作者 | 漫話編程

來源 |?漫話編程

我們知道，計算機(jī)只認(rèn)識0和1，現(xiàn)實世界中的內(nèi)容，無論是文字、音頻、視頻等等想要通過計算機(jī)存儲、計算或者展示，都需要轉(zhuǎn)換二進(jìn)制。

就像你剛剛唱的旋律，想要存儲在計算機(jī)中也是要轉(zhuǎn)成二進(jìn)制的。

那么，最簡單的一個數(shù)字，想要在計算機(jī)中表示出來，就需要通過一定的手段將他轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。而這種手段我們稱之為編碼方式。

原碼

相信很多人在上初中的時候都學(xué)過很多方式把一個十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)成二進(jìn)制數(shù)，比如我們可以很快速的知道10的二進(jìn)制可以表示成 1010 。

但是初中老師沒有告訴我們的是：-10 如何表示呢？

為了在計算機(jī)中想辦法表示負(fù)數(shù)。于是人們想出來一種辦法：

在二進(jìn)制數(shù)值前面增加一位符號位（即最高位為符號位）：正數(shù)該位為0，負(fù)數(shù)該位為1，其余位表示數(shù)值的大小。

這樣，如果我們想要10的話，那么就應(yīng)該是：0 1010，想要表示-10的話，就應(yīng)該是1 1010。

這種編碼方式被稱之為原碼，原碼的優(yōu)點比較明顯，那就是非常的簡單直觀，很容易被人理解。

使用原碼，解決了十進(jìn)制在計算機(jī)中的存儲問題，但是計算機(jī)中還有一個重要的操作那就是計算。使用原碼如何計算呢？

首先，原碼對于加法的運算是沒什么問題的，如5 + 2 ：

對應(yīng)的二進(jìn)制運算：0 0101（原） + 0 0010（原） = 0 0111（原） 其對應(yīng)的十進(jìn)制是 7。

加法沒什么問題，那么我們再試著用原碼來計算減法，例如我們想要計算10 - 2：

那么就是 0 1010（原） - 0 0010（原） = 0 1000（原），那么這個二進(jìn)制對應(yīng)的十進(jìn)制剛好是8。可見原碼計算減法沒有問題的？

但是，以上運算只是我們一廂情愿的算法，其實計算機(jī)算術(shù)邏輯單元（ALU）并沒有直接進(jìn)行減法運算，對于減法，其實也是用加法器來實現(xiàn)的。

也就是說，計算機(jī)中的所有的減法運算都需要轉(zhuǎn)換成加法運算，那么10 - 2其實就是10 + （-2）：

他們的二進(jìn)制 0 1010(原） + 1 0010(原） = 1 1100(原） ，得到的結(jié)果考慮他的符號位的話，這個值是-12，這明顯是錯誤的！！！

可見，原碼雖然對于人類來說是比較簡單直觀的，但是對于計算機(jī)來說卻帶來了很大的計算難度。

反碼

因為原碼雖然容易被人理解，但是給計算機(jī)的計算帶來了一定的困難，尤其是減法的運算。所以，人們發(fā)明出反碼來解決減法運算的問題。

反碼是基于原碼計算得來的，表示方式是：正數(shù)的反碼是其本身。負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號位不變，其余各個位取反。

如，10 的 原碼為 0 1010 ，那么他的反碼同樣也是 0 1010 。

如，-2 的原碼為 1 0010 ，那么他的反碼為 1 1101 。

有了反碼之后，二進(jìn)制的運算就可以帶著符號位一起了。并且可以直接將減法轉(zhuǎn)換成加法進(jìn)行運算。但是使用反碼進(jìn)行運算，需要注意以下幾點：

• 反碼運算時，其符號位與數(shù)值一起參加運算。

• 反碼的符號位相加后，如果有進(jìn)位出現(xiàn)，則要把它送回到最低位去相加（循環(huán)進(jìn)位）。

• 用反碼運算，其運算結(jié)果亦為反碼。在轉(zhuǎn)換為真值時，若符號位為0，數(shù)位不變；若符號位為1，應(yīng)將結(jié)果求反才是其真值。

