65年前火起來的著名物理學者回答好萊塢高中生的一封信

原文作者：David Topper 、Dwight E. Vincent

翻譯作者：算法與數學之美翻譯組成員 ??校對：算數君

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圖 1愛因斯坦在1953年公開發表他的統一場理論，數月之前給一位急切的高中生回了一封信

1952年5月初，時年73歲的阿爾伯特·愛因斯坦短暫從他對統一場理論三十多年的探索中解脫出來，幫助一個14歲的小女孩解決一些高中幾何問題。

尋求幫助的請求來自于洛杉磯西湖女子學校高中二年級的學生Johanna?Mankiewiczs。Johanna是曾經和Orson Welles共同撰寫過著名電影《公民凱恩》劇本的編劇Herman Mankiewicz的女兒。她的叔叔是著名制作人兼導演的Joseph Mankiewicz。她的一些同學，像Jane Fonda后來都成為了電影明星。

Johanna在好萊塢的學習生活環境可能有助于接觸當時美國科學界最大的名人，因為當她和她的幾何學同學被一個棘手的作業難題困擾時，她想到了阿爾伯特·愛因斯坦。毫無疑問，像愛因斯坦這樣的人顯然要比從不為人知的西湖數學老師要強得多。她在給愛因斯坦的郵件中寫道：“我意識到你是一個非常忙碌的人，但是你是我唯一知道誰能夠給我們提供答案的人。”在向愛因斯坦闡述她所遇到的難題時，她還注釋說：“我認為你會同意我的看法的，這是最難的問題之一！”

雖然Johanna不知道，但愛因斯坦的確習慣于回答那些他認為真實來自公眾孩子們的信。他經常會在紙上寫下一個答復，然后由他的私人秘書Helen Dukas進行書面回復或者直接發出愛因斯坦所寫下的答復。

• 一個令人費解的回復

事實上，Johanna尋求幫助的是一個標準的歐幾里德幾何問題，涉及到畢達哥拉斯定理的應用。在當時的任何一本高中數學書中都可能找到這樣一個問題：“半徑為8英寸和2英寸的兩個外切圓的共同相切線的長度是多少？”

愛因斯坦用Johanna的信紙背面寫下了他的回復，并使用航空公司來寄回信件。但是愛因斯坦忘記了使用正確的郵資6美分，或者他用完了自己的郵票。并且發揚自己固有的叛逆精神，應為3美分就足夠了。愛因斯坦的手寫答案如圖2所示。

圖2愛因斯坦寄回的他對這個幾何問題的手寫答案。1952年5月16日，“洛杉磯時報”首次轉載了這幅圖像。

圖片中幾何示意圖下的手寫說明為：

也就是：

愛因斯坦的母語德語在回復中有兩處小小的體現。“differenz”這個詞是德語中的拼寫方式，更有意思的是在圖中表示圓的字母“K”很可能是德語中的“Kreis”的首字母縮寫，后者在德語中是圓圈的意思。圖3展示了經過適當縮放后的愛因斯坦所給出的示意圖。

圖3該圖表示兩個分別標記為和的圓，其相應的圓心為和，虛線圓和虛直線不是問題中給定的信息，而是被構建出來以幫助解決此問題

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愛因斯坦解決該問題的邏輯思路如下：

第一步：構造（例如，使用量角器）半徑等于兩個給定圓半徑之差的虛線圓。在當前的案例中，英寸，英寸，所以虛線圓的半徑6英寸。

第二步：從小圓的圓心畫出一條到虛線圓的切線。圓垂直于切線的半徑也必然是虛線圓的半徑。因此，可以使用尺規構建圓心到的切線，這條切線必然是等距的，也即平行于圓和的外切線。愛因斯坦使用虛線畫出了這條切線。更進一步，我們可以發現這條切線的長度就是我們所需要的問題中待求的長度。

第三步：似乎到了這一步，愛因斯坦并沒有打算給出那個小姑娘迫切希望看到的完整的解答方案。再給出更多的信息之前，愛因斯坦使用“This gives the solution.”直截了當的結束了他的回答。

Johanna接下來會怎么做來得到她想要的答案呢？至關重要的是，她有沒有抓住愛因斯坦沒有提到的關鍵信息：也就是，這兩個圓和必須是相切的兩個圓，即在某一個點上吻合。在圖4中，我們給出了包含全部已知信息和愛因斯坦給出的構造方法的示意圖。現在我們來看看這兩個圓的情況。

圖4這是愛因斯坦想象中的解決方案，但是卻并沒有在他的回復中泄露出這一點

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相切的兩個圓呈現出一個由三條直線構成的直角三角形：到（結束于）；到（直角三角形的斜邊）；愛因斯坦構造出的虛線。使用畢達哥拉斯定理求解這個直角三角形，那么需要的切線長度可以簡化為或者。代入題目中所給出的數字，可知公共外切線的長度為8英寸。

愛因斯坦的象征性的解決方案，只提供了一種隱含的可能解決方法，這在某種程度上似乎與預期接受者的假設基礎知識至少在數學上是不對稱的（畢竟對方還是個孩子啊！）。他的解決方法既沒有引用提供的數字，也沒有指出為構造的三角形應用畢達哥拉斯定理。此外，他也沒有納入題目中所給出的兩圓外切的約束條件，即使這些信息是解決方案所必需的。愛因斯坦幫助小女孩的行為從感情上講是值得稱頌的，但是這并不意味著有必要寫這樣一封信回復給一個尚且缺乏基礎知識準備的高中生。

