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最小生成樹Prim算法理解

標簽：?Prim算法理解最小生成樹Prim 2014-08-16 18:49?18482人閱讀?評論(5)?收藏?舉報

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MST（Minimum Spanning Tree，最小生成樹）問題有兩種通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是從點的方面考慮構建一顆MST，大致思想是：設圖G頂點集合為U，首先任意選擇圖G中的一點作為起始點a，將該點加入集合V，再從集合U-V中找到另一點b使得點b到V中任意一點的權值最小，此時將b點也加入集合V；以此類推，現在的集合V={a，b}，再從集合U-V中找到另一點c使得點c到V中任意一點的權值最小，此時將c點加入集合V，直至所有頂點全部被加入V，此時就構建出了一顆MST。因為有N個頂點，所以該MST就有N-1條邊，每一次向集合V中加入一個點，就意味著找到一條MST的邊。

用圖示和代碼說明：

初始狀態：

設置2個數據結構：

lowcost[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當lowcost[i]=0說明以i為終點的邊的最小權值=0,也就是表示i點加入了MST

mst[i]:表示對應lowcost[i]的起點，即說明邊<mst[i],i>是MST的一條邊，當mst[i]=0表示起點i加入MST

我們假設V1是起始點，進行初始化（*代表無限大，即無通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有點默認起點是V1）

明顯看出，以V3為終點的邊的權值最小=1，所以邊<mst[3],3>=1加入MST

此時，因為點V3的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明顯看出，以V6為終點的邊的權值最小=4，所以邊<mst[6],6>=4加入MST

此時，因為點V6的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

明顯看出，以V4為終點的邊的權值最小=2，所以邊<mst[4],4>=4加入MST

此時，因為點V4的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明顯看出，以V2為終點的邊的權值最小=5，所以邊<mst[2],2>=5加入MST

此時，因為點V2的加入，需要更新lowcost數組和mst數組：

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明顯，以V5為終點的邊的權值最小=3，所以邊<mst[5],5>=3加入MST

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，MST構建成功，如圖所示：

根據上面的過程，可以容易的寫出具體實現代碼如下（cpp）：

[cpp]?view plaincopy print?

#include<iostream>??

#include<fstream>??

using??namespace?std;??

??

#define?MAX?100??

#define?MAXCOST?0x7fffffff??

??

int?graph[MAX][MAX];??

??

int?prim(int?graph[][MAX],?int?n)??

{??

????int?lowcost[MAX];??

????int?mst[MAX];??

????int?i,?j,?min,?minid,?sum?=?0;??

????for?(i?=?2;?i?<=?n;?i++)??

????{??

????????lowcost[i]?=?graph[1][i];??

????????mst[i]?=?1;??

????}??

????mst[1]?=?0;??

????for?(i?=?2;?i?<=?n;?i++)??

????{??

????????min?=?MAXCOST;??

????????minid?=?0;??

????????for?(j?=?2;?j?<=?n;?j++)??

????????{??

????????????if?(lowcost[j]?<?min?&&?lowcost[j]?!=?0)??

????????????{??

????????????????min?=?lowcost[j];??

????????????????minid?=?j;??

????????????}??

????????}??

????????cout?<<?"V"?<<?mst[minid]?<<?"-V"?<<?minid?<<?"="?<<?min?<<?endl;??

????????sum?+=?min;??

????????lowcost[minid]?=?0;??

????????for?(j?=?2;?j?<=?n;?j++)??

????????{??

????????????if?(graph[minid][j]?<?lowcost[j])??

????????????{??

????????????????lowcost[j]?=?graph[minid][j];??

????????????????mst[j]?=?minid;??

????????????}??

????????}??

????}??

????return?sum;??

}??

??

int?main()??

{??

????int?i,?j,?k,?m,?n;??

????int?x,?y,?cost;??

????ifstream?in("input.txt");??

????in?>>?m?>>?n;//m=頂點的個數，n=邊的個數??

????//初始化圖G??

????for?(i?=?1;?i?<=?m;?i++)??

????{??

????????for?(j?=?1;?j?<=?m;?j++)??

????????{??

????????????graph[i][j]?=?MAXCOST;??

????????}??

????}??

????//構建圖G??

????for?(k?=?1;?k?<=?n;?k++)??

????{??

????????in?>>?i?>>?j?>>?cost;??

????????graph[i][j]?=?cost;??

????????graph[j][i]?=?cost;??

????}??

????//求解最小生成樹??

????cost?=?prim(graph,?m);??

????//輸出最小權值和??

????cout?<<?"最小權值和="?<<?cost?<<?endl;??

????system("pause");??

????return?0;??

}??

Input：

[plain]?view plaincopy print?

6?10??

1?2?6??

1?3?1??

1?4?5??

2?3?5??

2?5?3??

3?4?5??

3?5?6??

3?6?4??

4?6?2??

5?6?6??

Output：

[plain]?view plaincopy print?

V1-V3=1??

V3-V6=4??

V6-V4=2??

V3-V2=5??

V2-V5=3??

最小權值和=15??

請按任意鍵繼續.?.?.??

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的prim算法 求最小生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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