概述

都知道, 計算機中存儲整數是存在著位數限制的, 所以如果需要計算100位的數字相乘, 因為編程本身是不支持存儲這么大數字的, 所以就需要自己實現, 當然了, 各個編程語言都有大數的工具包, 何必重復造輪子, 但我還是忍不住好奇他們是如何實現的, 雖然最終沒有翻到他們的底層源碼去, 但查詢的路上還是讓我大吃一驚, 來吧, 跟我一起顛覆你的小學數學.

長乘運算

當然, 如果自己實現這樣一個大數, 用數組來存儲每一位是我當前想到的方法. 那如何進行乘法運算呢? 因為用數組來存儲數字, 那么數字的加法也要采用每一位進位的方式來進行, 所以下面為了方便說明算法的效率, 以一次個位數的運算視為一個運算單位.

上小學知識:

• $4?5=20$
  • 個位數相乘, 一次運算
• $14?5=(4?5)+(1?5)?10=70$
  • 2位數乘1位數, 分解后共: 2次乘法和2位數的加法, 4次運算(乘10可看做移位操作)
• $134?6=(4?6)+(3?6)?10+(1?6)?100=804$
  • 3位數乘1位數, 分解后共: 3次乘法, 3位數的加法(不要看兩個加號, 可以乘法運算完后做連加運算, 當然, 也可能連加之后發生溢出, 暫不考慮. 此處簡化只看加法的位數即可), 6次運算.
• $1234?7=(4?7)+(3?7)?10+(2?7)?100+(1?7)?1000=8638$
  • 4位數乘1位數, 8次運算.

通過上面可總結規律, n位數乘一位數, 需要 2n 次運算. 將 n 位數乘1位數的運算稱作短乘. 然后下面再看一下 n 位數乘 n 位數.

• $14?13=(14?3)+(14?1)?10=182$
  • 兩位數相乘, 2次短乘, 4位數加法(99*9*10 最差情況). 共: $2?(2n)+4=12$ 次運算
• $132?256=(132?6)+(132?5)?10+(132?2)?100=33792$
  • 三位數相乘: 3次短乘, 6位數加法(最差情況), 共: $3?(2n)+6=24$次運算.

通過上面, 總結規律, n位數相乘(長乘)的運算次數是: $n?(2n)+2n=2n^2+2n$ 次運算. 當然, 這就是我們從小接受的進行乘法運算的方法, 所以寫成這樣還好, 比較合乎常理. 時間復雜度是 O(n^2)

但是, 他還可以更快么? 我以為就這樣了, 是我小看了偉大的數學家. .

Karatsuba方法

由簡入難, 先看一下兩位數的乘法:

12*34, 為了方便初中方程未知數的思維, 我們將這兩個數字拆解一下:

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? 12 &= 10a+b (其…

則,

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?*?}? & 12*34 \\ =& …

當化簡到這里, 2位數相乘需要幾次運算? 來算一下:

• $10(am+bn)$ : 共2次乘法, 2位數加法, 共4次運算.
• an 和 bm : 共2次乘法, 共2次運算
• 剩下最外層的加法, 最差情況: ($100?9?9$ 4位數, $10?(9?9+9?9)$ 4位數), 共4次運算
• 則總計, $4+4+2=10$次運算.

此時, 需要的運算次數已經較之前的12次少一些了, 但是別急, 容我把公式再變換一下.

令:

$$\begin{gathered} u=an \\ w=bm \\ s=(b?a)?(m?n) \end{gathered}$$

公式:

$$\begin{gathered} 100u+(u+w?s)?10+w \\ =100an+(an+bm?(b?a)?(m?n))?10+bm \\ =100an+(an+bm?bm+bn+am?an)?10+bm \\ =100an+(bn+am)?10+bm \end{gathered}$$

是不是和上面的公式一樣了呢? 是的, 那轉換公式是為了什么呢? 當然是為了減少運算次數啦. 算一下:

• 計算u : 1次運算
• 計算w: 1次運算
• 計算 s: 3次運算
• 計算 u+w-s: 2位數運算, 2次運算
• 計算最外層加法: 3位數運算, 3次運算
• 共: 10次運算.

這和我剛才計算的不也是10次么? 不過個位數的乘法換成加法就會變快了么? 不要小看這個一次乘法運算的減少, 從上面能夠看出, 乘法運算的運算次數是隨位數成指數增長的, 而加法運算則隨位數成線性增長, 等看了下面的多位數相乘, 你就知道減少的這一次乘法運算有什么用了.

不過下面才是重頭戲, 數字多了之后, 此算法就明顯比傳統的快的多了.

4位數乘法

計算: $1234?5678$

設:

$$\begin{gathered} 1234=100a+b(其中a=12,b=34) \\ 5678=100n+m(其中n=56,m=78) \\ 1234+5678=(100a+b)?(100n+m) \end{gathered}$$

套用上面的公式:

令:

$$\begin{gathered} u=an \\ w=bm \\ s=(b?a)?(m?n) \end{gathered}$$

則結果為: $10000u+(u+w?s)?100+w$

此次進行了幾次運算呢? 算一下:

• 計算 u: 兩位數乘法, 10次運算
• 計算w: 10次運算
• 計算s: 兩位數減法兩次, 一次乘法, 14次運算
• 計算整體: 8位數相加($99?99?10000$), 8次運算
• 整體: $10+10+14+8=32$次運算.

32次運算, 之前長乘的方式需要幾次呢? $2?(4?4)+2?4=40$. 是不是少了.

也就是說, 4位數的乘法, 其中用到了3次兩位數乘法, 2次兩位數減法, 1次8位數加法.

8位數乘法

8位數乘法就不展開了, 直接套用4位數乘法得出的結論, 其運算次數為:

• 3次4位數乘法: $3?32=96$次
• 2次4位數減法: $2?4=8$次
• 1次 $9999?9999?100000000$ 位數加法: 17次
• 共: $96+8+17=121$次運算.

原來的長乘需要幾次呢? $2?(8?8)+2?8=144$次.

是不是有一種動態規劃, 分而治之的感覺? 可以利用函數遞歸來實現.

問題

想必此算法的問題也很明顯了, 為了每次都能將數字拆成左右兩部分, 所以只能夠計算位數是2的 n 次方的數字, 如果位數不足, 則需要在前邊進行補0.

算法比較

為了比較兩個算法的運算次數, 讓我們忽略運算的低次冪以及常數項, 則(以下 n 為2的冪):

長乘

$$f(n)=\{\begin{array}{l}1,\text{?n?==?1}\\ 2?(2^n{)}^2,\text{else}\end{array}$$

Karatsuba:

$$f(n)=\{\begin{array}{l}3,\text{n==1}\\ 3?f(n?1),\text{else}\end{array}$$

分別進行計算:

2的冪/數字位數長乘Karatsuba

$2^0=1$	1	1
$2^1=2$	8	3
$2^{10}=1024$	2097152
$2^{20}=1048576$	2199023255552	1162261467
$2^{50}=1125899906842624$	2535301200456458802993406410752	239299329230617529590083
$2^{100}=1267650600228229401496703205376$	3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602752	171792506910670443678820376588540424234035840667

可以看出來, 當數字的位數越大, 則兩個算法之間的差距越明顯.

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有沒有被顛覆的感覺? 是不是自己知道了20多年的乘法運算, 根本沒有想到還有其他計算乘法的運算規則? 我也沒想到, 漲見識了…

果然, 沒有什么是偉大的科學家們做不到的, 這算法我看了近乎整整一天, 草稿紙廢了四十張, 總算是略知一二了.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的长整数的乘法运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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