今天聽了ljss神犇的數(shù)論課，頓時(shí)感覺(jué)————我真的是太弱啦！

我只能稍微寫一下我能聽懂的部分orz

那么這就是今天我為數(shù)不多能聽懂一點(diǎn)的之一......QAQ

首先先介紹今天的主角：費(fèi)馬小定理

————轉(zhuǎn)自維基百科

沒(méi)看懂的話我稍微解釋一下，就是

假如p是質(zhì)數(shù)，且GCD(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1(mod p)(假如p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)，那么 a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1)

因此我們就似乎有了基于費(fèi)馬小定理的判斷素?cái)?shù)方式：隨機(jī)枚舉使gcd(a,p)=1的a。判斷該表達(dá)式是否成立--------記為命題q

但是仔細(xì)想一想，會(huì)發(fā)現(xiàn)命題q實(shí)際是費(fèi)馬小定理的逆命題

根據(jù)我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)選修2-1學(xué)習(xí)的內(nèi)容，真命題的逆命題不一定是真命題....

似乎出現(xiàn)了一些問(wèn)題呢x

所幸的是，這種思路大部分時(shí)間是正確的，因?yàn)楦鶕?jù)某個(gè)奇怪的性質(zhì)，費(fèi)馬小定理只有對(duì)于少數(shù)數(shù)才會(huì)出現(xiàn)逆命題不成立的情況，而這類數(shù)就被稱為卡邁克爾數(shù)(Carmichael number)

卡邁克爾數(shù)在正整數(shù)中很少，并且隨著數(shù)的增大會(huì)變的越來(lái)越少，在1e8范圍內(nèi)只有255個(gè)，1e17范圍內(nèi)也才只有不到6e5個(gè)，因此可以直接多次應(yīng)用上述的算法來(lái)提高準(zhǔn)確性

不過(guò)作為有追求的oier，我們?cè)趺茨苓@么沒(méi)有夢(mèng)想呢？

我們引入新工具：

二次探測(cè)定理 如果p是一個(gè)素?cái)?shù)，且0

下面給出簡(jiǎn)單的證明：

x^2≡1(mod p)

→x^2-1≡0(mod p)

→(x-1)(x+1)≡0(mod p)

那么我們將二次探測(cè)定理轉(zhuǎn)換成

(a(p-1)/2)2≡1(mod p)

應(yīng)用上面這兩個(gè)定理可以使失誤率達(dá)到最劣2-t，而實(shí)際遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到這個(gè)數(shù)，因此一般3~5次即可保證正確性

該算法就是Miller_Rabin算法，期望復(fù)雜度O(tlog3n)

代碼：(還有些許唐突的地方，待補(bǔ)全)題目為洛谷線性篩模板

#include

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#include

#define N 10000001

typedef long long ll;

const int inf=0x3fffffff;

const int maxn=2017;

using namespace std;

inline int read()

{

int f=1,x=0;char ch=getchar();

while(ch>'9'|ch

{

if(ch=='-')

f=-1;

ch=getchar();

}

while(ch<='9'&&ch>='0')

{

x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';

ch=getchar();

}

return f*x;

}

ll qmulti(ll a,ll b,ll c)

{

ll tem=a,sum=0;

while(b)

{

if(b&1)sum=(sum+tem)%c;

tem=(tem+tem)%c;

b>>=1;

}

return sum;

} //防止乘的時(shí)候過(guò)大爆掉

ll qpow(ll a,ll b,ll c)

{

ll k=1;

while(b>0)

{

if(b&1)k=(k*a)%c;

a=(a*a)%c;

b>>=1;

}

return k;

}

bool witness(int a,int x,int k,int q)

{

ll v=qpow(a,q,x);

if(v==1||v==x-1)return 0;

while(k--)

{

v=v*v%x;

if(v==x-1)return 0;

}

return 1;

}

bool miller(ll n)

{

int time=5;//隨機(jī)time次

if(n==2)return 1;//特判2

if(n<2||n%2==0)return 0;

ll a=0,t=0,b=n-1;

while(!(b&1))

{

t++;

b>>=1;

}

for(int i=0;i

{

a=rand()%(n-1)+1;

if(witness(a,n,t,b))return 0;

}

return 1;

}

int main()

{

srand(time(0));

ll n=read(),m=read();

for(ll i=1;i<=m;i++)

{

ll a=read();

printf(miller(a)?"Yes\n":"No\n");

}

}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

[a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

a p ? 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}

來(lái)源：https://www.cnblogs.com/tsunderehome/p/7517658.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的费尔马小定理素数java_利用费马小定理判断素数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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