Mobius函數定義為，輸入一個正整數N，當N=1時，函數值為1，當N不為1時，首先在稿紙上將它分解質因數，若某質因數的個數大于1，則函數值為0，如N=45，45=3*3*5,3出現了兩次，故函數值為0。若質因數全都不相同，設有p個，則函數值為（-1）的p次方，如78,78=2*3*13，質因數全都不相同，有3個，所以函數值為（-1）的3次方，為-1。

f(n)和g(n)是定義在正整數集合上的兩個函數，若
　　 則
　　 反之亦然。
　　其中
　　μ(d)=1, 若d=偶數個不同素數之積
　　μ(d)=(-1)r, 若d=奇數個不同素數之積
　　μ(d)=0, 其他 例如： μ( 30) = μ( 2·3·5 ) = (－1)3 μ(12) = μ( 3·22) = 0 對任何素數p,μ(p)=-1

輔助定理

編輯 對于任意正整數n，恒有
　　 代碼模板：

#include <stdio.h> // 一個數字可以有的最多不同質因數個數 #define MAX_PRIM_FACTOR_AMOUNT 1000 /* Mobius 函數定義為：輸入一個正整數N，當N=1時，函數值為1，當N不為1時，首先在稿紙上將它分解質因數。若某質因數的個數大于1，則函數值為0，如N=45，45=3*3*5,3出現了兩次，故函數值為0。若質因數全都不相同，設有p個，則函數值為（-1）的p次方，如78,78=2*3*13，質因數全都不相同，有3個，所以函數值為（-1）的3次方，為-1。 */ /*功能：求 Mobius 函數的值參數：n 一個正整數 doPrint 是否輸出正整數 n 的質因數分解形式。1：輸出；0：不輸出。 返回： Mobius 函數的值 */ int Mobius(unsigned int n, unsigned int doPrint) {// 用 m 來臨時保存 m 的值。因此 n 的值在運算過程中會被改變。 int m = n; // 用 i 來枚舉 n 的質因數int i;// 數字 n 的不同質因數個數 int primeFactorAmount = 0;// n 的某個質因數 i，出現在 n 中的次數 int countCurrentPrimeFactor = 0;// Mobius 函數的值。初始值為 -3，表示還沒有計算出函數值。 int result = -3;// 記錄所有質因數出現的次數。用于輸出質因數分解形式。 int primFactors[MAX_PRIM_FACTOR_AMOUNT][2]; if(n == 0){// 【1】n==0 的情況，實際是非法的輸入。這里返回 -2。 result = -2;}else if(n == 1){// 【2】n==1 的情況result = 1;}else{for(i=2; i<=n ; i++){countCurrentPrimeFactor = 0;while(n % i == 0){// 從數字 n 中除去質因數 i n /= i;// 統計質因數 i 出現的次數 countCurrentPrimeFactor ++;}if(countCurrentPrimeFactor >= 1){// 數字 i 是數字 n 的質因數 primFactors[primeFactorAmount][0] = i;primFactors[primeFactorAmount][1] = countCurrentPrimeFactor;primeFactorAmount ++;if(countCurrentPrimeFactor > 1){// 【3】 n 的某質因數的個數大于 1 的情況 result = 0;} }}if(result == -3){// 【4】 n 有 p 個不同的質因數，返回 (-1)^p result = (primeFactorAmount%2 ? -1 : 1); } }if(doPrint){// 需要輸出 n 的質因數分解形式if(m <= 1)printf("%d = %d\n", m , m);else{printf("%d = ", m);for(i=0; i<primeFactorAmount; i++){printf("%d", primFactors[i][0]);if(primFactors[i][1] > 1)// 質因數出現多余一次，輸出出現次數。 printf("^%d", primFactors[i][1]);if(i < (primeFactorAmount-1))printf(" * ");}printf("\n");} } return result;} int main(int argc, char *argv[]) {int n;// 輸入 n ，按 ctrl + z 停止輸入 while(scanf("%d",&n) !=EOF){printf("Mobius(%d) = %d\n", n, Mobius(n, 1));} return 0; }

/* 測試數據： 0 1 45 78 12345678測試結果： 0 0 = 0 Mobius(0) = -2 1 1 = 1 Mobius(1) = 1 45 45 = 3^2 * 5 Mobius(45) = 0 78 78 = 2 * 3 * 13 Mobius(78) = -1 12345678 12345678 = 2 * 3^2 * 47 * 14593 Mobius(12345678) = 0 ^Z */

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Mobius函数计算 定义+代码模板的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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