博弈之威佐夫
博弈之威佐夫博弈詳解
標(biāo)簽：?數(shù)學(xué)博弈游戲威佐夫algorithm 2014-03-21 10:40?5330人閱讀?評(píng)論(1)?收藏?舉報(bào) ?分類： 博弈（6）?版權(quán)聲明：本文為博主原創(chuàng)文章，未經(jīng)博主允許不得轉(zhuǎn)載。
威佐夫博弈是博弈中的另一個(gè)經(jīng)典模型。
問題：首先有兩堆石子，博弈雙方每次可以取一堆石子中的任意個(gè)，不能不取，或者取兩堆石子中的相同個(gè)。先取完者贏。
分析：首先我們根據(jù)條件來分析博弈中的奇異局勢
? ? ? 第一個(gè)（0 ， 0），先手輸，當(dāng)游戲某一方面對(duì)（ 0 ， 0）時(shí)，他沒有辦法取了，那么肯定是先手在上一局取完了，那么輸。
第二個(gè) （ 1 ?， 2 ?），先手輸，先手只有四種取法，
1）取 1 中的一個(gè)，那么后手取第二堆中兩個(gè)。
2）取 2 中一個(gè)，那么后手在兩堆中各取一個(gè)。
3）在 2 中取兩個(gè)，那么后手在第一堆中取一個(gè)。
4）兩堆中各取一個(gè)，那么后手在第二堆中取一個(gè)。
可以看出，不論先手怎么取，后說總是能贏。所以先手必輸！
第三個(gè) （ 3 ， 5 ），先手必輸。首先先手必定不能把任意一堆取完，如果取完了很明顯后手取完另一堆先手必輸，那么
假如看取一堆的情況，假設(shè)先手先在第一堆中取。 取 1 個(gè)，后手第二堆中取4個(gè)，變成（1 ，2）了，上面分析了是先手的必輸局。
?取 2 個(gè)，后手第二堆中取3個(gè)，也變成（ 1 ， 2）局面了。
假設(shè)先手在第二堆中取，取 1 個(gè)，那么后手在兩堆中各取 2 個(gè)，也變成 ( 1 , 2 )局面了。
? ?取 2 個(gè) ，那么后手可以兩堆中都去三個(gè)， 變成 （ 0 ， 0）局面，上面分析其必輸。
? ?取 ?3 ?個(gè)，后手兩堆各取 1 個(gè)?，變成（ 1 ， 2）局面了。
? 取 4 個(gè)，后手在第一堆中取一個(gè)，變成（ 1 ， 2）局面了。
可見不論先手怎么取，其必輸！
第四個(gè)（4 ?， 7），先手必輸。
自己推理可以發(fā)現(xiàn)不論第一次先手如何取，那么后手總是會(huì)變成前面分析過的先手的必輸局面。
那么到底有什么規(guī)律沒有呢，我們繼續(xù)往下寫。
第四個(gè) （ 6 ，10 ?）
第五個(gè) （ 8 ，13）
第六個(gè) （ 9 ， 15）
第七個(gè) （ 11 ，18）
會(huì)發(fā)現(xiàn)他們的差值是遞增的，為 0 ， 1 ， 2， 3， 4 ， 5 ， 6， 7.....n
而用數(shù)學(xué)方法分析發(fā)現(xiàn)局面中第一個(gè)值為前面局面中沒有出現(xiàn)過的第一個(gè)值，比如第三個(gè)局面，前面出現(xiàn)了 0 ?1 2，那么第三個(gè)局面的第一個(gè)值為 3 ，比如第五個(gè)局面，前
面出現(xiàn)了 0 ?1 ?2 3 4 5 ,那么第五個(gè)局面第一個(gè)值為6。
再找規(guī)律的話我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)值 = 差值 * 1.618?
而1.618 = （sqrt（5）+ 1） / ?2 。
大家都知道0.618是黃金分割率。而威佐夫博弈正好是1.618，這就是博弈的奇妙之處！
下面來看看威佐夫博弈常見的三類問題：
1）給你一個(gè)局面，讓你求是先手輸贏。
有了上面的分析，那么這個(gè)問題應(yīng)該不難解決。首先求出差值，差值 * 1.618 == 最小值?的話后手贏，否則先手贏。（注意這里的1.618最好是用上面式子計(jì)算出來的，否則精
度要求高的題目會(huì)錯(cuò)）
?
2）給你一個(gè)局面，讓你求先手輸贏，假設(shè)先手贏的話輸出他第一次的取法。
?????? 首先討論在兩邊同時(shí)取的情況，很明顯兩邊同時(shí)取的話，不論怎樣取他的差值是不會(huì)變的，那么我們可以根據(jù)差值計(jì)算出其中的小的值，然后加上差值就是大的一個(gè)值，當(dāng)
然能取的條件是求出的最小的值不能大于其中小的一堆的石子數(shù)目。
????? 加入在一堆中取的話，可以取任意一堆，那么其差值也是不定的，但是我們可以枚舉差值，差值范圍是0 --- 大的石子數(shù)目，然后根據(jù)上面的理論判斷滿足條件的話就是一種合理的取法。
總結(jié)
