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迪杰斯特拉算法

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本詞條由“科普中國”百科科學詞條編寫與應用工作項目?審核 。 迪杰斯特拉算法是由荷蘭計算機科學家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是從一個頂點到其余各頂點的最短路徑算法，解決的是有向圖中最短路徑問題。迪杰斯特拉算法主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。[1] 中文名

迪克斯特拉算法

外文名

Dijkstra's Algorithm

分????類

計算機算法

用????途

單源最短路徑問題

目錄

1?定義

2?原理

3?問題描述

4?算法思想

5?算法實現

??pascal語言

??java語言

??C語言

6?堆優化

??思考

??實現

??代碼

定義

編輯 Dijkstra算法是典型的算法。Dijkstra算法是很有代表性的算法。Dijkstra一般的表述通常有兩種方式，一種用永久和臨時標號方式，一種是用OPEN, CLOSE表的方式，這里均采用永久和臨時標號的方式。注意該算法要求圖中不存在負權邊。[2]

原理

編輯 1.首先，引入一個輔助向量D，它的每個分量 D ? 表示當前所找到的 Dijkstra算法運行動畫過程 從起始點 ? （即源點 ? ）到其它每個頂點 ? 的長度。 例如，D[3] = 2表示從起始點到頂點3的路徑相對最小長度為2。這里強調相對就是說在算法執行過程中D的值是在不斷逼近最終結果但在過程中不一定就等于長度。[1] 2.D的初始狀態為：若從 ? 到 ? 有弧（即從 ? 到 ? 存在連接邊），則D ? 為弧上的權值（即為從 ? 到 ? 的邊的權值）；否則置D ? 為∞。 顯然，長度為 D ? = Min{ D | ? ∈V } 的路徑就是從 ? 出發到頂點 ? 的長度最短的一條路徑，此路徑為( ? )。 3.那么，下一條長度次短的是哪一條呢？也就是找到從源點 ? 到下一個頂點的最短路徑長度所對應的頂點，且這條最短路徑長度僅次于從源點 ? 到頂點 ? 的最短路徑長度。 假設該次短路徑的終點是 ? ，則可想而知，這條路徑要么是( ? )，或者是( ? )。它的長度或者是從 ? 到 ? 的弧上的權值，或者是D ? 加上從 ? 到 ? 的弧上的權值。 4.一般情況下，假設S為已求得的從源點 ? 出發的最短路徑長度的頂點的集合，則可證明：下一條次最短路徑（設其終點為 ? ）要么是弧( ? )，或者是從源點 ? 出發的中間只經過S中的頂點而最后到達頂點 ? 的路徑。 因此，下一條長度次短的的最短路徑長度必是D ? = Min{ D ? | ? ∈V-S }，其中D ? 要么是弧( ? )上的權值，或者是D ? ( ? ∈S)和弧( ? , ? )上的權值之和。 算法描述如下： 1）令arcs表示弧上的權值。若弧不存在，則置arcs為∞（在本程序中為MAXCOST）。S為已找到的從 ? 出發的的終點的集合，初始狀態為空集。那么，從 ? 出發到圖上其余各頂點 ? 可能達到的長度的初值為D=arcs[Locate Vex(G, ? )]， ? ∈V； 2）選擇 ? ，使得D ? =Min{ D | ? ∈V-S } ； 3）修改從 ? 出發的到集合V-S中任一頂點 ? 的最短路徑長度。[1]

問題描述

編輯 在無向圖?G=(V,E) 中，假設每條邊 E[i] 的長度為 w[i]，找到由頂點 V0 到其余各點的最短值。[2]

算法思想

編輯 按路徑長度遞增次序產生算法： 把頂點集合V分成兩組： （1）S：已求出的頂點的集合（初始時只含有源點V0） （2）V-S=T：尚未確定的頂點集合 將T中頂點按遞增的次序加入到S中，保證： （1）從源點V0到S中其他各頂點的長度都不大于從V0到T中任何頂點的最短路徑長度 （2）每個頂點對應一個距離值 S中頂點：從V0到此頂點的長度 T中頂點：從V0到此頂點的只包括S中頂點作中間頂點的最短路徑長度 依據：可以證明V0到T中頂點Vk的，或是從V0到Vk的直接路徑的權值；或是從V0經S中頂點到Vk的路徑權值之和 （反證法可證） 求最短路徑步驟 算法步驟如下： G={V,E} 1. 初始時令 S={V0},T=V-S={其余頂點}，T中頂點對應的距離值 若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)為<V0,Vi>弧上的權值 若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)為∞ 2. 從T中選取一個與S中頂點有關聯邊且權值最小的頂點W，加入到S中 3. 對其余T中頂點的距離值進行修改：若加進W作中間頂點，從V0到Vi的距離值縮短，則修改此距離值 重復上述步驟2、3，直到S中包含所有頂點，即W=Vi為止

