纯粹数学的兴起
微積分的發明帶來許多成功應用，但其不足之處也招致許多批評。19世紀一些數學家對這些問題的處理導致純粹數學的產生與發展，時至今日，純粹數學已成為數學的主流。
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理解任何一門學問，不僅應該知道它屬于哪個領域，還要曉得它同這個領域其他學科有什么不同[1]。以數學而論，它被公認是門科學，可是它和典型的自然科學——物理學是否一回事呢？其實，這是個哲學問題，有不同觀點是很自然的[2]。19世紀很多數學家認為數學和物理沒什么區別，甚至到20世紀，許多大數學家，例如榮獲菲爾茲獎和沃爾夫數學獎的小平邦彥以及今年（2015年）獲得數學最高獎阿貝爾獎的尼倫伯格（L.Nirenberg，1925— ）都是這么想的。但是，許多數學家認為兩者有很大差別，不妨舉出其中三點。
（1）物理研究的是客觀的物質世界，數學研究的是人想出來的理念世界。
（2）物理的真理是靠觀察、實驗來檢驗，有一定的局限性（誤差），而數學的真理帶有“絕對”的性質。舉一個簡單的例子：圓周率π的小數點后第100位、第1000位乃至任何一位都是唯一的數碼；而物理中的普適常數——光速或普朗克常量，無論用什么單位，不用說100位靠不住，第50位、第30位是否能準確達到還很難說。
（3）從方法上講，數學全靠拍腦袋，而物理學要靠實驗，正因為如此，牛頓以后的物理學形成三大分支：理論物理、實驗物理、數學物理。數學只有在極其個別的情形才有人提到理論數學、實驗數學（不少人做過擲硬幣的試驗）。不過在自然科學幾乎沒人談起的純物理、純化學，卻有數學的對應物——純粹數學。
純粹數學一詞正式出現在數學文獻中是在19世紀初，當時有三種專業數學期刊正式標有純粹數學的字樣，它們是：1810年法國數學家熱爾戈納（J. D. Gergonne，1771—1859）創辦的《純粹與應用數學年刊》（Annales de mathématiques pures et appliquées）；1826年德國數學家克雷勒（A. L. Crelle，1780—1855）創辦的《純粹與應用數學雜志》（Journal für die reine und angewandte Mathematik），常簡稱為《克雷勒雜志》；1836年法國數學家劉維爾（J. Liouville，1809—1882）創辦的、與《克雷勒雜志》競爭的《純粹與應用數學雜志》（Journal de mathématiques pures et appliquées）。
這三種數學期刊不約而同地選用“純粹數學”的稱謂表明：純粹數學的概念已經成熟；純粹數學是應用數學的對立面；純粹數學取得一定的合法地位，為其不斷擴張打下基礎。
請注意，這些都是與當時整個社會的革命形勢分不開的，具體到數學，數學家開始職業化、專業化，他們不僅要教學，還要搞科研，搞科研就要有專業雜志發表成果，沒有成果不用說提職提級，可能連飯碗都保不住。200年來，純粹數學的旗幟為許多天才數學家的創新提供了機會。在這個意義下，挪威人阿貝爾（N. H.Abel，1802—1829）可以說是第一位純粹數學家[3]。時至今日，純粹數學已經成為整個數學的主流。
是什么使人人都懂、人人都會的基礎數學變成很少人才能理解的純粹數學呢？答案是微積分。
從初等數學到高等數學
微積分是17世紀末由英國科學家牛頓（I. Newton，1643—1727）和德國科學家萊布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）獨立發明的。我們習慣于把之前的數學稱為初等數學，而把微積分及其后的發展特別是微分方程（包括常微分方程及方程組，偏微分方程及方程組，變分法等）稱為高等數學。為了保持歷史連貫性，不妨把初等數學歸納為十大學科：
（1） 算術，
（2） 數值代數；
它們可稱為中國的算學。
（3） 幾何，
（4） 三角；
它們可稱為希臘的幾何。
下面六個學科則是17世紀的產物，這里把每個學科的創立者列在其后。
（5） 符號代數：韋達（F. Viète，1540—1603）；
（6）初等數論：費馬（P. de Fermat，1601？—1665）；
（7）解析幾何：笛卡兒（R. Descartes，1596—1650）與費馬；
（8）射影幾何：德薩格（G. Desargues，1591—1661）與帕斯卡（B. Pascal，1623—1662）；
（9）初等概率演算：帕斯卡與費馬；
（10）初等組合學：帕斯卡。
初等數學的主要特色是它構成基礎教育的重要組成部分，它是面向大眾的，雖說有些部分對一些人有一定難度，但多數人還是能夠理解，就像炒股的大媽也懂得股票的漲落圖表示什么意思一樣。與之對立，高等數學可就高得多了。首先是學起來很難，盡管微積分經過300年的簡化和普及，大多數高中生還是不易搞明白。更重要的是，微積分可能解決的問題不是初等數學方法所能應付的。