• 后續媒體報道

鑒于她父母的關系（畢竟是混圈的），新聞媒體的記者們很快了解到愛因斯坦的答復，并且情切希望知道Johanna解決這個幾何難題的詳細經歷。由此產生的大多數報道和講述的故事都集中在愛因斯坦的意愿上，畢竟當時愛因斯坦已經是這個世界上最重要的科學家，卻愿意和一個高中小女孩一起解決她所遇到的幾何上的麻煩。

洛杉磯時報和紐約時報都在1952年5月16日的頭版報道這個故事。紐約時報四舍五入了Johanna的年齡，標題為“Einstein sends QED to problem of schoolgirl, 15”（Q.E.D, Quod Erat Demonstrandum，譯作證明完畢）。這篇報道是以這樣的斷言開頭的，愛因斯坦“tooktime out from investigating the mysteries of the universe.”，即從他調查宇宙的奧秘中抽出時間。洛杉磯時報則是以這樣的標題起頭的“Stuckwith geometry, girl turns to Einstein”，即受幾何難題困擾的小女孩選擇向愛因斯坦求助。這個故事在當日報紙的第六版刊登了上述的愛因斯坦給出的幾何示意圖。Johanna的故事甚至成為了澳大利亞“悉尼先驅晨報”的頭條新聞，當時的標題為“Dr. Einstein solves a geometry problem.”，即愛因斯坦解決了一個幾何問題，可謂是簡潔有力、直截了當。基于互聯網的搜索結果表明，僅僅在美國，至少有82家報紙給出了這個故事的不同版本。用今天的術語來說，Johanna的故事在當時很火。

故事發生的第二天，新聞媒體就給出了對愛因斯坦或者Johanna不那么樂觀的新看法。5月17日（次日），“洛杉磯時報”給出的故事題目為“Einsteinflunks out as geometry teacher.”，即愛因斯坦是個不及格的幾何老師。通過這篇文章透漏的信息，我們了解到縱然Johanna非常高興能夠收到愛因斯坦的回復，但是她始終沒有弄明白隱藏在愛因斯坦“象形文字”中的含義。同一天，斯波坎發言人評論時報刊登了一篇題為“Einstein helped her, but not enough”，即愛因斯坦幫助了Johanna，但是這還不夠的文章，并配了一張Johanna的圖片（左下圖）。圖中Johanna坐在一張桌子后面，手里展示著來自愛因斯坦的回復，桌子上放著一個活頁文件夾。另外一個廣為流傳的圖片（右下圖）則清楚的表明了Johanna對愛因斯坦所給出答案的困惑。當試圖在小黑板上重現解決過程時，Johanna將愛因斯坦手寫的符號誤認為平方根符號，這就產生了無關的也沒有意義數學等式。

圖5對于愛因斯坦的解答，Johanna顯得既興奮又困惑，正如世界各地的報紙上所刊登的照片表明的那樣

令人驚訝的是，一個洛杉磯的牙醫很快成為這個傳奇故事的一部分。在閱讀了“洛杉磯時報”的正刊和下午的小報之后，對業余數學非常感興趣的Leon Benkoff跳上了戰場。Benkoff歸納說，愛因斯坦的答案中遺漏了某些東西。引用他的話說就是“好吧，我看了報紙上明信片的草圖，愛因斯坦也不是對的。他回答了另外一個不同的問題，也就是如何構建一個圓的切線，但需要解答的問題是如何計算這條切線的長度。”

Benkoff打電話給“鏡報”，并且指出了其中的錯誤。報社的編輯們對此持懷疑態度。但是當記者來到Benkoff的家中查看他的證件時，覺得足以讓他登上“鏡報”次日的頭版。實際上，“鏡報”第二天給出的標題是“Einstein ‘fails’ in math, but still has Nobel Prize.”，即愛因斯坦雖然在數學上犯了錯誤，但是依然能夠獲得諾貝爾獎。因為Benkoff和這件事相關，所以在他的城市，Benkoff又被稱為糾正了愛因斯坦的人。

從第二天的報道中可以看出，明顯Johanna最終意識到了她需要一個更普通的方法來解決這個困擾她的幾何難題，事實上，她的非名人數學老師在信件到達的前一天就已經向整個班級解釋了這個幾何問題。盡管有世界上最著名的科學家的幫助，她還是沒有找到一個天才的解決方案，來給所有人留下深刻印象。

更糟糕的是Johanna的老師和校長都對她的公開聲明不滿意，也就是Johanna在信中說道的“Einstein was ‘the only person we know of who could supply us with the answer.’”，即愛因斯坦是我們已知唯一能解決這個問題的人。“紐約時報”后續的文章指出，Johanna被當時的學校當局斥責不應該給愛因斯坦寫信。校長Helen Temple甚至用指手畫腳的意味來表明愛因斯坦不應該插手Johanna的問題。她說道“Great scientists should be bothered only with great problems.”，即偉大的科學家只要關心那些真正的難題就夠了。

沒有證據表明愛因斯坦本人的感受，他拒絕對這場喧囂進行評論。

愛因斯坦在1921年因為解釋了光電效應獲得了諾貝爾物理獎，在1999年12月26日被美國《時代周刊》評選為“世紀偉人”，毫無疑問愛因斯坦因為在物理學多個領域的開創性工作而被認為是自伽利略、牛頓以來最偉大的科學家。

愛因斯坦在生前身后都留下了許多使人印象深刻的故事，你還知道愛因斯坦的那些故事呢？留言告訴我們。

本文翻譯康康哥哥！

編輯：Gemini

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的爱因斯坦和高中几何问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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