数学学习的心理——关于数学中的挫败的反思及若干启示
抽象數(shù)學(xué)研究的歷史啟示
數(shù)學(xué)體系發(fā)展至今，根深葉茂，枝盛果繁，其盤根錯(cuò)節(jié)之復(fù)雜已至于經(jīng)無法對(duì)其給出確切定義的境地。這無疑成為了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)溝通、交流、繼承的最重大問題，事實(shí)表明，自龐加萊謝世以后，這種局面至今已經(jīng)完全實(shí)現(xiàn)并有愈演愈烈的趨勢(shì)。隨即引發(fā)對(duì)一個(gè)問題的思考：我們是否會(huì)因此而無法把握數(shù)學(xué)之全局？希爾伯特所謂的“我們必須知道，我們一定能夠知道”的豪言究竟要如何落實(shí)？
從三次數(shù)學(xué)危機(jī)以后分裂為三大流派的歷史事實(shí)來看，數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的悖論驅(qū)動(dòng)、問題驅(qū)動(dòng)逐漸發(fā)展到本質(zhì)驅(qū)動(dòng)。邏輯學(xué)的淵源是沿襲一直以來悖論危機(jī)的慣性動(dòng)力。形式主義的淵源是源自歐式幾何、非歐幾何以來的公理化進(jìn)程。構(gòu)造主義強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)對(duì)象的可構(gòu)造，排斥一切無法實(shí)際構(gòu)造的對(duì)象的存在性。
邏輯主義學(xué)派遠(yuǎn)承萊布尼茲的衣缽，近承康托爾的偉大思想，致力于數(shù)學(xué)體系在邏輯歸納體系中的重建。羅素和懷特海的偉大著作《數(shù)學(xué)原理》昭示了邏輯路徑的偉大勝利。邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的少年，數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的青壯年。這種偉大的思想直接揭示了數(shù)學(xué)探索的全部心理本質(zhì)，尤其重要的是，這一論斷明確地把數(shù)學(xué)作為邏輯學(xué)的本體而非分支，由此明確地承認(rèn)了邏輯學(xué)是“發(fā)展著的學(xué)科”，廣義邏輯方法則是數(shù)學(xué)的本質(zhì)核心。
其次看形式主義的思想，形式主義其實(shí)可以說是抽象層面的構(gòu)造主義，但凡形式，或必有其形，或必其式。一般來說，形是原始存在的式，式則是抽象以后的形。希爾伯特的思想可謂遠(yuǎn)承歐幾里德、羅巴切夫斯基，近承黎曼，認(rèn)為形式是自然的語言，自然則是公理的示現(xiàn)。換句話說，形式主義可以簡(jiǎn)單地理解為“但凡可知的必可表達(dá)；但凡可表達(dá)必可推演；但凡可推演必可有限步驟”，所謂“有限步驟”實(shí)際上是對(duì)“公理”的存在性的另類表達(dá)——因?yàn)槊}自身本征邏輯的有限性，因此所需論證的子命題數(shù)量有限；因?yàn)楣肀旧頂?shù)量的有限性，則子命題所須引注的基礎(chǔ)定理也有限。可以說，然而從哥德爾不完全定理可知由于自指證明的悖論導(dǎo)致了任意系統(tǒng)的不完備，不完備定理直接導(dǎo)致了形式主義淪入了“徒具其形”的黑洞（即僅僅立足于形式上的自洽），而逐漸背離了希爾伯特的本來意圖——形式是邏輯的語言，純粹形式必須以廣義邏輯公理為其本質(zhì)。但同時(shí)，形式的絕對(duì)化也極大程度地對(duì)傳統(tǒng)狹義邏輯觀念產(chǎn)生了沖擊——究竟什么是邏輯判決的依據(jù)，即什么樣的邏輯是可信的，邏輯究竟應(yīng)該服從什么樣的規(guī)律。事實(shí)上，不完備定理不光是導(dǎo)致了，事實(shí)上還揭示了公理化系統(tǒng)探索的極限所在——也就是說，如果公理體系除自指證實(shí)盲區(qū)以外，對(duì)既有，便就。由此可知我們可以充分的地理解，所謂“嚴(yán)格證明”的內(nèi)涵——“嚴(yán)”即嚴(yán)密推導(dǎo)，“格”即基于公理化歸納邏輯體系的純粹形式。由此可知，邏輯的縝密依托于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膫鬟f，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膫鬟f則依托于嚴(yán)格的形式。而所謂“嚴(yán)格證明”只是一種暫時(shí)的可信證明（所謂“可信”翻譯過來即是“在當(dāng)前尚能完全解釋已知邏輯的公理化假說邏輯體系內(nèi)的純粹形式推演結(jié)果”），并非終極意義上之絕對(duì)正確。可以說，在不完備定理與形式主義共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)行為自明性的基礎(chǔ)。
再來看構(gòu)造主義，構(gòu)造主義遠(yuǎn)承卡丹、牛頓、歐拉的幾何思想，近承高斯、加羅瓦的解釋構(gòu)造方法，對(duì)邏輯主義同樣產(chǎn)生了很大的沖擊（典型如羅素悖論；又如Tarski球，一個(gè)球按某方案分解后可以重構(gòu)出2個(gè)同樣的球），實(shí)際上在經(jīng)歷了分析體系嚴(yán)格化歷程以后，數(shù)理邏輯基礎(chǔ)只是步入了一個(gè)暫時(shí)穩(wěn)定的期間。可以說，從表面上看，構(gòu)造主義是邏輯主義的最大對(duì)立面，也是邏輯主義最有益的補(bǔ)充。構(gòu)造主義的本質(zhì)實(shí)際上是深度的解釋主義，以深度的解釋主義以求得組合思維的解放（譬如用良序集概念歸納自然數(shù)集合），并由此構(gòu)筑起基于基本元素的綜合抽象理論（例如實(shí)變泛函）用以指導(dǎo)構(gòu)造。
由此可知，形式主義其實(shí)是邏輯主義的方面。構(gòu)造主義則是邏輯主義的慣例。實(shí)際上，從某種意義上講，構(gòu)造主義還是形式主義的一個(gè)分支，因?yàn)闃?gòu)造主義所強(qiáng)調(diào)的“可構(gòu)造”實(shí)際上是旨在得到一種顯式形式，也就是說構(gòu)造主義實(shí)際上是以“邏輯需求在形式上的綜合”為其中心立足的。換言之，只要無法找到與其他邏輯找到綜合方案的概念（數(shù)學(xué)體系中的任何概念要想與其他概念自洽，就必須明確其與其他概念之間的綜合關(guān)系，換言之，任意在數(shù)域中引入的要素都必須明確其基本運(yùn)算法則）就無從獲得成立（即無法在以既有數(shù)理邏輯體系為參照的邏輯空間內(nèi)存在）的理由——這就意味著如果非要兼容該該概念，則必須重構(gòu)當(dāng)前體系的數(shù)理基礎(chǔ)。也就是說，必須訴諸尋求能夠兼容當(dāng)前體系和引入要素的本體概念作為新基礎(chǔ)。
