自古以來(lái)，人們的日常生活和所從事的許多領(lǐng)域，都離不開數(shù)值計(jì)算，并且隨著人類社會(huì)的進(jìn)步，對(duì)計(jì)算的速度和精確程度的需要愈來(lái)愈高，這就促進(jìn)了計(jì)算技術(shù)的不斷發(fā)展。印度阿拉伯記數(shù)法、十進(jìn)小數(shù)和對(duì)數(shù)是文藝復(fù)興時(shí)期計(jì)算技術(shù)的三大發(fā)明，它們是近代數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生和發(fā)展的重要條件。其中對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)，曾被18世紀(jì)法國(guó)大數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。

對(duì)數(shù)思想的萌芽
對(duì)數(shù)的基本思想可以追溯到古希臘時(shí)代。早在公元前500年，阿基米德就研究過(guò)幾個(gè)10的連乘積與10的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，用現(xiàn)在的表達(dá)形式來(lái)說(shuō)，就是研究了這樣兩個(gè)數(shù)列：1，10，102，103，104，105，……；0，1，2，3，4，5，……
他發(fā)現(xiàn)了它們之間有某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。利用這種對(duì)應(yīng)可以用第二個(gè)數(shù)列的加減關(guān)系來(lái)代替第一個(gè)數(shù)列的乘除關(guān)系。阿基米德雖然發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，但他卻沒有把這項(xiàng)工作繼續(xù)下去，失去了對(duì)數(shù)破土而出的機(jī)會(huì)。
2000年后，一位德國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)對(duì)數(shù)的產(chǎn)生作出了實(shí)質(zhì)性貢獻(xiàn)，他就是史蒂非。1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的發(fā)現(xiàn)，他寫出兩個(gè)數(shù)列：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……；1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048……
他發(fā)現(xiàn)，上一排數(shù)之間的加、減運(yùn)算結(jié)果與下一排數(shù)之間的乘、除運(yùn)算結(jié)果有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如，上一排中的兩個(gè)數(shù)2、5之和為7，下一排對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)4、32之積128正好就是2的7次方。實(shí)際上，用后來(lái)的話說(shuō)，下一列數(shù)以2為底的對(duì)數(shù)就是上一列數(shù)，并且史蒂非還知道，下一列數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化為上一列數(shù)的加法、減法運(yùn)算。例如，23×25＝23＋5，等等。
就在史蒂非悉心研究這一發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，他遇到了困難。由于當(dāng)時(shí)指數(shù)概念尚未完善，分?jǐn)?shù)指數(shù)還沒有認(rèn)識(shí)，面對(duì)像17×63，1025÷33等情況就感到束手無(wú)策了。在這種情況下，史蒂非無(wú)法繼續(xù)深入研究下去，只好停止了這一工作。但他的發(fā)現(xiàn)為對(duì)數(shù)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。
納皮爾的功績(jī)
15、16世紀(jì)，天文學(xué)得到了較快的發(fā)展。為了計(jì)算星球的軌道和研究星球之間的位置關(guān)系，需要對(duì)很多的數(shù)據(jù)進(jìn)行乘、除、乘方和開方運(yùn)算。由于數(shù)字太大，為了得到一個(gè)結(jié)果，常常需要運(yùn)算幾個(gè)月的時(shí)間。繁難的計(jì)算苦惱著科學(xué)家，能否找到一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法？數(shù)學(xué)家們?cè)谔剿鳌⒃谒伎肌Ｈ绻苡煤?jiǎn)單的加減運(yùn)算來(lái)代替復(fù)雜的乘除運(yùn)算那就太好了！這一夢(mèng)想終于被英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾實(shí)現(xiàn)了。
納皮爾于1550年生于蘇格蘭的愛丁堡。他家是蘇格蘭的貴族，他13歲入圣安德盧斯大學(xué)學(xué)習(xí)，后來(lái)留學(xué)歐洲，1571年回到家鄉(xiāng)。納皮爾是一位地主，他曾在自己的田地里進(jìn)行肥料施肥試驗(yàn)，研究過(guò)飼料的配合，還設(shè)計(jì)制造過(guò)抽水機(jī)。他的興趣十分廣泛，一方面熱衷于政治和宗教斗爭(zhēng)，一方面投身于數(shù)學(xué)研究。他在球面三角學(xué)的研究中有一系列突出的成果。
納皮爾研究對(duì)數(shù)的最初目的，就是為了簡(jiǎn)化天文問題的球面三角的計(jì)算，他也是受了等比數(shù)列的項(xiàng)和等差數(shù)列的項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的啟發(fā)。納皮爾在兩組數(shù)中建立了這樣一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)?shù)谝唤M數(shù)按等差數(shù)列增加時(shí)，第二組數(shù)按等比數(shù)列減少。于是，后一組數(shù)中每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間的乘積關(guān)系與前一組數(shù)中對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的和，建立起了一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，從而可以將乘法歸結(jié)為加法運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上，納皮爾借助運(yùn)動(dòng)概念與連續(xù)的幾何量的結(jié)合繼續(xù)研究。納皮爾畫了兩條線段，設(shè)AB是一條定線段，CD是給定的射線，令點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AB變速運(yùn)動(dòng)，速度跟它與B的距離成比例地遞減。同時(shí)，令點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CD作勻速運(yùn)動(dòng)，速度等于P出發(fā)時(shí)的值，納皮爾發(fā)現(xiàn)此時(shí)P、Q運(yùn)動(dòng)距離有種對(duì)應(yīng)關(guān)系，他就把可變動(dòng)的距離CQ稱為距離PB的對(duì)數(shù)。