如 10 - 2 的在計算時需要轉(zhuǎn)成 10 + (-2)進(jìn)行計算：

0 1010（反） + 1 1101（反） = 0 0111（反） + 1(進(jìn)位) = 0 1000 ，因為符號位是0，表示正數(shù)，所以他對應(yīng)的原碼也是0 1000（原），則十進(jìn)制值為8。

那么，我們再來計算法 2 - 10 ，把2 - 10轉(zhuǎn)換成 2 + （-10）進(jìn)行計算：

0 0010（反） + 1 0101（反） = 1 0111（反），因為符號位是1，表示負(fù)數(shù)，所以他對應(yīng)的原碼也是1 1000（原），則十進(jìn)制為-8。

以上，我們通過幾個例子展示了反碼，我們知道使用反碼進(jìn)行計算的時候，可以帶著符號位一起計算，只需要在計算之后再將反碼轉(zhuǎn)換成原碼，再計算其對應(yīng)的十進(jìn)制就可以了。

但是，反碼運算還是有一個小問題，我們看一下下面這個例子：

我們嘗試計算10 - 10 ，即 10 + （-10）：

0 1010（反） + 1 0101（反） = 1 1111（反），因為符號位是1，表示負(fù)數(shù)，所以他對應(yīng)的原碼也是1 0000（原），則十進(jìn)制為-0。

雖然很多人夠能夠理解+0和-0其實是一樣的，但是0帶符號仍然是沒有任何意義的。

如果一臺計算機(jī)有8位，我們想要用反碼表示0的話，就有0000 0000和 1111 1111兩種方式，分別表示+0和-0。

補(bǔ)碼

雖然反碼解決了減法的問題，但是對于0的符號問題卻沒有解決，于是補(bǔ)碼出現(xiàn)了。

補(bǔ)碼是在原碼和反碼的基礎(chǔ)上衍生出來的，補(bǔ)碼的表示方法是：正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上， 符號位不變， 其余各位取反，最后+1。(即在反碼的基礎(chǔ)上+1)

補(bǔ)碼計算的規(guī)則：

• 補(bǔ)碼運算時，其符號位與數(shù)值一起參加運算。

• 補(bǔ)碼的符號位相加后，如果有進(jìn)位出現(xiàn)，則進(jìn)位被舍棄。

• 用反碼運算，其運算結(jié)果亦為補(bǔ)碼。在轉(zhuǎn)換成原碼時，如果是正數(shù)，其補(bǔ)碼就是原碼；如果是負(fù)數(shù)，該補(bǔ)碼的補(bǔ)碼就是其原碼。

我們再來用補(bǔ)碼的方式，來計算下10 - 10 ：

01010（補(bǔ)） + 10110（補(bǔ)） = 0 0000 （補(bǔ)），因為符號位是0，表示正數(shù)，所以他對應(yīng)的原碼也是0 0000（原），則十進(jìn)制為0。

有了補(bǔ)碼，0的表達(dá)方式就唯一了，如果是8位的話，那么就是固定的0000 0000。

如果使用原碼或者反碼，8位的原碼或者反碼能表示的最小數(shù)字是-127，而使用補(bǔ)碼，能表示的最小數(shù)字是-128。

可見，使用補(bǔ)碼, 不僅僅修復(fù)了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數(shù)。這就是為什么8位二進(jìn)制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127]。

使用補(bǔ)碼的原因

通過以上介紹，我們知道了原碼、反碼和補(bǔ)碼的一些知識，我們嘗試著總結(jié)下為什么計算機(jī)中會最終選擇補(bǔ)碼來進(jìn)行存儲和計算數(shù)字。

1、計算機(jī)的運算器為了實現(xiàn)簡單，傾向于在運算過程中將減法轉(zhuǎn)換成加法，統(tǒng)一使用加法運算器進(jìn)行計算。想要把減法轉(zhuǎn)化成加法運算，就需要在運算時帶著符號一起運算，而反碼和補(bǔ)碼可以帶符號位一起運算，也就方便了將減法轉(zhuǎn)換為加法。

2、采用補(bǔ)碼，可以解決編碼中有+0和-0兩種表示0的方式。

3、補(bǔ)碼表示的數(shù)字范圍要比原碼和反碼大。如8位2進(jìn)制，使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127]。

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