克雷勒（左）與阿貝爾紀念郵票 阿貝爾是19世紀上半葉挪威杰出的青年數學家，也被認為是歷史上第一位純粹數學家。由于挪威地處偏遠等各種原因，使阿貝爾生前沒有受到身處數學中心的法、德的大數學家的足夠重視。倒是一位知名度不高的數學家兼工程師克雷勒慧眼識才，阿貝爾在其創辦的《克雷勒雜志》上發表了不少高質量論文，漸漸得到數學界的認可。可惜當時的阿貝爾已是窮困潦倒，27歲時因病去世，幾天后克雷勒的信到了，信中告訴他柏林大學已授予他教授職位。《克雷勒雜志》在數學界名揚天下，不能不說與阿貝爾有關。
微積分、微分方程及其后來的發展可以說成果累累、戰績輝煌。一句話，它推動了科學革命。具體講，它建立了各門學科體系，解決大量的實際問題。它的威力顯示在下面的程式上：
建立物理模型→依據物理定律或假說提出數學模型（主要是微分方程）→求解方程→結果與實際情形的比對。
無論哪一門學科，最驚人的成就在于不僅能夠圓滿解釋已發現的現象，更能預見或預言前所未知的事實。舉三個例子來說明靠求解微分方程得出的重大預言。
海王星的發現
世界各地很早就都知道地球之外的五大行星：水、金、火、木、土，而第七大行星天王星和第八大行星海王星是靠完全不同方法發現。天王星是赫歇爾（ W. Hershel，1738—1822）在1781年發現的，他靠的是改進望遠鏡進行巡天普查。海王星的情況則是先用數學算出其大致在某時刻出沒的區域，再用望遠鏡看到的。
電磁波的預言
19世紀最偉大的科學成就無疑是電磁學。由于麥克斯韋（J. C. Maxwell，1831—1879）歸結為十個方程的麥克斯韋方程組，求解方程得出電磁波的預言，其成果之偉大是怎么說也不過分的。它是科學中完美的三結合：法拉第（M. Faraday，1791—1867）的實驗，麥克斯韋的理論思維，以及數學的求解。
數值天氣預報
天氣預報根據的是極其復雜的偏微分方程組。即使經過明顯的簡化也很難求出精確解（也就是能預報出某時某刻在你家門口能見到“東邊日出西邊雨”的景象）。對此，數學家會去求近似解、數值解。1922年數學家已找到近似方法，但預報明天的天氣得等到后天之后。電子計算機問世之后，第一件普惠的事業就是在1954年實現短期天氣預報。
上面三個例子顯示出數學的超前預測能力，當然也有“事后諸葛亮”的情形。1834年，一位叫拉塞爾（J.S. Russell，1808—1882）的英國土木工程師，在一條水道上看到“孤立波”的現象，他稱之為“平移波”（translation wave）。他求教于一些大科學家如斯托克斯（G.Stokes，1819—1903），也沒能得到很好的解釋。1894年，兩位荷蘭數學家提出淺水波方程，即著名的KdV方程。這方程高度非線性，沒人會解。一直到1966年，一組美國數學家居然成功地得出該方程的精確解，該解被稱為孤立子（solitons）。它不僅成功解釋拉塞爾發現的平移波現象，而且帶動一套數理方程的求解，還發現方程和解與純粹數學（代數幾何）的關聯。
微積分（以及微分方程）帶來眾多重要成果，但它也不是十全十美的。它至少有三方面不足之處，而正是這些不足之處引導純粹數學的產生與發展。
微積分（和微分方程）威力如此之大，它還有什么不足之處呢？
微分方程難于求解
如前所述，一門學科中得出微分方程是關鍵一步，然而要取得具體結果就要求解方程。但這是極為困難的事。這時出現兩種不同的態度：科學家采用近似方法、數值方法等力求得出具體的結果——這可以說是應用數學的傾向；同時也有少數數學家堅持求精確解的觀點，雖然暫時辦不到，但他們去研究方程與解的關系，如果有解應該有什么性質，解的存在性、唯一性、正則性等等。正是這些研究導致純粹數學的產生與發展。越來越多的成果也使得從牛頓時代以來就難解的問題取得突出的進步。牛頓解決了二體問題，但“三體問題”（如太陽、地球、月亮之間的相對位置和速度）一直是大難題，在18世紀靠近似方法解決一些特殊情形。純粹數學家有足夠耐心進行各種理論探討，建立起微分方程定性理論乃至拓撲學這樣的大理論，其應用遠遠超出狹窄具體問題的范圍。20世紀，對付難解的非線性方程也取得重大進展。因《美麗心靈》而揚名天下的納什（J. F. Nash，1928—2015）不僅在博弈論方面為人所知，而且在非線性分析中取得突出進展，與尼倫伯格一起榮獲2015年阿貝爾獎。正是由于這些純粹數學家的工作，數學保持它那“精密科學”的盛名。
微積分不嚴格
微積分之前的初等數學，沒有人懷疑它們的可靠性。初等數學的可靠性有兩個標桿：一個是正整數與正分數的運算，另一個是歐幾里得幾何。后一個比較復雜，先談第一個，為了嚴密可靠，這里的運算先不考慮減法，只談加法、乘法和除法，為了保證運算的確定性、嚴密性、可靠性、存在性、唯一性等，設置了三個禁區：（1）計算的對象只是正整數和正分數；（2）只進行有限次運算；（3）如果把0也“定義”為正整數，那么0不可以做除數，0/0無意義。
