編者注：本文是Atiyah1978年在日本數學會創立100周年紀念會上的演講，刊登于《吉林師大學報》自然科學版1979年第2期，譯者王家彥。

30年多后的2010年，?Atiyah 與 Dijkgraaf 以及 Hitchin 合作，發表了一篇同一主題的綜述，有興趣的讀者可見 geometry and physics，Phil. Trans. R. Soc. A 2010 368。

>>>>?

首先說明我報告的性質。借慶祝日本數學、物理學會創立一百年的今天, 我想這正是回顧數學在這一百多年間的進展以及展望將來的很好機會。我之所以把“ 幾何學” 列為報告題目是因為它是我的專長, 也是我最關心的學科, 當然是在較廣泛的意義下來論述它的。我還選擇“ 物理學” 作為題目, 因為在當時沒了解到今天有這么多物理學家在座聽講, 我想我關于“ 物理學” 的講述一定會是很整腳的。但是數學與物理學在一百年前幾乎是不可分割的。雖然由于后來科學各部門的專業化而使兩者分離開來, 但是還保留著緊密的聯系, 在現在又可重新看到有象過去那樣逐漸接近的發展趨勢。這就是把“ 物理學” 也列入報告題目的理由。

從作為近代數學的出發點的歐幾里得以來經過幾個世紀, 都確信幾何學是研究物理空間的, 這種看法在1828年鮑約、羅巴切夫斯基以及高斯的非歐幾何被發現之后已經站不住腳了。這在數學史上是值得大書特書的。此后，幾何學成為與物理空間完全獨立的概念, 而剩下的問題則是到底存在哪些種類的幾何學的問題了。到十九世紀末, 所確立的主票思想方法是由F. Klein?如所提出的“?幾何學是對于對稱的研究” 。即在空間中作用的“ 對稱群= 變換群” 決定著幾何學, 換句話說,?幾何學就是研究在這個對稱群下的不變性質的學科, 描述所有可能的幾何學與確定所有的對稱群是等價的。引進連續概念的S. Lie的工作，也與這種思想方法有關而起著重要的作用。在近代物理學中也是這樣, Einstein, Weyl 以及現在的M. Gellman等的工作, 以空間的旋轉群, 洛倫茲群的作用中可以看出對稱群是非常重要的。現在, 比對稱群的概念為基礎的Klein思想更具有普遍的、劃時代意義的思想，是由十九世紀中葉的Riemann所提出的。

Riemann舍棄了Klein關于群的思想,引入了在各點都不均質的最一般的空間幾何學, 即今天所謂的微分幾何學。Riemann的這種幾何學, 如所周知, 后來被Einstein 應用于廣義相對論。但到這里還沒說完, 物理學家們迫切感到除時間、空間變量以外，還須引進更多的變量。例如他們所說的內部變量就是如此。如果把它們用數學來描述, 就只能用纖維叢的思想方法來描述。即纖維叢包含著內部變量, 而時空世界起著底空間的作用。

在微分幾何學中，這個纖維叢的概念的形成是二十世紀初葉, 以E.Cartan 的工作為先驅。他的貢獻是把Klein和Riemann的思想統一起來, 大概說來, 就是Cartan以Klein作為纖維、以Riemann作為底空間。

這個圖表示Riemann 與 Klein 兩者的作用。亦即, 把前者空間的概念一般化, 而對后者把它的對稱群加以嚴格的限制。若對數學中的纖維叢的理論和物理學中與之相對的規范理論進一步加以闡述的話, 這些理論的基本想法是平行移動的概念。即對于連結空間( 底空間兩點的曲線, 第一點的內部變量( =纖維方向的變量) 給出了第二點和它相連接的規則。現在我們把這個平行移動的概念限制在— .無窮小范圍內來考慮, 則可得到數學中的聯絡以及物理學中的向量勢的概念。又, 如果在空間內給出閉曲線時, 沿這條曲線平行移動引起在一點上的內部變量的變換, 一般地不是恒等變換, 這樣如果把恒等變換擴張, 則在數學中可用曲率, 在物理學中可用場強予以描述。上述考察的重要之點不是把空間變量和內部變量完全獨立開來, 而是考慮它們之間的相互作用。在物理學中引進這種幾何學觀點, 是從 H. Weyl 于1918年進行Maxwell方程的研究開始的。雖然Weyl的思想遠遠超越他所處的時代, 但是他對物理學的解釋是不正確的。盡管如此, 規范 理論的研究還是從Weyl 的工作開始的。這種想法后來在