對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理體驗(yàn)及啟示
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身必須具備充分的直觀性，構(gòu)造主義提示我們，在數(shù)學(xué)的數(shù)、形乃至各種形式轉(zhuǎn)化的過程之間，用以支配行為導(dǎo)向的是最基本邏輯單元其實(shí)是類比與擬合，擬合的內(nèi)涵是組合與嵌套，由此可以得到構(gòu)造的指導(dǎo)流程如下：
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? ? 目標(biāo)：模糊屬性邏輯信息——具體對(duì)象
? ? 具體對(duì)象無外乎函數(shù)（只要定義出運(yùn)動(dòng)方式，幾何體也可以通過解析函數(shù)的交集來描述），因此問題轉(zhuǎn)化為“模糊屬性邏輯——函數(shù)”，
? ??步驟一：模糊屬性邏輯——>函數(shù)表面關(guān)系需求交集
? ? 該步驟即完成模糊屬性邏輯的直接轉(zhuǎn)化，任意函數(shù)都是一個(gè)映射，而任意映射都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。既然最終要得到函數(shù)，最直觀的想法是完全有理由訴諸于直接的途徑獲取函數(shù)的表面關(guān)系需求信息。
? ? 比照我們?nèi)粘５哪嫦蛲评?#xff0c;我們往往針對(duì)我們的目標(biāo)所需的必要條件試圖尋找獲得它們的最直接的邏輯路徑。同時(shí)，當(dāng)我們?cè)诩扔械囊胤秶鷥?nèi)無從獲得方案時(shí)，往往會(huì)突破當(dāng)前的集合范圍前提，擴(kuò)大范圍，引入其他因素以實(shí)現(xiàn)整合式探索。可以說，這是引導(dǎo)我們的邏輯推理前行的兩大驅(qū)動(dòng)。
? ? 要把所有的模糊屬性邏輯放在一起處理是極其復(fù)雜的，可以利用集合容斥原理對(duì)所得到的函數(shù)表面關(guān)系需求信息進(jìn)行選擇。這里最為困難的是函數(shù)表面關(guān)系的推演。因?yàn)槿绻麅H僅推導(dǎo)出作為必要條件的需求信息，那么這些信息必須求并集才能覆蓋全部的模糊屬性邏輯。而只有推導(dǎo)出作為充分條件的需求信息，集合元素的數(shù)量才能盡可能壓縮，才能為下一步構(gòu)造函數(shù)提供更充分的自由空間。
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? ?步驟二：表面需求信息交集——>點(diǎn)區(qū)間映射劃分方案
根據(jù)實(shí)變函數(shù)的定理和泛函理論，通過猜想和論證，我們盡可能將得到的抽象信息集合向具備蘊(yùn)含更多幾何直觀信息的方向傳遞轉(zhuǎn)化。
既然是為了獲取幾何直觀信息，那么為什么要在這里采用“點(diǎn)區(qū)間映射劃分方案”這一提法呢？因?yàn)檫@才是本階段獲取幾何直觀信息的全部目的歸宿。有了這個(gè)才知道函數(shù)內(nèi)部的粗略結(jié)構(gòu)
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? ?步驟三：點(diǎn)區(qū)間映射劃分方案——>根據(jù)函數(shù)理論、泛函理論歸納抽象屬性原因集合
??? 回歸到抽象屬性原因集合實(shí)際上是對(duì)上一步驟獲得的幾何直觀信息集合的進(jìn)一步嚴(yán)格化規(guī)約和確認(rèn)，同時(shí)數(shù)學(xué)推導(dǎo)必須嚴(yán)格等價(jià)，也是為了解決最終求解信息的充分性問題和解集的有限性問題，有必要對(duì)函數(shù)的信息做進(jìn)一步外推。
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? ??步驟四：屬性原因集合—>反向生成函數(shù)
? ? 函數(shù)方程實(shí)際上是構(gòu)造的最后一個(gè)環(huán)節(jié)。結(jié)合屬性原因列舉方程，求解或回歸目標(biāo)函數(shù)。
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從外觀到內(nèi)蘊(yùn)——對(duì)低維向高維空間拓展的數(shù)學(xué)心理
“何以識(shí)其類？”是類比過程中最根本的問題。比照線性代數(shù)中的向量維度，其實(shí)幾何問題代數(shù)化實(shí)際上是一種形式結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，由此相應(yīng)帶來的是形式視覺心理的變換。高維空間的延拓在直觀上的想象是極其不易的，我們之所以無法建立自己在高維空間的視角，實(shí)際上是因?yàn)槲覀兩娴沫h(huán)境本身，因此我們只有將高維空間做降維壓縮以后才能幫助我們稍微理解高維向量的概念。但若將幾何的關(guān)系表為代數(shù)形式，則延拓很容易在形式上得到證明——直接的原因是，運(yùn)算符號(hào)的增加并不構(gòu)成我們的內(nèi)在思維視覺角度的困難。維度的增加在運(yùn)算符號(hào)的反映于我們心理上的暗示意義是“加綴”而并非“延展”，問題的關(guān)鍵在于，我們?nèi)绾未_認(rèn)低維空間代數(shù)形式上示現(xiàn)的“同構(gòu)”是幾何結(jié)構(gòu)的本征？
從上述的視覺心理的變換不難察覺，這實(shí)際上是在幾何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)之間的一個(gè)關(guān)系映射。由此，高維空間的認(rèn)知角度就從傳統(tǒng)的“外觀”轉(zhuǎn)為“內(nèi)蘊(yùn)”（傳統(tǒng)上我們都習(xí)慣處身于高維空間內(nèi)觀察低維空間，那么我們所觀察到的性質(zhì)往往是低維空間的外在性質(zhì)，是一種沿襲著“解構(gòu)——演繹”角度的認(rèn)知結(jié)果；如果我們立足于低維空間來研究高維空間，由于無法開展直觀的可視化分析，是沿襲著一種“結(jié)構(gòu)——分析”角度的認(rèn)知結(jié)果）。也就是說，我們處在一個(gè)高維空間的子空間里，同樣也可以認(rèn)識(shí)到高維空間的性質(zhì)，之所以能夠這么做的根本原因，是因?yàn)榉?hào)表示歸納了幾何基本元的全部信息。換言之，我們?cè)诟呔S子空間里觀察的性質(zhì)一定蘊(yùn)含了普遍空間的本征信息，由此可以聯(lián)想到抽象代數(shù)中“同構(gòu)”、“同態(tài)”的定義。不難證明映射在二維、三維空間內(nèi)為“同構(gòu)”，那么根據(jù)算子的代數(shù)形式規(guī)律則可以順利地延拓算子作用在高維空間中單元函數(shù)上的代數(shù)形式，從而利用同構(gòu)映射的概念反推出高維空間的同構(gòu)規(guī)律。換言之，把低維規(guī)律向高維空間延拓的本質(zhì)依據(jù)是“同構(gòu)”。維數(shù)增加所造成的