算法實現

編輯

pascal語言

下面是該算法的Pascal程序

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

type bool=array[1..10]ofboolean; arr=array[0..10]ofinteger; var a:array[1..10,1..10]ofinteger;//存儲圖的鄰接數組，無邊為10000 c,d,e:arr;//c為最短路徑數值,d為各點前趨, t:bool;//e：路徑，t為輔助數組 i,j,n,m:integer; inf,outf:text; procedureinit;//不同題目鄰接數組建立方式不一樣 begin assign(inf,inputfile); assign(outf,outputfile); reset(inf); rewrite(outf); read(inf,n); fori:=1tondo begin forj:=1tondo begin read(inf,a[i,j]); ifa[i,j]=0then a[i,j]:=10000; end; end; end; proceduredijkstra(qi:integer;t:bool;varc{,d}:arr); //qi起點,{}中為求路徑部分,不需求路徑時可以不要 var i,j,k,min:integer; begin t[qi]:=true; //t數組一般在調用前初始,除起點外所有節點都化成false,也可將部分點初始化成true以回避這些點 fori:=1tondo d[i]:=qi; d[qi]:=0; fori:=1tondo c[i]:=a[qi,i]; fori:=1ton-1do begin min:=maxint;//改為最大值 forj:=1tondo if(c[j]<min)andnott[j]then begin k:=j; min:=c[j]; end; t[k]:=true; forj:=1tondo if(c[k]+a[k,j]<c[j])andnott[j]then begin c[j]:=c[k]+a[k,j]; d[j]:=k; end; end; end; proceduremake(zh:integer;d:arr;vare:arr);//生成路徑,e[0]保存路徑 var i,j,k:integer;//上的節點個數 begin i:=0; whiled[zh]<>0do begin inc(i); e[i]:=zh; zh:=d[zh]; end; inc(i); e[i]:=qi; e[0]:=i; end;

主程序調用：求長度：初始化t，然后dijkstra(qi,t,c,d) 求路徑：make(m,d,e) ，m是終點

java語言

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

//初始化路徑，都為最大值。 intpath[][]=newint[n+1][n+1]; for(inti=1;i<n+1;i++){ for(intj=1;j<n+1;j++) path[i][j]=Integer.MAX_VALUE; } //這里需要輸入path[i][j]的具體內容，如果有重復數據的話，需要更新路徑為最小值。 intminLen[]=newint[n+1]; //visit初始為0，防止回溯 intvisit[]=newint[n+1]; //初始化1到其他點的距離。 for(inti=1;i<n+1;i++){ minLen[i]=path[1][i]; } voidDijkstra(){ minLen[1]=0; visit[1]=1; intminj=1; for(inti=1;i<n+1;i++){ intmin=Integer.MAX_VALUE; for(intj=1;j<n+1;j++){ if(visit[j]==0&&minLen[j]<min){ min=minLen[j]; minj=j; } } visit[minj]=1; for(intj=1;j<n+1;j++){ if(visit[j]==0&&minLen[minj]!=Integer.MAX_VALUE&&path[minj][j]!= Integer.MAX_VALUE&&minLen[j]>(minLen[minj]+path[minj][j])){ minLen[j]=minLen[minj]+path[minj][j]; } } } }

C語言

下面是該算法的C語言實現[1]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define?max?11000000000 inta[1000][1000]; intd[1000];//d表示某特定邊距離 intp[1000];//p表示永久邊距離 inti,j,k; intm;//m代表邊數 intn;//n代表點數 intmain() { scanf("%d%d",&n,&m); intmin1; intx,y,z; for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); a[x][y]=z; a[y][x]=z; } for(i=1;i<=n;i++) d[i]=max1; d[1]=0; for(i=1;i<=n;i++) { min1=max1; for(j=1;j<=n;j++) if(!p[j]&&d[j]<min1) { min1=d[j]; k=j; } p[k]=j; for(j=1;j<=n;j++) if(a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j]) d[j]=d[k]+a[k][j]; } for(i=1;i<n;i++) printf("%d->",p[i]); printf("%d\n",p[n]); return0; }