1954年由楊振寧和米爾斯?甚至把非可換群( 例如 SU(2) ) 推廣為結構群所容許的形式。直到現在，Yang-Mills 理論還是作為理論物理學的一個主要最活躍的研究課題。

為了使Riemann空間概念一般化, 創始了作為現代幾何學的一個重要分科的拓撲學。它與Klein所考慮的各點均質的空間不同, 在一般化的Riemann空間里, 不能把它的局部性質推廣到大范圍的性質。拓撲學為理解大范圍性質提供了新的手段。但是Riemann所考慮的拓撲不是與他的幾何學直接相關聯, 而是與復變函數論有關。即, 例如他研究多項式的平方根那樣函數的大范圍性質的最佳方法, 即現在通常所說的引入Riemann面才能得到的方法。又因Poincare 以研究微分方程的大范圍理論相關聯的概念作為拓撲學的起源。從Riemann的例子中, 函數所具有的奇點從引入的Riemann面的新觀點中去掉而代之以具有復雜結構的空間二出現的Riemann面。從這個簡單的例子足以揭示出對奇點賦以拓撲關系的一般原理。又以Riemann幾何學為基礎的Einstein理論, 對當時的微分幾何給以很大刺激。而近代的幾何學家則把大范圍的幾何學的發展反映到物理學上, 開始了對Einstein方程的解的大范圍的研究。例如, 霍金與彭羅斯指出Einstein方程解的奇點( 例如黑洞) 不是偶然的產物, 從大范圍的觀點來看, 它可以極自然地用數學和物理學的假說來說明。這樣在大尺度的物理學中, 拓撲學等大范圍幾何學的作用就易于被理解。最近, 又了解到它在反常 現象研究上也起作用。例如, 兒個粒子存在于某很狹窄的領域中, 它的外部暫定呈單純的自由場狀態。作為描述這種狀態的數學方法, 盡管是掌握具有什么樣的奇點的方法, 但在描述這個系統的內部變數的空間時, 可以考慮具有某種撓曲的空間。實際上理論物理學家們, 站在后者的立場上, 由對局部拓撲的考查, 給描述反常現象的規范理論中的某整數不變量下了定義, 稱之為拓撲量子數。當然, 在近代量子論中, 把連續的現象用離散量來描術的強而有力的方法作為基礎, 對數學各個分支中的諸連續元由離散量分類表現的理論, 例如依賴于連續勢的微分方程的特征值以及緊致群的表現理論, 在量子論中都起著重要作用, 但是拓撲的量子數在數學中是纖維的全空間中的撓曲的量化, 迄今為止, 都是用性質完全不同的新方法求得的。

現在暫且放下物理學, 再回到幾何學上來。如前所述, Riemann和Poincare奠定了拓撲學的基礎, 他們的動機是基于解析學 ( 復變函數論和微分方程理論) 的要求, 從而自然地形成在解析問題方面, 把注意力集中到大范圍拓撲作用的研究上。解析學與拓撲學相結合的設想是1930 一1960 的一個主要論題。在這方面, 最早的主要成果是在1930年代由Hodge作出的。他研究Riemann流形的拓撲與Laplace算子間的大范圍關系, 并且得出許多重要的定理。這個工作為后來的小平和Weyl所繼承。這個時期中的另一個方向是由小平, 崗潔 ,H.Cartan創始的多變數的復解析學。這方面的研究在1940一1950 年代是非常活躍的, 但它的一個最重要結果是確定了層上同調的新手法。層上同調可以說是同調以及循環的拓撲概念與復變函數論相結合而產生的混合理論。現在在這里僅就作為近代數學的兩個主要部門的微分兒何與復數解析稍加敘述。在前者中最基本的是它所考慮的空間是非齊性的，因此用曲率來描述它的程度, 而曲率用張量分析來計算。另一方面, 后者所考慮的空間的各點都是同樣的, 但是它與Klein所考慮的大范圍的 齊性空間不同, 它一般不存在對稱群。從而在對這種空間的研究中, 對把大范圍的現象與局部理論之間的關聯的方法方面大有開展研究的必要。而前面提出的層上同調就是具有這種效用的。