由此可以確認(rèn)，數(shù)形結(jié)合實(shí)際上是一種匹配我們認(rèn)知心理慣性的問題處理手段。數(shù)、形之間通過形式結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（數(shù)的形式結(jié)構(gòu)單元是符號(hào)及集合空間，），形成了結(jié)構(gòu)關(guān)系映射，相對(duì)基于“具體——特例”（幾何向代數(shù)轉(zhuǎn)換則“視覺具體—函數(shù)特例”，代數(shù)向幾何轉(zhuǎn)換則“函數(shù)具體——幾何特例”）的數(shù)形結(jié)合初級(jí)階段，這種基于“結(jié)構(gòu)—映射”是數(shù)形結(jié)合的高階階段。
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對(duì)偶、對(duì)稱思想在延拓中的驅(qū)動(dòng)作用
數(shù)學(xué)證明成立的充分條件是“嚴(yán)謹(jǐn)”。對(duì)此的理解可以分為2個(gè)層次：一種是邏輯直覺意義上的嚴(yán)謹(jǐn)，這個(gè)層面的邏輯依賴于數(shù)理邏輯符號(hào)的推演，所面臨的要解決的中心問題是相容性問題。其次就是形式意義上的嚴(yán)謹(jǐn)，即所謂形式邏輯必須嚴(yán)格，即在形式邏輯系統(tǒng)內(nèi)部必須是一致的。
相容性問題的直接原因是悖論，為了協(xié)調(diào)悖論，同時(shí)為了兼容既有的理論成果，最直接的解決方案是引入新的概念、理論與方法——這種引入既不是自娛自樂的無中生有，也不是漫無邊際的無病呻吟，而是一種新的觀念視角以及由此衍生出的理論體系。悖論中最為常見也最為典型的有2種：一種是出現(xiàn)了無法自圓其說的情況（這最符合悖論的字面含義）；另一種是由于形式邏輯系統(tǒng)的局限性所造成的解釋缺陷。后者長(zhǎng)期為人所熟悉但卻很少作為悖論為人所認(rèn)識(shí)——事實(shí)上，當(dāng)數(shù)學(xué)被作為自然的語言和模式的科學(xué)來定位時(shí)，這種情況就在事實(shí)上完全獲得了悖論的存在方式。
以實(shí)無窮概念為例，這個(gè)概念時(shí)至今日仍有爭(zhēng)議，其邏輯淵源值得一再探討。試圖思考這樣的問題：高斯至死不承認(rèn)實(shí)無窮，何以康托爾對(duì)實(shí)無窮概念的信念能夠從一而終，堅(jiān)持到底？羅素悖論看上去樸素直觀，但何以康托爾竟似從未察覺到？歸根結(jié)底，恐怕是在邏輯直覺意義上的嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)知存在根本分歧。高斯反對(duì)實(shí)無窮的理由實(shí)際上源于他折衷主義的事物觀，即在高斯的思想里，抽象概念必須是形而下邏輯經(jīng)驗(yàn)或慣例的歸宿，也就是說邏輯概念的建立必須以“實(shí)有其事”作為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。康托爾的觀念里實(shí)際上有2個(gè)前提：
一、一切邏輯外觀的事物均可找到歸納它的抽象本體；
二、任意抽象本體均要符合普遍算子規(guī)則，算子一致性其實(shí)可以分為2類：一是收斂，二是發(fā)散，算子收斂的充要條件為“結(jié)果可確”，所謂發(fā)散，實(shí)際上是在數(shù)域的值性質(zhì)上無一致性，具體可表現(xiàn)為無方向性（如交錯(cuò)發(fā)散），無界性（持續(xù)增大）。
于是就要問，這種思想觀念差異的根源何在？觀念的差異根源實(shí)際上仍在于對(duì)概念的本體根據(jù)的看法不同。淺白地說，觀念決定角度，實(shí)際上，觀念的立足本身也是一種角度，這在根本上決定了觀念的格局。由此我們也可以得到一個(gè)啟發(fā)：數(shù)學(xué)研究的不斷變換角度實(shí)際上是一個(gè)不斷擴(kuò)大歸納容量的過程，各個(gè)立足角度之間的兼容程度其實(shí)都只能覆蓋本體的局部，角度之間的過渡會(huì)不斷地?cái)U(kuò)大覆蓋的范疇。
數(shù)域的延拓是協(xié)調(diào)第二種悖論的直接方案。從自然數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，是立足于乘法逆運(yùn)算（除法）的拓展。由分?jǐn)?shù)得到小數(shù)（分形數(shù)），是立足于十進(jìn)制進(jìn)位逆運(yùn)算的拓展，是自然數(shù)到分?jǐn)?shù)擴(kuò)展的進(jìn)一步延伸。從正數(shù)到負(fù)數(shù)，是立足于加法逆運(yùn)算的拓展，從有理數(shù)到無理數(shù)，是立足于冪運(yùn)算（盡管冪運(yùn)算的本質(zhì)是乘法，但在概念獨(dú)立區(qū)別于一般乘法）及化圓為方的逆運(yùn)算（pi的出現(xiàn)源于“以方求圓”）的拓展。冪運(yùn)算還直接驅(qū)動(dòng)了從實(shí)數(shù)到虛數(shù)的拓展。由此可見，數(shù)域拓展的內(nèi)在原因其實(shí)是“解釋”。解釋成立的依據(jù)則是計(jì)算規(guī)則上的自洽，即依從運(yùn)算的基本映射法則（對(duì)于任意數(shù)，在正運(yùn)算算子作用下，擴(kuò)展數(shù)（所謂“逆運(yùn)算結(jié)果”）與狹義數(shù)的集合映照恒等于狹義數(shù)與單位圓的集合映照，即“數(shù)對(duì)自己的映照”），同時(shí)，數(shù)域拓展的直接動(dòng)力是“對(duì)稱”，是對(duì)運(yùn)算盲區(qū)的突破。更重要的是，數(shù)域的拓展不是自娛自樂，究其思想本質(zhì)也不是現(xiàn)實(shí)需要的產(chǎn)物（現(xiàn)實(shí)需要只是導(dǎo)致其被發(fā)現(xiàn)的緣起），而是由“作為解釋邏輯的基本元——數(shù)的本質(zhì)”的認(rèn)知需求驅(qū)動(dòng)的。本質(zhì)的外觀是形態(tài)，因此可以存在研究數(shù)論的不同角度（分形的角度，如小數(shù)；分類的角度，如超越數(shù)和代數(shù)數(shù)）