可是牛頓和萊布尼茨發明微積分時，都跨過禁區的紅線，最突出的是引入所謂“無窮小量”。本來無理數的引入就產生麻煩，何況這個莫名其妙的無窮小量呢？可是沒有它又不行，微分即無窮小量，導數就是無窮小量相除，而積分則是無窮多個無窮小量的和。正因為如此，微積分最早被稱為“無窮小演算”。牛頓的術語有所不同，但本質上沒什么差別。難怪他們兩位打一場“哲學家的戰爭”。整個18世紀，有些人大膽使用，并取得豐碩成果，也有人表示懷疑大加批判。這使得數學家處于兩難困境：微積分應用巨大成功與計算過程完全不可靠。
19世紀的純粹數學家開始打掃戰場，為原來不允許的運算立下規矩，首先是無窮級數的收斂與發散問題。正是阿貝爾首先認真談到這個問題并率先給出收斂性判據（準則），其后出現幾十個判據。很少人想到，為什么難懂的微積分17世紀就有了，而容易懂的無窮級數的收斂與發散到19世紀才出現，其實這正是19世紀純粹數學要把不嚴格的微積分嚴格化的第一步。其后，法國數學家柯西（A. -L. Cauchy，1789—1857）把模糊的無窮小概念從微積分中清除出去，最后，德國數學家魏爾斯特拉斯（K. Weierstrass，1815—1897）完全清除掉微積分中幾何直觀的痕跡，他構造出處處連續、處處不可微的函數（對應一條連續曲線處處沒有切線），他把微積分完全建立在嚴格基礎上，保留數學可靠性的特色。
微積分缺少完美的理論體系
微積分與過去整數、分數的代數運算完全不同，涉及許多全新的概念，這些概念一直模糊不清，更不用說完美的理論體系了。這些概念包括實數、函數、極限、連續、導數、微分、不定積分、定積分、可微、解析、偏導數等等。經過18世紀特別是19世紀一些大數學家的努力，微積分及其后微分方程逐步建成一個嚴格的理論體系，其中最核心的是函數論，不僅有建立在實數理論上的實變函數論，而且出現了復變函數論，它們連同微分方程的各種理論形成了分析數學這個龐大的純粹數學領域。到20世紀中，分析數學一直是數學的主流，它一直顯示數學的兩大本質特征：內涵的豐富性與應用的廣泛性，其應用也不僅限于自然科學，還進入像經濟學這類學科[4]。
微積分經過200年的發展，純粹數學經過100年的發展，到19世紀末，數學的面貌已經產生巨大的變化，就連對純粹數學的看法也有戲劇性的改變。《克雷勒雜志》仍是權威的數學雜志（2015年已出到第700卷），只是應用數學那部分名不符實，因此有人把刊名中的d去掉，戲稱之為“純粹無用數學雜志”（Journal für die reine unangewandte Mathematik）。它不僅不考慮實際應用，而且清除掉初等數學的內容，變得高不可攀。純粹數學與應用數學只有對立，沒有統一。今天的數學已成為純粹數學的一統天下，“純粹”的帽子已經很少有人提起了。
純粹數學的作用，通過從18世紀末和19世紀末的對比，就可以看得十分清楚。18世紀末，所有大數學家都有共識：數學思想已差不多窮盡，幾十年內數學停滯不前，剩不下三位大數學家。有人甚至說，數學地位同阿拉伯語差不多，而這正是基礎教育課的特色。實際上，所有基礎教育無非是語文和初等數學，它們都是老一套，不會有太多新意。沒想到從19世紀初起，關于數學的看法都被證明大錯特錯。正是純粹數學把數學提高到一個博大精深的科研領域，就像物理、化學、生物學、醫學等一樣，之所以取得這樣成果，源于下面三個方面取得突破。
（1）在少量初等對象（如數、三角形、圓等）之外，提出大量人工研究對象，例如函數、極限等，并構作其理論（如代數方程論、微分方程論等）。
（2）提出大量難易不等的問題。問題是任何學科的生命，過去初等數學只有一些平凡無聊的問題，也有一些極難問題，如費馬大定理和哥德巴赫猜想等，直到很晚才解決或至今未解決。
（3）方法上的突破。微積分和微分方程成為研究幾何的有力工具（微分幾何），復分析推動解析數論大進步。
正因為如此，19世紀數學著作的體量是1800年以前全部數學著作的10倍，并形成數論、代數、幾何、分析四大分支。
[1] Gowers T, ed. The Princeton companion in mathematics. Princeton：Princeton University Press，2008.
[2] 胡作玄. 數學是什么. 北京：北京大學出版社，2008.
[3] 胡作玄. 近代數學史. 濟南：山東教育出版社，2006.
[4] 胡作玄. 數學與社會. 大連：大連理工大學出版社，2008.
[5] 胡作玄. 純粹數學用武何地. 科學，1995，47（5）：12-17.
來源：中國數學會
編輯：Gemini
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