(gè)單位長(zhǎng)度的時(shí)間，我們得到了20.08倍的東西。

如果我們要得到20.08倍的東西，大約需要3個(gè)單位時(shí)間。

自然對(duì)數(shù)并不“自然”

什么是ln(1)呢？我需要多少天的復(fù)利增長(zhǎng)才能獲得原總數(shù)的1倍。答案很顯然：0。

那么小數(shù)值會(huì)是怎么樣的呢？我們需要花多少時(shí)間來(lái)增長(zhǎng)到0.5倍呢？假設(shè)我們的復(fù)合利率仍為100%，那么我們知道就是得到兩倍東西所需要的時(shí)間。”增長(zhǎng)到0.5倍“也就是說(shuō)：倒退到現(xiàn)有金錢的一半所需要的時(shí)間，即：

其中，負(fù)數(shù)的意思就是時(shí)間倒退，即我們需要倒退約為0.693個(gè)單位時(shí)間就會(huì)回到現(xiàn)在金錢的一半。一般來(lái)說(shuō)，我們可以求該小數(shù)或者分?jǐn)?shù)的倒數(shù)來(lái)求得倒退所需的時(shí)間。

再進(jìn)行一次思維實(shí)驗(yàn)：假設(shè)你有一筆金錢，它如何從1增長(zhǎng)到-3倍呢？

顯然這是不可能的，我們擁有的金錢數(shù)只能大于或等于0。所以對(duì)于自然對(duì)數(shù)來(lái)說(shuō)，負(fù)數(shù)是沒(méi)有定義的。

有趣的對(duì)數(shù)乘法

我需要花多少時(shí)間來(lái)增長(zhǎng)到40倍呢？綜上所述，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成符號(hào)式即為。但是，我們換種思考方式，我們可以把40倍的增長(zhǎng)看作先從1增長(zhǎng)到4，即：先翻4倍，然后再?gòu)?增長(zhǎng)到40，即：再翻10倍。即：

任何數(shù)字都可以這樣拆開(kāi)，如：要增長(zhǎng)到原來(lái)的20倍，那么，就可以看成先增長(zhǎng)2倍再增長(zhǎng)10倍，或者先找找5倍再增長(zhǎng)4倍等等。

不失一般性：

那么對(duì)于分?jǐn)?shù)來(lái)講是如何的呢？例如，根據(jù)上述知識(shí)，我們很快能理解，其意思是先增長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，再退回現(xiàn)在的1/3。又知道是倒退了的時(shí)間，即：

所以原式可寫成如下：

不失一般性：

我們可以看到，看似抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，背后都蘊(yùn)含著實(shí)際的意義

自然對(duì)數(shù)在復(fù)利中的使用

到這里你已經(jīng)基本明白了自然對(duì)數(shù)，但是你仍然會(huì)問(wèn)，上述問(wèn)題都是假設(shè)復(fù)合利率是100%，但是更多的時(shí)候我們的復(fù)合增長(zhǎng)率不是100%，而是其他數(shù)值，如5%，那么怎么辦呢？

Ok，沒(méi)問(wèn)題，我們的ln( )實(shí)際上是由利率和時(shí)間復(fù)合而成的，他就是上篇文章我們說(shuō)到中的x。只是我們假設(shè)復(fù)利為100%使得我們的問(wèn)題更容易理解，但是我們?nèi)匀豢梢允褂萌魏蔚睦省?/span>

假設(shè)我們需要在復(fù)利為100%的情況下得到30倍的增長(zhǎng)，即：

我也可以寫成:

顯然，這個(gè)方程意味著在100%的復(fù)利中，3.4年可以增長(zhǎng)30倍。上次講到，其實(shí)這個(gè)3.4是由時(shí)間乘以利率獲得的，即：

事實(shí)上，我只需要修改“時(shí)間”和“利率”就行了。例如我們要在5%的復(fù)利下增長(zhǎng)30倍，即：

顯然，我們以100%的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)30倍需要3.4年，如果增長(zhǎng)率大一倍，則時(shí)間就會(huì)短一半，如果增長(zhǎng)率變小了，則時(shí)間也會(huì)變長(zhǎng)。

有趣！他們的結(jié)果都是相同的對(duì)么？自然對(duì)數(shù)可以使用任何的利率和時(shí)間，你可以修改任何你想修改的變量。

關(guān)于ln（e）

最后給大家一個(gè)小小問(wèn)題看看大家理解了沒(méi)有呢？即ln（e）是什么意思呢？

數(shù)學(xué)家可能會(huì)回答：因?yàn)樽匀粚?duì)數(shù)是e的逆，所以

看了這篇文章的你可能會(huì)回答：ln（e）是獲得e倍所需要的時(shí)間，而e是單位時(shí)間的增長(zhǎng)倍數(shù)，所以ln（e）=1

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總結(jié)

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