從有窮到無窮，其實(shí)是立足于突破“有窮域內(nèi)算子結(jié)果為單一數(shù)值”這一傳統(tǒng)，無窮與有窮之間存在對(duì)偶性質(zhì)：有窮數(shù)可確為一個(gè)“點(diǎn)”或“分割”，而無窮則確為一個(gè)存在若干外在數(shù)值公共性質(zhì)之集合。算子作用下，有窮數(shù)值運(yùn)算結(jié)果為一個(gè)數(shù)值，而無窮之可確運(yùn)算結(jié)果則為一個(gè)集合。無窮集合的出現(xiàn)直接擴(kuò)展了“0”的內(nèi)涵（此前，0僅作為一個(gè)于實(shí)與虛之間的符號(hào)整數(shù)存在，其引入的直接目的是便于計(jì)算，其數(shù)值性質(zhì)只到了“無窮小量”出現(xiàn)時(shí)才引起關(guān)注），并改變了傳統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)的思維觀念，改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)——即數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果可唯一確定，并不代表計(jì)算的產(chǎn)物必然唯一，必須將產(chǎn)物的極限視作數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果的本質(zhì)，即將0賦予“無窮小”內(nèi)涵，才能圓融地解釋無窮小量和數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果之間存在的矛盾。
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“事物”邏輯認(rèn)知觀念的若干啟示
邏輯是包括觀察范圍內(nèi)對(duì)象要素及相關(guān)相互作用關(guān)系在內(nèi)的表達(dá)。辯證法。傳統(tǒng)上理解的“事物”，事為物內(nèi)邏輯，物乃事理的實(shí)現(xiàn)。進(jìn)一步推理：“事物”也分稱為“物事”、“軍事”、“政事”、“人事”，則前者為對(duì)象定語，后者為主語成分，由此可見“事”其實(shí)是物的全部本質(zhì)。進(jìn)而可知實(shí)際上“事”的全部本質(zhì)內(nèi)涵就是邏輯。
反觀我們的數(shù)學(xué)概念，其實(shí)都不外乎一種“事”，所謂“事物”，其實(shí)可以理解為古代儒家經(jīng)典所謂的“必有所事焉”，也就是說我們認(rèn)識(shí)“物”的方式總是以“事”為基本線索的。由此可知，假設(shè)事物為可知（或者至少存在可知的部分），則可知事物必然服從“事外無它物”的規(guī)律，換言之，也就是物不外乎事，這就給予我們以極大的啟發(fā)：要想獲得科學(xué)而自由的數(shù)學(xué)觀念，重新審視我們傳統(tǒng)的指稱觀念和關(guān)系邏輯觀念是首要的。
不難發(fā)現(xiàn)，我們對(duì)中文稱謂語法里詞性定義的認(rèn)知其實(shí)不自覺地固化了我們的觀念，我們總是習(xí)慣認(rèn)為一切事情都必須圍繞“物”為中心開展討論，而這個(gè)“物”必須是名詞指代（可以是現(xiàn)實(shí)名詞，也可以是抽象名詞）而不是一個(gè)任意的抽象綜合邏輯對(duì)象，而事實(shí)上，物的指代在英文語法邏輯中的體現(xiàn)則要寬容得多，英文將名詞按“格”劃分（譬如主格、賓格、物主格、動(dòng)名詞格）、將謂語按“時(shí)”、“態(tài)”劃分（譬如現(xiàn)在進(jìn)行時(shí)，過去進(jìn)行時(shí)，過去現(xiàn)在進(jìn)行時(shí)）的背后是一種映射思想。這與中文中不分時(shí)態(tài)的語法邏輯形式形成鮮明對(duì)比：
由此可見，英語的語法組織指導(dǎo)思想與中文有所不同：
中文的“稱”與“謂”在邏輯上是極其寬泛的，因此一種具象的稱謂往往被廣泛地應(yīng)用于極其廣泛乃至抽象的表達(dá)場(chǎng)合，這么做的根據(jù)是中文旨在“意會(huì)”的內(nèi)在邏輯稟賦（例如得體、實(shí)用、性質(zhì)），而于關(guān)系（這里的關(guān)系是廣義的關(guān)系，既可以是本體和外用的關(guān)系，也可以是任意事物之間的任意相互作用）的“形容”上才極其貼切，這種貼切的心理體驗(yàn)實(shí)際上也是基于“意態(tài)”的譬喻的——即具體現(xiàn)象向抽象意義作感覺象征式引申的（譬如高明，涼薄、端倪，由此可以理解中文含蓄之意）。也有人把這種譬喻描述為“類比”，其實(shí)這并不完全準(zhǔn)確，準(zhǔn)確地說，譬喻只是類比的一種形式，但仍可窺見所謂“類比”的“類”實(shí)際上指的是“抽象邏輯關(guān)系”，即表面關(guān)系背后的邏輯模式。所謂“比”實(shí)際上是一種移借式的引申。之所以會(huì)存在這種現(xiàn)象，與中文的語言心理的歷史息息相關(guān)。也就是說，無論是寬泛的還是貼切的，中文都將“表意”作為表達(dá)的立足中心（表達(dá)的本質(zhì)任務(wù)是“達(dá)義”），
而英文的“稱”與“謂”的格律是極其精確的（其實(shí)中文詩詞中的格律要求也極其嚴(yán)格，填詞頗有似于構(gòu)造函數(shù)），而在關(guān)系形容方面則要模糊得多，有別于旨在意會(huì)的形容，英文的引申邏輯近乎“形象”（譬如 re-search之于研究，ex-traction之于血統(tǒng)，university之于大學(xué)）：語言必先明確其稱謂時(shí)態(tài)背景，前者的精確反映西方分析思維特點(diǎn)，也就是說，分析的宗旨是明確事物的態(tài)性；關(guān)系之形容必以視覺象征。而后者的粗疏則反映西方歸納思維的特點(diǎn)，即西方的歸納表達(dá)也是基于對(duì)象方面特征模式的同比（譬如extraction,“血統(tǒng)”與“提煉”在原始體和自體的內(nèi)涵繼承上均有相同含義；又譬如research，研究探索和反復(fù)搜索在鎖定目標(biāo)過程的行為表現(xiàn)上有相同含義），而在構(gòu)詞設(shè)計(jì)過程中，針對(duì)對(duì)不同方面的特征模式，其選擇原則的邏輯必須保證其相對(duì)其他詞匯的唯一區(qū)別性，即所選擇的方面特征模式必須是該詞匯的區(qū)別性本征。