大學經典教材<<數據結構>>(C語言版 嚴蔚敏 吳為民 編著) 中該算法的實現

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

/* 測試數據?教科書?P189?G6?的鄰接矩陣?其中?數字?1000000?代表無窮大 6 1000000?1000000?10?100000?30?100 1000000?1000000?5?1000000?1000000?1000000 1000000?1000000?1000000?50?1000000?1000000 1000000?1000000?1000000?1000000?1000000?10 1000000?1000000?1000000?20?1000000?60 1000000?1000000?1000000?1000000?1000000?1000000 結果： D[0]???D[1]???D[2]???D[3]???D[4]???D[5] ?0???1000000???10?????50?????30?????60 */ #include?<iostream> #include?<cstdio> #define?MAX?1000000 using?namespace?std; int?arcs[10][10];//鄰接矩陣 int?D[10];//保存最短路徑長度 int?p[10][10];//路徑 int?final[10];//若final[i]?=?1則說明?頂點vi已在集合S中 int?n?=?0;//頂點個數 int?v0?=?0;//源點 int?v,w; void?ShortestPath_DIJ() { ?????for?(v?=?0;?v?<?n;?v++)?//循環?初始化 ?????{ ??????????final[v]?=?0;?D[v]?=?arcs[v0][v]; ??????????for?(w?=?0;?w?<?n;?w++)?p[v][w]?=?0;//設空路徑 ??????????if?(D[v]?<?MAX)?{p[v][v0]?=?1;?p[v][v]?=?1;} ?????} ?????D[v0]?=?0;?final[v0]=0;?//初始化?v0頂點屬于集合S ?????//開始主循環?每次求得v0到某個頂點v的最短路徑?并加v到集合S中 ?????for?(int?i?=?1;?i?<?n;?i++) ?????{ ??????????int?min?=?MAX; ??????????for?(w?=?0;?w?<?n;?w++) ??????????{ ???????????????//我認為的核心過程--選點 ???????????????if?(!final[w])?//如果w頂點在V-S中 ???????????????{ ????????????????????//這個過程最終選出的點?應該是選出當前V-S中與S有關聯邊 ????????????????????//且權值最小的頂點?書上描述為?當前離V0最近的點 ????????????????????if?(D[w]?<?min)?{v?=?w;?min?=?D[w];} ???????????????} ??????????} ??????????final[v]?=?1;?//選出該點后加入到合集S中 ??????????for?(w?=?0;?w?<?n;?w++)//更新當前最短路徑和距離 ??????????{ ???????????????/*在此循環中?v為當前剛選入集合S中的點 ???????????????則以點V為中間點?考察?d0v+dvw?是否小于?D[w]?如果小于?則更新 ???????????????比如加進點?3?則若要考察?D[5]?是否要更新?就?判斷?d(v0-v3)?+?d(v3-v5)?的和是否小于D[5] ???????????????*/ ???????????????if?(!final[w]?&&?(min+arcs[v][w]<D[w])) ???????????????{ ????????????????????D[w]?=?min?+?arcs[v][w]; ???????????????????//?p[w]?=?p[v]; ????????????????????p[w][w]?=?1;?//p[w]?=?p[v]?+　[w] ???????????????} ??????????} ?????} } int?main() { ????cin?>>?n; ????for?(int?i?=?0;?i?<?n;?i++) ????{ ?????????for?(int?j?=?0;?j?<?n;?j++) ?????????{ ??????????????cin?>>?arcs[i][j]; ?????????} ????} ????ShortestPath_DIJ(); ????for?(int?i?=?0;?i?<?n;?i++)?printf("D[%d]?=?%d\n",i,D[i]); ????return?0; }

堆優化

編輯

思考

該算法復雜度為n^2,我們可以發現，如果邊數遠小于n^2,對此可以考慮用堆這種數據結構進行優化，取出最短路徑的復雜度降為O(1)；每次調整的復雜度降為O（elogn）；e為該點的邊數，所以復雜度降為O((m+n)logn)。

實現

1. 將與源點相連的點加入堆，并調整堆。 2. 選出堆頂元素u（即代價最小的元素），從堆中刪除，并對堆進行調整。 3. 處理與u相鄰的，未被訪問過的，滿足三角不等式的頂點 1):若該點在堆里，更新距離，并調整該元素在堆中的位置。 2):若該點不在堆里，加入堆，更新堆。 4. 若取到的u為終點，結束算法；否則重復步驟2、3。

代碼

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

procedureDijkstra; var u,v,e,i:longint; begin fillchar(dis,sizeof(dis),$7e);//距離 fillchar(Inh,sizeof(Inh),false);//是否在堆中 fillchar(visit,sizeof(visit),false);//是否訪問過 size:=0; e:=last[s]; whilee<>0do//步驟1 begin u:=other[e]; ifnot(Inh[u])then//不在堆里 begin inc(size); heap[size]:=u; dis[u]:=cost[e]; Loc[u]:=size;//Loc數組記錄元素在堆中的位置 Inh[u]:=true; Shift_up(Loc[u]);//上浮 end else ifcost[e]<dis[u]then//在堆里 begin dis[u]:=cost[e]; Shift_up(Loc[u]); Shift_down(Loc[u]); end; e:=pre[e]; end; visit[s]:=true; whiletruedo begin u:=heap[1];//步驟2 ifu=tthenbreak;//步驟4 visit[u]:=true; heap[1]:=heap[size]; dec(size); Shift_down(1); e:=last[u]; whilee<>0do//步驟3 begin v:=other[e]; ifNot(visit[v])and(dis[u]+cost[e]<dis[v])then//與u相鄰的，未被訪問過的，滿足三角不等式的頂點 ifInh[v]then//在堆中 begin dis[v]:=dis[u]+cost[e]; Shift_up(Loc[v]); Shift_Down(Loc[v]); end else//不再堆中 begin inc(size); heap[size]:=v; dis[v]:=dis[u]+cost[e]; Loc[v]:=size; Inh[v]:=true; Shift_up(Loc[v]); end; e:=pre[e]; end; end; writeln(dis[t]); end;

參考資料

• 1.??最短路徑??．nocow[引用日期2013-08-19]
• 2.??最短路徑—Dijkstra算法和Floyd算法??．博客園[引用日期2014-11-28]

詞條標簽：

中國電子學會?，?計算機學

迪杰斯特拉算法圖冊 V百科往期回顧

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總結

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