MIT線性代數(shù)課程精細(xì)筆記[第五課]

前言

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MIT線性代數(shù)課程精細(xì)筆記[第二課]筆記見MIT線性代數(shù)課程精細(xì)筆記2。

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MIT線性代數(shù)課程精細(xì)筆記[第四課]筆記見干貨|MIT線性代數(shù)課程精細(xì)筆記4

該筆記是連載筆記，希望對(duì)大家有幫助。

1知識(shí)概要

本節(jié)我們?cè)僬勚脫Q矩陣與轉(zhuǎn)置矩陣，并介紹對(duì)稱陣。之后便進(jìn)入學(xué)習(xí)線代的關(guān)鍵所在：向量空間與子空間。

2?置換矩陣

置換矩陣回顧

所謂的置換矩陣 P，就是用來完成行交換的矩陣，更具體來講，是行重新排列 了的單位矩陣。例如 I 就是一個(gè)置換矩陣，只不過 I 對(duì)矩陣沒影響。

那么對(duì)于 n 階矩陣來說，有多少個(gè)置換矩陣呢？答案是：n!種，也就是將單 位矩陣 I 各行重新排列后所有可能的情況數(shù)量。

置換矩陣的使用

在講消元法的時(shí)候，主元位置為 0 是一件很讓人頭疼的事情，這時(shí)就需要置 換矩陣 P 來完成行交換，確保消元過程順利進(jìn)行。上節(jié)課學(xué)習(xí) A = LU 分解時(shí)， 我們沒有考慮要交換行的過程，如果我們想寫出更普適的 LU 分解式的話，必須把行交換情況考慮進(jìn)去，即：

PA = LU

先用行交換使得主元位置不為 0，行順序正確。其后再用 LU 分解。

3?轉(zhuǎn)置矩陣

轉(zhuǎn)置矩陣回顧

之前簡(jiǎn)單介紹過轉(zhuǎn)置矩陣，即

對(duì)稱陣

對(duì)稱矩陣，顧名思義，就是主對(duì)角線兩側(cè)元素對(duì)應(yīng)相等的矩陣。或者說，對(duì) 矩陣 A，如果有：

4向量空間與子空間

向量空間

首先明確“向量空間”的概念，它表示一整個(gè)空間的向量，但是要注意，不是任意向量的集合都能被稱為向量空間。所謂的向量空間，必須滿足一定規(guī)則， 就是：該空間對(duì)線性運(yùn)算（相加，數(shù)乘）封閉。類似：v → 3v 或 v，w → v+w 運(yùn)算，若得到的 3v 或者 v+w 都仍然在此空間中，那么這個(gè)空間可稱為向量空間。

很明顯，這部分空間無法滿足“線性組合仍在空間中”的要求，比如數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，隨便取個(gè)負(fù)數(shù)，向量就跑到第三象限去，脫離 D 空間范圍內(nèi)了。

子空間

上面的反例已經(jīng)證明了。在向量空間里隨便取其一部分，很可能得到的不是 向量空間。那如果我們?nèi)∠蛄靠臻g的一部分，將其打亂，構(gòu)成的有沒有可能是向 量空間呢？

列空間簡(jiǎn)要介紹

上面介紹的子空間都是基于已知的圖像來尋找的，接下來我們來通過具體的 矩陣來構(gòu)造出一個(gè)子空間，比如：列向量構(gòu)造出的列空間。

這里還要注意列向量之間的性質(zhì)，如果列向量之間就是共線的，那么其列空間就是一條過原點(diǎn)的直線。

5?學(xué)習(xí)感悟

這節(jié)算是結(jié)束了之前部分對(duì)基本運(yùn)算和基本概念的介紹。介紹了向量空間和子空間，并由子空間引出了通過具體的列向量構(gòu)成的空間—列空間。如何理解空間十分重要，本節(jié)中對(duì)低維的空間做了圖，目的主要是便于我們理解“空間”這 一概念。

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總結(jié)

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