納皮爾
納皮爾的棋盤計(jì)算器
當(dāng)時(shí)，還沒有完善的指數(shù)概念，也沒有指數(shù)符號(hào)，因而實(shí)際上也沒有“底”的概念，他把對(duì)數(shù)稱為人造的數(shù)。對(duì)數(shù)這個(gè)詞是納皮爾創(chuàng)造的，原意為“比的數(shù)”。他研究對(duì)數(shù)用了20多年時(shí)間，1614年，他出版了名為《奇妙的對(duì)數(shù)定理說(shuō)明書》的著作，發(fā)表了他關(guān)于對(duì)數(shù)的討論，并包含了一個(gè)正弦對(duì)數(shù)表。
有趣的是同一時(shí)刻瑞士的一個(gè)鐘表匠比爾吉也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)，他用了8年時(shí)間編出了世界上最早的對(duì)數(shù)表，但他長(zhǎng)期不發(fā)表它。直到1620年，在開普勒的懇求下才發(fā)表出來(lái)，這時(shí)納皮爾的對(duì)數(shù)已聞名全歐洲了。
對(duì)數(shù)的完善
納皮爾的對(duì)數(shù)著作引起了廣泛的注意，倫敦的一位數(shù)學(xué)家布里格斯于1616年專程到愛丁堡看望納皮爾，建議把對(duì)數(shù)作一些改進(jìn)，使1的對(duì)數(shù)為0，10的對(duì)數(shù)為1等等，這樣計(jì)算起來(lái)更簡(jiǎn)便，也將更為有用。次年納皮爾去世，布里格斯獨(dú)立完成了這一改進(jìn)，就產(chǎn)生了使用至今的常用對(duì)數(shù)。1617年，布里格斯發(fā)表了第一張常用對(duì)數(shù)表。1620年，哥萊斯哈姆學(xué)院教授甘特試作了對(duì)數(shù)尺。
當(dāng)時(shí)，人們并沒有把對(duì)數(shù)定義為冪指數(shù)，直到17世紀(jì)末才有人認(rèn)識(shí)到對(duì)數(shù)可以這樣來(lái)定義。1742年，威廉斯把對(duì)數(shù)定義為指數(shù)并進(jìn)行系統(tǒng)敘述。現(xiàn)在人們定義對(duì)數(shù)時(shí)，都借助于指數(shù)，并由指數(shù)的運(yùn)算法則推導(dǎo)出對(duì)數(shù)運(yùn)算法則。可在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)卻早于指數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的珍聞。
解析幾何與微積分出現(xiàn)以后，人們?cè)谘芯壳€下的面積時(shí)，發(fā)現(xiàn)了面積與對(duì)數(shù)的聯(lián)系。比如，圣文森特的格雷果里在研究雙曲線xy＝1下的面積時(shí)，發(fā)現(xiàn)面積函數(shù)很像一個(gè)對(duì)數(shù)，后來(lái)他的學(xué)生沙拉薩第一個(gè)把面積解釋為對(duì)數(shù)。但當(dāng)時(shí)并沒有認(rèn)識(shí)到對(duì)數(shù)和雙曲線下面積之間的確切關(guān)系，更沒有認(rèn)識(shí)到自然對(duì)數(shù)就是以e為底的對(duì)數(shù)。后來(lái)，牛頓也研究過(guò)此類問題。歐拉在1748年引入了以a為底的x的對(duì)數(shù)logax這一表示形式，以作為滿足ay=x的指數(shù)y。并對(duì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)作了深入研究。而復(fù)變函數(shù)的建立，使人們對(duì)對(duì)數(shù)有了更徹底的了解。
天文學(xué)家的欣喜
對(duì)數(shù)的出現(xiàn)引起了很大的反響，不到一個(gè)世紀(jì)，幾乎傳遍世界，成為不可缺少的計(jì)算工具。其簡(jiǎn)便算法，對(duì)當(dāng)時(shí)的世界貿(mào)易和天文學(xué)中大量繁難計(jì)算的簡(jiǎn)化，起了重要作用，尤其是天文學(xué)家?guī)缀跏且钥裣驳男那閬?lái)接受這一發(fā)現(xiàn)的。1648年，波蘭傳教士穆尼閣把對(duì)數(shù)傳到中國(guó)。
在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前，對(duì)數(shù)是十分重要的簡(jiǎn)便計(jì)算技術(shù)，曾得到廣泛的應(yīng)用。對(duì)數(shù)計(jì)算尺幾乎成了工程技術(shù)人員、科研工作者離不了的計(jì)算工具。直到20世紀(jì)發(fā)明了計(jì)算機(jī)后，對(duì)數(shù)的作用才為之所替代。但是，經(jīng)過(guò)幾代數(shù)學(xué)家的耕耘，對(duì)數(shù)的意義不再僅僅是一種計(jì)算技術(shù)，而且找到了它與許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，對(duì)數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，表現(xiàn)出極其廣泛的應(yīng)用。
1971年，尼加拉瓜發(fā)行了一套郵票，尊崇世界上“十個(gè)最重要的數(shù)學(xué)公式”。每張郵票以顯著位置標(biāo)出一個(gè)公式并配以例證，其反面還用西班牙文對(duì)公式的重要性作簡(jiǎn)短說(shuō)明。有一張郵票是顯示納皮爾發(fā)現(xiàn)的對(duì)數(shù)。
紀(jì)念郵票：納皮爾發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)
對(duì)數(shù)、解析幾何和微積分被公認(rèn)是17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大重要成就，恩格斯贊譽(yù)它們是“最重要的數(shù)學(xué)方法”。伽利略甚至說(shuō)：“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我即可創(chuàng)造一個(gè)宇宙。”
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總結(jié)

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