由此可知，語言系統(tǒng)其實(shí)也完全可以采取如數(shù)學(xué)邏輯系統(tǒng)的建構(gòu)原則——語言的復(fù)雜詞匯通過簡(jiǎn)單詞匯組合而成，。意識(shí)中的事物完全可以較之現(xiàn)實(shí)中的事物廣義得多。事既可以作為一般意義上的“物”的屬性邏輯，其本身也完全可以成其為對(duì)象意義上的“物”，同理也可以推出“事”的屬性邏輯。以歐拉公式為例，將視作，則不難得到的導(dǎo)數(shù)；于是通過構(gòu)造微分方程就不難證明，我們對(duì)方程的習(xí)慣認(rèn)知是“事”，而通過“事”的對(duì)象化就解決了。盡管這并非唯一的論證角度，但對(duì)拓寬論證的思路觀念是很有好處。
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數(shù)學(xué)中的典型概念演變
關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的挫敗的反思
俗話說的好：失敗乃成功之母。這句話在實(shí)際科研的過程中簡(jiǎn)單地理解為一種不畏科研高峰艱險(xiǎn)的豪情與勇氣。在傳統(tǒng)的官方作品中，科學(xué)家形象總是被習(xí)慣性賦予了政治家的豪情和藝術(shù)家的怪癖。事實(shí)上，失敗乃成功之母，但文學(xué)作品總是立足于“不謬”的實(shí)證角度，卻無助于在學(xué)生心理上形成“誠(chéng)哉斯言”的反響。失敗乃成功之母明確地提示了失敗對(duì)探索成功路向的重要提示、啟發(fā)意義。
有一種廣泛而根深蒂固的觀念：即認(rèn)為數(shù)學(xué)是計(jì)算、演算的學(xué)問。應(yīng)該說，這種觀念是導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)疲倦感和恐懼感的根本障礙。事實(shí)證明，人的計(jì)算能力、記憶能力其實(shí)并不比動(dòng)物優(yōu)勝（考究鴿子、馬的識(shí)途即可知此言不虛），而在想象力和抽象概念能力方面則為萬靈之長(zhǎng)。如果認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種神秘的計(jì)算技術(shù)，那么所謂“算術(shù)”就很容易在普遍心理上淪為一種類似星相占卜的不可知論，導(dǎo)致這種現(xiàn)象的重要原因是對(duì)失敗原因缺乏實(shí)質(zhì)性的心理把握，即對(duì)失敗的根本原因并未在達(dá)至“因明”。僅舉數(shù)例如下：
（1）從計(jì)算的抵牾表面來看，是實(shí)際計(jì)算不合數(shù)理導(dǎo)致了計(jì)算的謬誤和推演的抵牾。我們習(xí)慣上的直接反應(yīng)是覺得“猜錯(cuò)了”，進(jìn)而認(rèn)為我們應(yīng)該重新猜測(cè)，這種觀念在于把計(jì)算和概念認(rèn)知本身形成割裂，事實(shí)上，計(jì)算是推理構(gòu)造的工具，也就是推理內(nèi)核的一種外在作用，之所以對(duì)應(yīng)計(jì)算存在諸多的技巧和方案，其本質(zhì)都是計(jì)算背后的概念的支配結(jié)果。由此可知，算法的本質(zhì)依賴不在于形式而在于概念關(guān)系本體的證明。
（2）從幾何的論證上看，我們總覺得是論證的角度出現(xiàn)了問題導(dǎo)致了演繹的寸步難行。我們習(xí)慣上也認(rèn)為這種角度“行不通”，進(jìn)而在心理上形成謬誤的印象，但事實(shí)上，幾何推演是一種條件組合的過程，條件組合以后并未構(gòu)成足以揭示關(guān)系本體的信息并不意味著條件組合本身的謬誤，只能說明組合于論證目的的不恰當(dāng)性。
事實(shí)上，數(shù)學(xué)是概念的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)論證的簡(jiǎn)潔實(shí)際上是建立在的心理基礎(chǔ)之上的。從戴德金關(guān)于“數(shù)的是一種分割”的定義來看，這種形而上的定義似乎很難為人所接受。那么究竟是什么造成了我們心理上的郁結(jié)呢？比對(duì)如下：
（1）“分割”是一個(gè)動(dòng)作指代，如何能夠成為“數(shù)”這個(gè)名詞的本質(zhì)呢？
（2）作為“分割”存在的數(shù)，何以能夠證實(shí)它本身與此前一切的基本數(shù)值性質(zhì)就是相容的？
這便涉及到上述的“事物”觀念。針對(duì)問題（1），試讀這句話，The nature of real-number Is kind of Division（動(dòng)名詞）.理解起來就要自然、容易一些。針對(duì)問題（2），“分割”僅僅強(qiáng)調(diào)了數(shù)之間的位置區(qū)別性（即建立數(shù)的疏朗性）而并無其余信息之附加，盡管如此，分析體系構(gòu)建過程中所謂“相容”從本質(zhì)上講是暫時(shí)的，是“目前尚未發(fā)現(xiàn)不相容”前提下的相容。
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對(duì)幾何論證的困境的思考
由此我們可以回顧一個(gè)重要的觀點(diǎn)：即我們并未看見幾何圖形，我們所獲得的只是對(duì)幾何圖形本身的視角。這個(gè)觀點(diǎn)具有重要的啟示意義。也就是說我們?cè)趯?shí)際論證幾何圖形的過程中也忽略了很多信息。盡管我們自身似乎并不容易覺察到這一點(diǎn)，但確是事實(shí)，論證的推演實(shí)際上是以論證的邏輯對(duì)象為中心的探索，而幾何圖形則是其中一切邏輯的整合。這也就提示了一個(gè)重要的信息：所謂證明，實(shí)際上是以若干視角（即該對(duì)象的部分關(guān)系信息或內(nèi)蘊(yùn)信息）為分析對(duì)象的中心角度，這些視角之所以能夠作為依據(jù)，是由于視角本身來源于幾何對(duì)象本身，即視角的作用本身與幾何對(duì)象的構(gòu)造外觀完全吻合的，也就是說，觀察視角實(shí)際上是幾何對(duì)象的某種內(nèi)蘊(yùn)組織模式。
