语音识别学习日志 2019-7-15 语音识别基础知识准备4 {Baun-Welch算法}
HMM 前向算法(Forward Algorithm)詳細(xì)解釋參考:?http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-five-forward-algorithm-1
http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-five-forward-algorithm-2
http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-five-forward-algorithm-3
http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-five-forward-algorithm-4
后向算法（Backward Algorithm詳細(xì)解釋參考：http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-seven-forward-backward-algorithm-1
http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-seven-forward-backward-algorithm-2
http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-seven-forward-backward-algorithm-3
http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-seven-forward-backward-algorithm-4
http://www.52nlp.cn/hmm-learn-best-practices-seven-forward-backward-algorithm-5
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HMM模型參數(shù)解是HMM模型使用中的最復(fù)雜的一個(gè)問題。
HMM模型參數(shù)求解概述
HMM模型參數(shù)求解根據(jù)已知的條件可以分為兩種情況。
第一種情況較為簡單，就是我們已知D個(gè)長度為T的觀測序列和對(duì)應(yīng)的隱藏狀態(tài)序列，即是已知的，此時(shí)我們可以很容易的用最大似然來求解模型參數(shù)。
假設(shè)樣本從隱藏狀態(tài)轉(zhuǎn)移到的頻率計(jì)數(shù)是,那么狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求得為：
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假設(shè)樣本隱藏狀態(tài)為且觀測狀態(tài)為的頻率計(jì)數(shù)是,那么觀測狀態(tài)概率矩陣為：
? ，?
?假設(shè)所有樣本中初始隱藏狀態(tài)為的頻率計(jì)數(shù)為C(i),那么初始概率分布為：
??可見第一種情況下求解模型還是很簡單的。但是在很多時(shí)候，我們無法得到HMM樣本觀察序列對(duì)應(yīng)的隱藏序列，只有D個(gè)長度為T的觀測序列，即是已知的，此時(shí)我們能不能求出合適的HMM模型參數(shù)呢？這就是我們的第二種情況，也是我們本文要討論的重點(diǎn)。它的解法最常用的是鮑姆-韋爾奇算法，其實(shí)就是基于EM算法的求解，只不過鮑姆-韋爾奇算法出現(xiàn)的時(shí)代，EM算法還沒有被抽象出來，所以我們本文還是說鮑姆-韋爾奇(Baun-Welch)算法。
Baum-Welch算法是為了解決HMM的參數(shù)估計(jì)問題而提出的，而且是沒有標(biāo)注也就是HMM的狀態(tài)序列未知的參數(shù)估計(jì)問題。具體來說，就是已知觀測序列O=(o1,o2,...,oT)，估計(jì)模型參數(shù)λ=(A,B,π)，使得在該模型下觀測序列概率P(O|λ)最大。由于狀態(tài)序列未知，因此這可以看做是一個(gè)含有隱變量的參數(shù)估計(jì)問題，解決這一問題的經(jīng)典算法就是EM算法。Baum-Welch算法就是EM算法在隱馬爾科夫模型學(xué)習(xí)中的具體體現(xiàn)。下面簡單敘述一下該算法。
Baun-Welch算法原理
鮑姆-韋爾奇算法原理既然使用的就是EM算法的原理，那么我們需要在E步求出聯(lián)合分布基于條件概率的期望，其中為當(dāng)前的模型參數(shù)，然后再M(fèi)步最大化這個(gè)期望，得到更新的模型參數(shù)λ。接著不停的進(jìn)行EM迭代，直到模型參數(shù)的值收斂為止。
首先來看看E步，當(dāng)前模型參數(shù)為, 聯(lián)合分布基于條件概率的期望表達(dá)式為：
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在M步，我們極大化上式，然后得到更新后的模型參數(shù)如下：?????
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?通過不斷的E步和M步的迭代，直到收斂。下面我們來看看鮑姆-韋爾奇算法的推導(dǎo)過程。
Baun-Welch算法的推導(dǎo)
我們的訓(xùn)練數(shù)據(jù)為，其中任意一個(gè)觀測序列,其對(duì)應(yīng)的未知的隱藏狀態(tài)序列表示為：.
? ? ? ? ? ? ?首先看鮑姆-韋爾奇算法的E步，我們需要先計(jì)算聯(lián)合分布的表達(dá)式如下:
??????????????????????????????????????????????????
?????????????我們的E步得到的期望表達(dá)式為：
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??????????????在M步我們要極大化上式。由于,而是常數(shù)，因此我們要極大化的式子等價(jià)于：
???????????????????????????????? ? ? ? ???????????????????????
??????????????我們將上面的表達(dá)式帶入我們的極大化式子，得到的表達(dá)式如下：
?????????????????????????????? ? ? ? ? ??????????????????????????
??????????????我們的隱藏模型參數(shù),因此下面我們只需要對(duì)上式分別對(duì)A,B,Π求導(dǎo)即可得到我們更新的模型參數(shù).
??????????????首先我們看看對(duì)模型參數(shù)Π的求導(dǎo)。由于Π只在上式中括號(hào)里的第一部分出現(xiàn)，因此我們對(duì)于Π的極大化式子為：
??????????????????????????????????????????? ? ? ???????????
? ? ? ? ? ? ??由于還滿足，因此根據(jù)拉格朗日子乘法，我們得到要極大化的拉格朗日函數(shù)為：
?????????????????????????????????????????????????????
?????????????其中，為拉格朗日系數(shù)。上式對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)并令結(jié)果為0， 我們得到：
?????????????????????????????????????????????????????? ??
?????????????令i分別等于從1到N，從上式可以得到N個(gè)式子，對(duì)這N個(gè)式子求和可得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??????????????從上兩式消去,得到的表達(dá)式為：
???????????????????????????????????????????????
?????????????由前向概率的定義可得：
?????????????????????? ? ????????????????????????????????
?????????????因此最終我們?cè)贛步的迭代公式為：
????????????????????????????? ? ? ? ? ?????????????????????????
?????????????現(xiàn)在我們來看看A的迭代公式求法。方法和Π的類似。由于A只在最大化函數(shù)式中括號(hào)里的第二部分出現(xiàn)，而這部分式子可以整理為：
????????????????????????? ? ????????????????
?????????
?由于還滿足。和求解類似，我們可以用拉格朗日子乘法并對(duì)求導(dǎo)，并令結(jié)果為0，可以得到的迭代表達(dá)式為：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
???????
?給定模型λ和觀測序列O,在時(shí)刻t處于狀態(tài)，且時(shí)刻t+1處于狀態(tài)的概率記為:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
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而可以由前向后向概率來表示為:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??從而最終我們得到的表達(dá)式如下：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??????????
因此可得表達(dá)式：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ??有了的迭代公式，我們就可以迭代求解HMM模型參數(shù)了。
Baun-Welch算法流程總結(jié)?
這里我們概括總結(jié)下鮑姆-韋爾奇算法的流程。
? 輸入：?D個(gè)觀測序列樣本
? 輸出：HMM模型參數(shù)
1)隨機(jī)初始化所有的
2) 對(duì)于每個(gè)樣本，用前向后向算法計(jì)算
3)??更新模型參數(shù)：
????????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4) 如果的值已經(jīng)收斂，則算法結(jié)束，否則回到第2）步繼續(xù)迭代。
以上就是Baun-Welch算法的整個(gè)過程。
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?
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的语音识别学习日志 2019-7-15 语音识别基础知识准备4 {Baun-Welch算法}的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
