遞歸函數(shù)時間復(fù)雜度分析

?

(1)?遞歸執(zhí)行過程?
???例子：求N!。?
????這是一個簡單的"累乘"問題，用遞歸算法也能解決。?
????n!?=?n?*?(n?-?1)!???n?>?1?
????0!?=?1,?1!?=?1??????n?=?0,1?
????因此，遞歸算法如下：?
???
Java代碼?
fact(int?n)?{??
????if(n?==?0?||?n?==?1)???
?????????return?1;??
????????else???
?????????????return?n?*?fact(n?-?1);??
????}??
????以n=3為例，看運行過程如下：?
????fact(3)?-----?fact(2)?-----?fact(1)?------?fact(2)?-----fact(3)?
????------------------------------>??------------------------------>?
????????????????遞歸????????????????????????????回溯?
??遞歸算法在運行中不斷調(diào)用自身降低規(guī)模的過程，當(dāng)規(guī)模降為1，即遞歸到fact(1)時，滿足停止條件停止遞歸，開始回溯(返回調(diào)用算法)并計算，從fact(1)=1計算返回到fact(2);計算2*fact(1)=2返回到fact(3)；計算3*fact(2)=6，結(jié)束遞歸。?
???算法的起始模塊也是終止模塊。?
(2)?遞歸實現(xiàn)機(jī)制?
????每一次遞歸調(diào)用，都用一個特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)"棧"記錄當(dāng)前算法的執(zhí)行狀態(tài)，特別地設(shè)置地址棧，用來記錄當(dāng)前算法的執(zhí)行位置，以備回溯時正常返回。遞歸模塊的形式參數(shù)是普通變量，每次遞歸調(diào)用得到的值都是不同的，他們也是由"棧"來存儲。?
(3)?遞歸調(diào)用的幾種形式?
????一般遞歸調(diào)用有以下幾種形式(其中a1、a2、b1、b2、k1、k2為常數(shù))。?
???<1>?直接簡單遞歸調(diào)用：?f(n)?{...a1?*?f((n?-?k1)?/?b1);?...};?
????
???<2>?直接復(fù)雜遞歸調(diào)用：?f(n)?{...a1?*?f((n?-?k1)?/?b1);?a2?*?f((n?-?k2)?/?b2);?...};?
????<3>?間接遞歸調(diào)用：??f(n)?{...a1?*?f((n?-?k1)?/?b1);?...}，?
????????????????????????g(n)?{...a2?*?f((n?-?k2)?/?b2);?...}。?
2.?遞歸算法效率分析方法?
???遞歸算法的分析方法比較多，最常用的便是迭代法。?
??迭代法的基本步驟是先將遞歸算法簡化為對應(yīng)的遞歸方程，然后通過反復(fù)迭代，將遞歸方程的右端變換成一個級數(shù)，最后求級數(shù)的和，再估計和的漸進(jìn)階。?
??<1>?例：n!?
???????算法的遞歸方程為：?T(n)?=?T(n?-?1)?+?O(1);?
???????迭代展開：?T(n)?=?T(n?-?1)?+?O(1)?
???????????????????????=?T(n?-?2)?+?O(1)?+?O(1)?
???????????????????????=?T(n?-?3)?+?O(1)?+?O(1)?+?O(1)?
???????????????????????=?......?
???????????????????????=?O(1)?+?...?+?O(1)?+?O(1)?+?O(1)?
???????????????????????=?n?*?O(1)?
???????????????????????=?O(n)?
??????這個例子的時間復(fù)雜性是線性的。?
<2>?例：如下遞歸方程：?
??????
??????T(n)?=?2T(n/2)?+?2,?且假設(shè)n=2的k次方。?
??????T(n)?=?2T(n/2)?+?2?
???????????=?2(2T(n/2*2)?+?2)?+?2?
???????????=?4T(n/2*2)?+?4?+?2?
???????????=?4(2T(n/2*2*2)?+?2)?+?4?+?2?
???????????=?2*2*2T(n/2*2*2)?+?8?+?4?+?2?
???????????=?...?
???????????=?2的(k-1)次方?*?T(n/2的(i-1)次方)?+?$(i:1~(k-1))2的i次方?
???????????=?2的(k-1)次方?+?(2的k次方)??-?2?
???????????=?(3/2)?*?(2的k次方)?-?2?
???????????=?(3/2)?*?n?-?2?
???????????=?O(n)?
??????這個例子的時間復(fù)雜性也是線性的。?
<3>?例：如下遞歸方程：?
??????
??????T(n)?=?2T(n/2)?+?O(n),?且假設(shè)n=2的k次方。?
??????T(n)?=?2T(n/2)?+?O(n)?
???????????=?2T(n/4)?+?2O(n/2)?+?O(n)?
???????????=?...?
???????????=?O(n)?+?O(n)?+?...?+?O(n)?+?O(n)?+?O(n)?
???????????=?k?*?O(n)?
???????????=?O(k*n)?
???????????=?O(nlog2n)?//以2為底?
?????
??????一般地，當(dāng)遞歸方程為T(n)?=?aT(n/c)?+?O(n),?T(n)的解為：?
??????O(n)??????????(a<c?&&?c>1)?
??????O(nlog2n)?????(a=c?&&?c>1)?//以2為底?
??????O(nlogca)?????(a>c?&&?c>1)?//n的(logca)次方，以c為底?
???上面介紹的3種遞歸調(diào)用形式，比較常用的是第一種情況，第二種形式也有時出現(xiàn)，而第三種形式(間接遞歸調(diào)用)使用的較少，且算法分析?
比較復(fù)雜。?下面舉個第二種形式的遞歸調(diào)用例子。?
??<4>?遞歸方程為：T(n)?=?T(n/3)?+?T(2n/3)?+?n?
?????為了更好的理解，先畫出遞歸過程相應(yīng)的遞歸樹：?
????????????????????????????n????????????????????????-------->?n?
????????????????????n/3????????????2n/3??????????????-------->?n?
??????????????n/9???????2n/9???2n/9?????4n/9?????????-------->?n?
???????????......?????......??......??.......????????......?
?????????????????????????????????????????????????????--------?
?????????????????????????????????????????????????????總共O(nlogn)?
?????累計遞歸樹各層的非遞歸項的值，每一層和都等于n，從根到葉的最長路徑是：?
????
??????n?-->?(2/3)n?-->?(4/9)n?-->?(12/27)n?-->?...?-->?1?
?????設(shè)最長路徑為k，則應(yīng)該有：?
??????
?????(2/3)的k次方?*?n?=?1?
?????得到?k?=?log(2/3)n??//?以(2/3)為底?
?????于是?T(n)?<=?(K?+?1)?*?n?=?n?(log(2/3)n?+?1)?
?????即?T(n)?=?O(nlogn)?
????由此例子表明，對于第二種遞歸形式調(diào)用，借助于遞歸樹，用迭代法進(jìn)行算法分析是簡單易行的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的递归函数时间复杂度分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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