幾何論證往往會(huì)陷入難以演進(jìn)的困境，卻鮮有人在題目謎底揭開以后對(duì)此前的挫敗做充分的反思，以探明自失敗通向成功的邏輯路徑。這種買櫝還珠的行為是極其令人遺憾的。從困難的直接表面來看，是由于幾何論證推進(jìn)到了信息不足的環(huán)節(jié)。一般對(duì)此的直接理解是幾何論證的角度即視角出現(xiàn)了問題。進(jìn)而令人不禁懷疑幾何的認(rèn)知是否存在某種神秘的密鑰，必須嚴(yán)格沿襲這個(gè)唯一的路徑才能揭開論證的謎底。應(yīng)該清楚地看到，論證路徑是否唯一其實(shí)是不絕對(duì)的，或者說，在終極意義上講，我們至少應(yīng)該相信論證路徑肯定不止于一種。這信心來自于對(duì)，而從現(xiàn)實(shí)的角度上講，值得樂觀的是，重要我們存在足夠的耐心，至少我們能夠找出但從困難的根本性質(zhì)上講，但事實(shí)上是幾何論證的策略出現(xiàn)了問題。視角本身是無誤的（只要推演符合數(shù)理邏輯），但關(guān)系的組織邏輯本身卻未必盡如猜想——或者關(guān)鍵的中間環(huán)節(jié)邏輯根本不如解題者所以為的，或者邏輯的傳遞并不具備足夠的裕度：打個(gè)比方，譬若我們走在一個(gè)迷宮的死角里，迷宮的死角假若打開了一個(gè)口，沿襲我們的思路未嘗就不能到達(dá)終點(diǎn)，但可惜的是，既然迷宮的設(shè)定已然，那么我們的思路，這個(gè)時(shí)候不能徑直認(rèn)為我們的來路便就是錯(cuò)，而只能說明來路之初無從估計(jì)——這里所謂的來路之初是針對(duì)站在地面上進(jìn)入迷宮的人而言的，這就好比我們?nèi)我膺x擇了一個(gè)觀察視角。當(dāng)然，如果凌空俯瞰了迷宮地圖的人，自然是知所適從，無往不利的，因?yàn)樗囊娊饨⒃诹送笍貑栴}的邏輯的組織結(jié)構(gòu)即所謂“模式”的基礎(chǔ)上。要想獲得針對(duì)高度抽象而晦澀的問題的這種能力很不容易，對(duì)地面上走迷宮的人而言暫時(shí)不可企及。但這不代表地面上的人無從得到進(jìn)入獲得這種能力的途徑的機(jī)會(huì)，關(guān)鍵是在必須經(jīng)歷了多次的進(jìn)退維谷以后，他才能獲得足夠多的提示信息，才有可能得以退到合適的位置重新開始。。而更重要的是，迷宮里的人只有充分意識(shí)到多次進(jìn)退維谷背后的邏輯共同點(diǎn)，他才能知道問題背后的“模式”的輪廓，才能有望總結(jié)出最簡(jiǎn)潔的方案來解決問題。
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數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔性訴求的必要性
為什么數(shù)學(xué)就必須訴諸簡(jiǎn)潔性呢？這是數(shù)學(xué)成其為自然語言的重要原因。科學(xué)家相信自然原理先驗(yàn)地排斥邏輯冗余。因?yàn)槿哂噙壿嫴环献匀贿壿嬔莼摹安綉B(tài)”原則，也就是說，數(shù)學(xué)家的觀念里，在必要邏輯以外多出的邏輯，其來源是沒有根據(jù)的。那么就要問，究竟什么是簡(jiǎn)潔呢？
對(duì)“簡(jiǎn)潔”的直觀理解是論證的邏輯很直接，步驟非常少，但事實(shí)上，“簡(jiǎn)潔”的本質(zhì)含義是要找到一個(gè)新的邏輯本體中心。因?yàn)橐磺械暮?jiǎn)潔就其本質(zhì)而言，都是邏輯的傳遞。而事實(shí)上，數(shù)學(xué)的抽象動(dòng)力并不源于表面的邏輯推演，而源于邏輯歸納和傳遞方式的需要。之所以要試圖找到一個(gè)立足的中心本體以簡(jiǎn)化邏輯傳遞的模式，實(shí)際上正是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的中心思想。
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范數(shù)的啟示
范數(shù)這個(gè)東西在初學(xué)者看來極其突兀，定義也沒有明確的說明。我們先看看范數(shù)的定義
設(shè)X是實(shí)（或復(fù)）的線性空間，如果對(duì)每個(gè)向量，有一個(gè)確定的數(shù)，記為與之相對(duì)應(yīng)，并且滿足
1、
2、（其中α為任意實(shí)復(fù)數(shù)）
3、
則稱為向量x的范數(shù)，稱X按范數(shù)成為線性賦范空間
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從上述的情況來看，范數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上就是實(shí)數(shù)域（復(fù)數(shù)域）的全部幾何關(guān)系規(guī)約，即這里的幾何關(guān)系規(guī)約全部都是“內(nèi)稟”的（所謂內(nèi)稟的，即完全由其自身存在而自然賦予，無需另行外賦。之所以認(rèn)定為內(nèi)稟的，是因?yàn)閺?fù)數(shù)本身就具備這樣的屬性），而這些內(nèi)稟屬性集合又被認(rèn)為是與數(shù)值空間等價(jià)的，之所以認(rèn)為是等價(jià)的，與連續(xù)統(tǒng)本身的幾何本征有關(guān)。那么換言之，范數(shù)的性質(zhì)同樣適用于任意維度的數(shù)值空間，是以謂之“范”，即數(shù)值空間的規(guī)范。于是有范數(shù)空間，即“規(guī)范”的數(shù)值空間——換言之，就是等價(jià)于連續(xù)統(tǒng)數(shù)值空間（幾何本征關(guān)系）的任意維代數(shù)空間。范數(shù)是幾何視角看代數(shù)空間的思想產(chǎn)物，先從幾何本征角度規(guī)范代數(shù)，最終還是反過來用代數(shù)歸納、描述高維幾何。
也就是說，在代數(shù)、幾何分別獨(dú)立發(fā)展的期間，聯(lián)系二者的唯一樞紐就是“數(shù)值”和“關(guān)系”。在解析幾何坐標(biāo)提出以后，幾何問題獲得了代數(shù)化的觀察、解決角度。但實(shí)際上，從解析幾何的向量概念進(jìn)行導(dǎo)引，線性代數(shù)開啟了以“空間”為中心視角的解釋研究角度，把許多關(guān)系性質(zhì)的研究歸結(jié)到代數(shù)空間上進(jìn)行解決（典型如矩陣的乘法，空間與空間的相互作用，從狹義向量幾何的角度來看是一種結(jié)構(gòu)作用關(guān)系，所謂“投影”，從單一向量與單一向量的點(diǎn)積可以理解為“單一向量在單一坐標(biāo)維度上的作用[理解為狹義物理功是狹隘的，之所以這么說，是由于廣義“功”的計(jì)算本身只要滿足“點(diǎn)積”，而物理功則必須要以量綱為必要條件，所以應(yīng)理解為“廣義功”，即如果一定要進(jìn)一步剖析解釋，理解為在該坐標(biāo)維度上的梯度的作用效應(yīng)（即所謂“廣義功”）]?效果”，但單一向量與多向量構(gòu)成的向量空間的點(diǎn)積可以理解為“該向量在某向量空間內(nèi)的作用綜合效果”），那么代數(shù)空間的基本抽象運(yùn)算定義也可以通過在復(fù)數(shù)空間內(nèi)的同類運(yùn)算意義來做類比理解（之所以能夠這么做，其背后的原因必須充分說明，否則會(huì)令人陷入“何以識(shí)其類”的困惑當(dāng)中。）。由此回顧杰出代數(shù)幾何學(xué)家肖鋼先生的名言“代數(shù)是一種解釋”，信哉斯言。
