作者 | 碼農的荒島求生

來源 |?碼農的荒島求生

今天給大家帶來一道極其經典的題目，叫做最大和子數組，給定一個數組，找到其中的一個連續子數組，其和最大。

示例：

輸入:?nums?=?[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]?

輸出:?6?

解釋:?子數組[4,-1,2,1]的和為6，其它任何連續的子數組和不超過6。

想一想該怎樣解決這個問題。

如果你一時想不到解法可以從暴利解法開始。

暴力求解

這種解法最簡單，我們把所有子數組找出來，然后依次計算其和，找出一個最大的出來，比如給定數組[1,2,3]，那么我們能找出子數組：[1]，[2]，[3]，[1,2]，[2,3]，[1,2,3]，很顯然這里和最大的子數組為[1,2,3]，其值為6。

int sum(vector<int>&nums, int b,int e){int res = 0;for (; b <= e; b++) {res += nums[b];}return res; } int maxSubArray(vector<int>& nums) {int size = nums.size();int res = 0x80000000;for (int i = 0; i < size; i++) {for (int j = i; j < size; j++) {res = max(res, sum(nums, i, j));}}return res; }

這種解法最簡單，該算法的時間復雜度為O(n^3)，其中找出所有子數組的時間復雜度為O(n^2)，計算每個子數組的和的時間復雜度為O(n)，因此其時間復雜度為O(n^3)。

讓我們再來看一下這個過程，這里的問題在于計算每個子數組的和時有很多重復計算，比如我們知道了子數組[1,2]的和后再計算數組[1,2,3]的值時完全可以利用子數組[1,2]的計算結果而無需從頭到尾再算一遍，也就是說我們可以利用上一步的計算結果，這本身就是動態規劃的思想。

基于該思想我們可以對上述代碼簡單改造一下：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {int size = nums.size();int res = 0x80000000;for (int i = 0; i < size; i++) {int sumer = nums[i];res = max(res, sumer);for (int j = i + 1; j < size; j++) {sumer += nums[j];res = max(res, sumer);}}return res; }

看到了吧，代碼不但更簡潔，而且運行速度更快，該算法的時間復雜度為O(n^2)，比第一種解法高了很多。

還有沒有進一步提高的空間呢？

答案是肯定的。

分而治之

我們可以把整個數組一分為二，然后子數組也一分為二，不斷劃分下去就像這樣：

然后呢？

然后問題才真正開始有趣起來，注意，當我們劃分到最下層的時候，也就是不可再劃分時會得到兩個數組元素，比如對于數組[1,2]會劃分出[1]與[2]，此時[1]與[2]不可再劃分，那么對于子問題[1,2]，其最大子數組的和為max(1+2, 1,2)，也就是說要么是左半部分的元素值、要么是右半部分的元素值、要么是兩個元素的和，就這樣我們得到了最后兩層的答案：

假設對于數組[1,2,3,4]，一次劃分后得到了[1,2]與[3,4]，用上面的方法我們可以分別知道這兩個問題的最大子數組和，我們怎樣利用上述的答案來解決更大的問題，也就是[1,2,3,4]呢？

很顯然，對于[1,2,3,4]來說，最大子數組的和要么來自左半部分、要么來自右半部分、要么來自中間部分——也就是包含2和3，其中左半部分和右半部分的答案我們有了，那么中間部分的最大和該是多少呢？

其實這個問題很簡單，我們從中間開始往兩邊不斷累加，然后記下這個過程的最大值，比如對于[1,-2,3,-4,5]，我們從中間的3開始先往左邊累加和是:{1+(-2)+3, (-2)+3, 3}也就是{2,1,3}，因此我們以中間數字為結尾的最大子數組和為3：

另一邊也是同樣的道理，只不過這次是以中間數字為起點向右累加：

然后這三種情況中取一個最大值即可，這樣我們就基于子問題解決了更大的問題：

此后的道理一樣，最終我們得到了整個問題的解。

根據上面的分析就可以寫代碼了：

int getMaxSum(vector<int>& nums, int b, int e) {if (b == e) return nums[b];if (b == e - 1) return max(nums[b], max(nums[e], nums[b]+nums[e]));int m = (b + e) / 2;int maxleft = nums[m];int maxright = nums[m];int sum = nums[m];for (int i = m + 1; i <= e; i++) {sum += nums[i];maxright = max(maxright, sum);}sum = nums[m];for (int i = m - 1; i >= b; i--) {sum += nums[i];maxleft = max(maxleft, sum);}return max(getMaxSum(nums, b, m - 1), max(getMaxSum(nums, m + 1, e), maxleft+maxright-nums[m])); } int maxSubArray(vector<int>& nums) {return getMaxSum(nums, 0, nums.size()-1); }

上述這段代碼的時間復雜度為O(NlogN)比第二種方法又提高了很多。

動態規劃

實際上這個問題還有另一種更妙的解決方法，我們令dp(i)表示以元素A[i]為結尾的最大子數組的和，那么根據這一定義則有：

這是很顯然的，注意dp(i)的定義，是以元素A[i]為結尾的最大子數組的和，因此dp(i)的值要么就是A[i]連接上之前的一個子數組，那么不鏈接任何數組，那么最終的結果一定是以某個元素為結尾的子數組，因此我們從所有的dp(i)中取一個最大的就好了，依賴子問題解決當前問題的解就是所謂的動態規劃。

有了這些分析，代碼非常簡單：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {int size = nums.size();vector<int> dp(size, 0);int res = dp[0] = nums[0];for (int i = 1; i < size; i++) {dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);res = max(res, dp[i]);}return res; }

這段代碼簡單到讓人難以置信，只有8行代碼，你甚至可能會懷疑這段代碼的正確性，但它的確是沒有任何問題的，而且這段代碼的時間復雜度只有O(N)，這段代碼既簡單運行速度又快，這大概就是算法的魅力吧。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的真香！8 行代码搞定最大子数组和问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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