在這個報告的最后, 想舉出與我到現在所說過的問題有關的一些例子, 這些例子僅是從我有限的經驗中選取的, 它們無非是現代幾何學與理論物理相關的繞有興趣的課題, 但畢竟限于我的經驗, 它們在物理學上只不過是個可能出現的模型。在這些模型中出現一種叫作反常現象。它具有不被期望或不尋常的意思, 所以這樣稱呼的理由是, 當考慮描述量子場理論的模型時, 總是在程序上先從古典的狀態出發依次把它量子化。這時, 在古典狀況的基礎上所存在的某種對稱性, 在量子化過程中有時變成0。這種現象叫作反常。最近發現, 在某種情形下這個反常與前面說過的拓撲量子數有密切關系。總的說來,反常是在這個情形下的空間中分布的密度, 它的積分恰是拓撲的量子數。特別是前面的拓撲量子數己知并非為零的情況下, 可以得出反常存在的結論。盡管對它的研究己近十年左右, 可是我最近才注意到一些幾何學家們在這十年間只不過是重復著同一個問題, 雖然不能作詳細的說明, 但例如對由流形上的Laplace算子的特征值 \lambda 所定義的函數\sum e^{\lambda t}, 當 t 趨于0時的漸近性質的研究就屬于此類間題。這個研究已經列入Hodge的計劃。由此可見，解析、拓撲以及微分幾何之間具有種種不可分割的關系。但是把所用的術語翻譯過來之后, 可以看到物理學家與數學家互不通氣地在進行著平行地研究完全雷同的課題。這種事買在某種意義上雖是個努力勤奮的好現象, 但是在雙方共同解決間題之后再來理解它畢競過于遲緩。

在下面, 我在結束問題之前說兩個術語翻譯成功的例子。現在在理論物理學方面, 面臨著相當的困難, 我覺得關于什么是它的基本基礎的本質, 確有重新給以考慮的必要。在這里介紹一下我的牛津大學同事彭羅斯對時空世界概念進行修正的新想法, 他認為時空世界的點在某種意義上說它不是最基本的對象, 而是把通過各點的光線的全體也考慮在內, 這樣他把Minkowski空間代之以三維的復流形。這樣對所考慮的各種基本方程可以希望在這新空間中要比原來的簡單的多。對Maxwell方程來說, 它的解可用幾何學家已經發明的所謂層上同調來描述。彭羅斯對層上同調是不了解的, 在某次與他談話時, 我立即提醒他注意, 他所考慮的問題與層上同調在本質上是相同的。這里重要的是彭羅斯的空間是不可縮的, 上同調是不可能等于0的。這個事實放在局部上來考慮,也容易從光錐是二維球面的這一點上推導出來。下面再把話題轉到蘇聯物理學家Polyakov最近提出的課題上來。他把4 維Yang-Mills方程放到通常的4維歐幾里得空間中進行研究, 而全力求出這個方程的所有解( 叫作“瞬子”)。但是這個問題是數學中的代數幾何問題, 也就是與3 維復射影空間中的代數曲線的研究的等價問題。

這是在對后者相當理解的基礎上而對瞬子 的一般性進行了論述。這就是在前面所說的在結束以前進行翻譯的例子。

現在把我說過的問題歸納一下。從上述事實里, 我想是不是可以這樣說: 現代幾何學的諸概念在物理學的模型的構成中是有效的。我在這里是想強調觀念這個詞。可以說，在物理學與幾何中，比起計算，更為重視的是觀念,?在這一點上比幾何學與代數學之間的關系更密切。在歷史上的某個時期里, 物理學偏重于重視數學計算的方法。但是我認為如果幾何學家與物理學家之間增進了解, 那么幾何學的觀念在物理學中將是有用的。

算法數學之美微信公眾號歡迎賜稿

稿件涉及數學、物理、算法、計算機、編程等相關領域。

稿件一經采用，我們將奉上稿酬。

投稿郵箱：math_alg@163.com

總結

以上是生活随笔為你收集整理的几何与物理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。