幾何是純粹的結(jié)構(gòu)，解析幾何則是將幾何置于純粹分析的邏輯尺度下的分支。拓樸是對(duì)“樸素”的“延拓”，即純粹的分析學(xué)科。結(jié)合上述分析再推延開去，便可以窺得一點(diǎn)數(shù)學(xué)分支發(fā)展動(dòng)力的端倪：幾何代數(shù)是立足幾何結(jié)構(gòu)角度研究代數(shù)關(guān)系，代數(shù)幾何則是立足代數(shù)綜合角度看待幾何問題；拓?fù)浯鷶?shù)是立足于純粹分析角度重新建構(gòu)代數(shù)體系，由此可見，數(shù)學(xué)的分支發(fā)展進(jìn)入了純粹形式邏輯的時(shí)代，各自均以其所選擇的形式邏輯中心對(duì)其他分支進(jìn)行解析、解釋和構(gòu)造。但無論如何，所謂“千里之行，始于足下”，先找到自身關(guān)于“結(jié)構(gòu)”關(guān)系認(rèn)知的中心本體，以此為根據(jù)對(duì)其他體系進(jìn)行重構(gòu)都是必須而首要的。
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數(shù)學(xué)技術(shù)在演算中的作用及地位
演算在心理上往往以兩種形式存在：一是結(jié)果計(jì)算實(shí)現(xiàn)的工具形式；二是，事實(shí)上，演算分為分析類的演算（譬若我們計(jì)算無窮級(jí)數(shù)的收斂和）和綜合類（譬若我們要?dú)w納機(jī)器的動(dòng)作為矩陣運(yùn)算）的演算，前一種要靠“技”，后一種要靠“術(shù)”。所謂“技”，實(shí)際上是一種組合的謀略（譬如我們希望知道，），所謂“術(shù)”，則更多的是一種歸納匹配。
回顧我們的演算心理，常常會(huì)遭遇這樣的尷尬：我們總希望事物、事情如己所想，但計(jì)算的結(jié)果卻很令人沮喪。我們總因?yàn)槭虑椴蝗缥覀兊念A(yù)期而迅速地放棄原先的構(gòu)想，但事實(shí)上，有一個(gè)鐵一般的事實(shí)我們無法回避：和上述的幾何問題一樣，我們實(shí)際上并不清楚演算失敗的真正原因。
事實(shí)上，綜合演算的場(chǎng)景一般是這樣的：根據(jù)某些形跡和朦朧的感覺，依稀覺得復(fù)雜運(yùn)算中的基本概念的印象模型實(shí)體是XXX的，由此得出運(yùn)算的意義實(shí)際上就是YYY，進(jìn)而在概念層面設(shè)想出一番數(shù)值等價(jià)關(guān)系，由此驗(yàn)證而發(fā)現(xiàn)抵牾。這種問題最直接的原因往往是對(duì)運(yùn)算的意義存在似是而非的“以為”，一般的表現(xiàn)是根據(jù)運(yùn)算所呈現(xiàn)出的某些特性與某些物理事件的作用機(jī)制相符，即將該運(yùn)算與所認(rèn)為的物理事件的相互作用等價(jià)起來。這種邏輯不但不是毫無道理，可以說很有意義，實(shí)際上是數(shù)學(xué)作為整體發(fā)展的一個(gè)重要的邏輯樞紐，但在實(shí)際應(yīng)用中必須充分注意其必要條件。只有在該運(yùn)算完整地涵蓋了物理事件作用的全部?jī)?nèi)涵，才能保證這種猜想的成立。盡管常有謬誤，但這種思想仍舊重要，猜想實(shí)際上就是由這種思想驅(qū)動(dòng)的。
分析類的演算的謬誤則往往源于“技”的枯竭。技的枯竭源于對(duì)概念本質(zhì)把握的貧乏。尤其是抽象概念，多數(shù)的技能枯竭都是由于對(duì)抽象概念缺乏實(shí)質(zhì)性把握導(dǎo)致的。要解決這個(gè)問題，必須先理解抽象概念的實(shí)質(zhì)性把握機(jī)制。抽象概念本體往往是一個(gè)極其難以描述的對(duì)象，因此這些概念本體的描述在應(yīng)用中往往是間接的，也就是說這些概念本體在應(yīng)用場(chǎng)景中總是以這樣那樣的具體性質(zhì)的形式存在的。這其中就發(fā)生了一個(gè)問題，就是說在把握抽象概念的過程中，一般分為如下幾種角度：
（1）利用抽象概念的必要性質(zhì)（含性質(zhì)的組合）即可解決問題
（2）必須借助本征性質(zhì)的簡(jiǎn)約組合重構(gòu)抽象概念（即以若干本征性質(zhì)的組合等價(jià)該抽象概念），以匹配實(shí)際計(jì)算的策略需求
區(qū)別于“以有限列舉逼近”、“以集總形式歸納”、“以循環(huán)形式表達(dá)”這三種具象對(duì)象的處理方式，抽象概念的處理就是“以必要局部等價(jià)全局”的思維。
信息論是用來衡量信息關(guān)系傳遞模式的，不同的求解思路實(shí)際上就是不同的信息組合，在邏輯推導(dǎo)的過程中，可以借助基于概率論的信息論來衡量（傳統(tǒng)上認(rèn)為決定論和概率論之間存在絕對(duì)邊界，但事實(shí)上并非如此，當(dāng)分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)建構(gòu)于極限概念之上時(shí)，確定性實(shí)際上是隨機(jī)性的收斂極限，因此完全可以借助信息論的推導(dǎo)來提示、引導(dǎo)思想的探索方向，這就為純粹抽象的嚴(yán)謹(jǐn)無差數(shù)學(xué)探索和概率性思維實(shí)驗(yàn)之間搭建了溝通的橋梁）。
數(shù)學(xué)中的擬合不僅僅是一種工具，譬如要構(gòu)造一個(gè)未知的滿足某些條件的函數(shù)，一般有以下幾種角度：
一是求滿足單一條件的集合的交集。
二是盡量分析既有慣性思路中存在的可分析盲點(diǎn)，例如構(gòu)造某點(diǎn)可導(dǎo)但任意鄰域不可導(dǎo)的函數(shù)，就是利用了實(shí)數(shù)中無理數(shù)、有理數(shù)且無理數(shù)存在于有理數(shù)任意小領(lǐng)域內(nèi)的特點(diǎn)。
三是理解并掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)單元的特性，將之視為模塊化響應(yīng)函數(shù)，通過系統(tǒng)組合設(shè)計(jì)來進(jìn)行擬合
