向量空間模型VSM及余弦計算

向量空間模型的基本思想是把文檔簡化為以特征項（關鍵詞）的權重為分量的N維向量表示。

這個模型假設詞與詞間不相關（這個前提造成這個模型無法進行語義相關的判斷，向量空間模型的缺點在于關鍵詞之間的線性無關的假說前提），用向量來表示文本，從而簡化了文本中的關鍵詞之間的復雜關系，文檔用十分簡單的向量表示，使得模型具備了可計算性。

在向量空間模型中，文本泛指各種機器可讀的記錄。

用D（Document）表示文本，特征項（Term，用t表示）指出現在文檔D中且能夠代表該文檔內容的基本語言單位，主要是由詞或者短語構成，文本可以用特征項集表示為D（T1，T2，…，Tn），其中Tk是特征項，要求滿足1<=k<=N。

下面是向量空間模型（特指權值向量空間）的解釋。

假設一篇文檔中有a、b、c、d四個特征項，那么這篇文檔就可以表示為

D（a，b，c，d）

對于其它要與之比較的文本，也將遵從這個特征項順序。對含有n個特征項的文本而言，通常會給每個特征項賦予一定的權重表示其重要程度，即

D＝D（T1，W1；T2，W2；…，Tn，Wn）

簡記為

D＝D（W1，W2，…，Wn）

我們把它叫做文本D的權值向量表示，其中Wk是Tk的權重，1<=k<=N。

在上面那個例子中，假設a、b、c、d的權重分別為30，20，20，10，那么該文本的向量表示為

D（30，20，20，10）

在向量空間模型中，兩個文本D1和D2之間的內容相關度Sim（D1，D2）常用向量之間夾角的余弦值表示，公式為：

其中，W1k、W2k分別表示文本D1和D2第K個特征項的權值，1<=k<=N。

下面是利用模型進行余弦計算的示例。

在自動歸類中，我們可以利用類似的方法來計算待歸類文檔和某類目的相關度。

假設文本D1的特征項為a，b，c，d，權值分別為30，20，20，10，類目C1的特征項為a，c，d，e，權值分別為40，30，20，10，則D1的向量表示為

D1（30，20，20，10，0）

C1的向量表示為

C1（40，0，30，20，10）

則根據上式計算出來的文本D1與類目C1相關度是0.86。

那么0.86具體是怎么推導出來的呢？

在數學當中，n維向量是

V{v1，v2，v3，...，vn}

模為

|v|=sqrt（v1*v1+v2*v2+…+vn*vn）

兩個向量的點積

m*n=n1*m1+n2*m2+......+nn*mn

相似度

sim＝（m*n）/（|m|*|n|）

它的物理意義就是兩個向量的空間夾角的余弦數值。

下面是代入公式的過程：

d1*c1=30*40+20*0+20*30+10*20+0*10=2000

|d1|=sqrt（30*30+20*20+20*20+10*10+0*0）=sqrt（1800）

|c1|=sqrt（40*40+0*0+30*30+20*20+10*10）=sqrt（3000）

sim=d1*c1/（|d1|*|c1|）=2000/sqrt（1800*3000）=0.86066

完畢。

總結

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