數(shù)學(xué)證明過程中不可避免地會(huì)涉及到依靠“所得即所見”（這個(gè)依據(jù)的最大前提約束是“處身于高維空間觀察低維空間”）推導(dǎo)所得的部分。這樣的論證總是普遍地存在于中、小學(xué)生的。事實(shí)上，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的最大盲點(diǎn)在于沒有揭示出這個(gè)階段“證明”行為的本質(zhì)——即這種基于外觀的所謂“證明”行為本質(zhì)上只是一種外觀層面上的形式關(guān)系演繹。也就是說，分析體系內(nèi)的關(guān)系語法是以集合論中所定義的基本關(guān)系為其基礎(chǔ)的，更進(jìn)一步說，一切純粹分析論證均可回歸到基于集合論的關(guān)系算子的描述式上。所以要得到純粹分析意義上的證明，必須首先將視覺直觀邏輯全部歸納到分析邏輯中去，由此形成完全基于抽象解釋的分析邏輯體系，才能徹底擺脫幾何直觀對(duì)數(shù)學(xué)論證的干擾。從這個(gè)角度上看，就不難理解何以集合論、點(diǎn)論、測(cè)度論相繼以往，即必須依次實(shí)現(xiàn)對(duì)基本關(guān)系的純粹形式歸納，典型關(guān)系的純粹形式表達(dá)、量度本性解釋，才能切入到積分論和泛函空間中去。
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一些多余的話
論述說到此處似乎應(yīng)該告一段落，但事實(shí)上弦已停而音猶在，而繞梁之音不去，則必有回蕩共鳴之聲。我們不難看出，所謂“嚴(yán)謹(jǐn)”，事實(shí)上是以形式之“嚴(yán)”保障邏輯之“謹(jǐn)”，我們習(xí)慣上認(rèn)為，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砼c不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碇g是完全互斥的，其實(shí)這種觀念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大礙，蒙特卡羅方法是概率性與確定性之間漸進(jìn)的思想產(chǎn)物。同理，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砼c不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碇g也并無鴻溝，對(duì)于不嚴(yán)謹(jǐn)邏輯而言，嚴(yán)謹(jǐn)邏輯是其內(nèi)在的作用規(guī)律。而對(duì)于嚴(yán)謹(jǐn)邏輯而言，不嚴(yán)謹(jǐn)邏輯其實(shí)是其分支特征（特例）邏輯的產(chǎn)物。由此啟發(fā)我們，應(yīng)用數(shù)學(xué)中的不完全嚴(yán)密論證其實(shí)完全可以作為抽象理論建構(gòu)的探索性思維實(shí)驗(yàn)存在。西方的分析性思維在這里其實(shí)是致力于求取思維實(shí)驗(yàn)共性的最小邏輯因素交集，而東方的綜合性思維在這里則是致力于求取最小邏輯因素集合的簡(jiǎn)約化方案。前者以要素為觀察中心，以要素的性質(zhì)劃分關(guān)系信息，形成標(biāo)準(zhǔn)定義；而后者以關(guān)系為觀察中心，以關(guān)系的劃分實(shí)現(xiàn)要素的分析，形成標(biāo)準(zhǔn)定義。
當(dāng)數(shù)學(xué)問題的表面描述不足以求解問題時(shí)，就要考慮變換形式觀念的本體。譬如三次方程的求解，實(shí)際上是對(duì)變量形式的轉(zhuǎn)換，以求得次數(shù)的降維。另外，譬如幾何問題列舉承代數(shù)方程求解，是將幾何視覺結(jié)構(gòu)序列歸結(jié)為以數(shù)量或函數(shù)關(guān)系為核心來計(jì)算；而代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何模型求解（譬如線性代數(shù)中解線性方程組），則是將數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為視覺結(jié)構(gòu)序列關(guān)系求解。線性代數(shù)對(duì)高維方程的求解與幾何向量空間投影等價(jià)起來，由此，高維空間的投影作用均可通過向量計(jì)算來判斷。
實(shí)變范疇積分的困難轉(zhuǎn)化為算子空間變換，是以運(yùn)算規(guī)則為觀察中心實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)并。轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)積分，是以外推出更廣數(shù)域的基本規(guī)律作為計(jì)算算法的根據(jù)，即以探索更深層次內(nèi)在規(guī)律以解脫當(dāng)前的方法角度困境。高次方程求解歸結(jié)為群論問題，也是試圖對(duì)內(nèi)在基本規(guī)律的探索，試圖要么是歸納出充分要素對(duì)高次方程給出通解，要么是以必要本征判斷解的存在性。從上述這些動(dòng)機(jī)來看，從方法背景、結(jié)構(gòu)邏輯、運(yùn)算規(guī)則各個(gè)角度都可以想辦法解脫數(shù)學(xué)問題的困境，數(shù)學(xué)實(shí)際上是一種思維轉(zhuǎn)換技術(shù)。
習(xí)題本質(zhì)上是一種關(guān)系場(chǎng)景的構(gòu)造，做習(xí)題的目的是為了充分認(rèn)識(shí)一種關(guān)系并體察上述的技術(shù)思想，上述的技術(shù)不是單一存在的，而是綜合使用的，或依次序列，或復(fù)合嵌套，或分部分節(jié)分別解決，不一而足。
最后引用一段牛人的話結(jié)束此文，并與所有和我一樣尚在數(shù)學(xué)的迷茫之中“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”仍不放棄探索的同好共勉——“學(xué)任何東西都要有一個(gè)基礎(chǔ)，在學(xué)生階段，就是以某個(gè)重要理論為目標(biāo)，然后去補(bǔ)習(xí)essential的背景知識(shí)，但是無論學(xué)什么，都有一個(gè)底層基礎(chǔ)，包括實(shí)分析、復(fù)分析、點(diǎn)集拓?fù)洹⒊橄蟠鷶?shù)、泛函分析。然后是第二層基礎(chǔ)，包括調(diào)和分析，多復(fù)變，微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)洹⒔粨Q代數(shù)、同調(diào)代數(shù)、拓?fù)淙骸⑷罕硎尽⒗杪?#xff0c;微分幾何和偏微分方程。這兩層基礎(chǔ)打好以后，就可以隨意看書。”——煙花不堪剪
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数学学习的心理——关于数学中的挫败的反思及若干启示的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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