数学之美：嵌入式编程凹凸性之妙用（附C代码）
來源 | 嵌入式客棧
今天遇到一個網友問一個問題，他有一個傳感器測量一個物理量，需要判斷其變化趨勢，我給了一些建議，這里將這個建議展開做些深入分析，并分享給大家。
本文想借此表達一下個人的一個觀點，做開發如果遇到無法解決的難題，可以試著從數學的角度出發，看能否找到答案。
是個啥坑？
一個項目中用到一個傳感器測量一物理量，這里假定測量溫度吧。需要判斷其變化趨勢，利用這個變化趨勢去做一些應用。
那么要怎么判斷一個物理量的變化趨勢呢？我們能自然能想到去求取該隨機序列的變化率。這里涉及到一些數序定義。隨機序列有很多可能的來源，最為常見是模數采樣。
這樣將S(t)信號轉換為離散信號序列S(n)，那么對于當前時刻其斜率怎么求取呢？(這里忽略中間的過度態，僅將其看為線段相連，當然現實應用中如果有更高要求，可以做曲線擬合)
但是如果只判斷，斜率極容易誤判，比如下面這樣的情況：
其斜率一會兒正，一會兒負，但是其總體趨勢又是在增加的，所以只考察斜率顯然不可取，獲取需要在代碼在加各種復雜的條件或者限值去判斷。即使加這么多條件系統仍然可能表現的非常不健壯。
對于模擬信號2而言，趨勢又在不斷變化。那么怎么做才能穩定呢？先賣個關子？
函數的凹凸
凹函數
凹函數是一個定義在某個向量空間的凸集C（區間）上的實值函數f。設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1<x2和任意的實數t屬于(0,1),總有,
則稱函數f為l上凹函數，有的書上也稱為下凸函數。
如果把上述條件中的“≥”改成“>”，則叫做嚴格上凹函數，或叫做嚴格下凸函數。
上面是一維函數情況，這里來個2維函數的圖，剛方便理解
凸函數
設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1<x2和任意的實數t屬于(0,1)，上面不等式變成大于等于，則在該區間為凸函數。
可見，凹凸是相對的，如f(x)在某區間為凹，則-f(x)則在該區間為凸。
性質
若一個函數在某區間二階可導且大于0，則函數在該區間為凹函數
若一個函數在某區間二階可導且小于0，則函數在該區間為凸函數
證明，這里就不推導了，可以利用拉格朗日中值定理可以推導出上面這個性質。
來看一下會動的圖,加深一下理解:
函數從到切線為藍色，曲線向上凹,綠色表示曲線是向下凹的，紅色表示曲線的拐點。
sin(2x)的一階導數為：
sin(2x)的二階導數為：
裝逼結束，也可能沒裝對～～～
回到坑里
通過上面裝逼，是否可以利用離散序列的求導數來判斷傳感器的變化趨勢。啥？導數？又要開始表演了？
前面說了一階導數是這樣的：
那么二階導數是哪樣捏？
化簡一下：
其中S[n]表示當前測量點，S[n-1]表示前一個測量點，S[n-2]表示前第2個測量點。應為+S[n-2]
上代碼
忽略前兩個點，利用excel生成曲線：
從圖中可看出：
一階導數為正時，函數遞增趨勢；
一階導數為負時，函數遞減趨勢；
二階導數為0時，出現拐點，趨勢改變；此時如果左右兩側的一階導符號相反，則出現極值。
二階導數為負時，其一階導數也即原函數斜率規律單調減，二階導數為正時，其一階導數也即原函數斜率規律單調增。
再進一步：
一階導數與二階導數結合起來看，就可以看出測量值變化趨勢的趨勢，比如在前1/4周期，此區間變換趨勢為增，也即一階導數為正，而其二階導數為負，也可以看出遞增的趨勢是逐漸減小到0的。
代碼優化
如果只是做定性判斷，上述函數，完全沒必要與采樣周期做除法，只需要考察其增量即可，代碼可優化如下：
typedef?struct?_T_2ND_DRV {float?xn1;float?xn2; }t_2ND_DRV; typedef?struct?_T_1ST_DRV {float?xn1; }t_1ST_DRV;void?init_second_derivative(t_2ND_DRV?*pSndDrv) {pSndDrv->xn1?=?0;pSndDrv->xn2?=?0; }float?second_derivative(t_2ND_DRV?*pSndDrv,?float?xn) {float?result=0.0f;result?=?xn-2*pSndDrv->xn1+pSndDrv->xn2;pSndDrv->xn2?=?pSndDrv->xn1;pSndDrv->xn1?=?xn;return?result; }void?init_fisrt_derivative(t_1ST_DRV?*p1stDrv) {p1stDrv->xn1?=?0; }float?fisrt_derivative(t_1ST_DRV?*p1stDrv,?float?xn) {float?result=0.0f;result?=?xn-p1stDrv->xn1;?p1stDrv->xn1?=?xn;return?result; }意外收獲
這里意外引入一個可能很多人沒注意的知識點NaN，在計算中，NaN代表非數字，是數字數據類型的成員，可以將其解釋為不確定的或無法表示的值，尤其是在浮點運算中。1985年，IEEE 754浮點標準引入了NaN的系統使用，并表示了其他無限量（如無窮大）。
前述函數返回0x7FBFFFFF,也就是表示無窮大。
不同的操作系統和編程語言可能具有NaN的不同字符串表示形式：
nanNaNNaN%NANNaNQNaNSqNaNsNaN1.#SNAN1.#QNAN-1.#IND實際上，由于編碼的NaN具有符號，因此通常也可以在NaN的字符串表示中找到它們，例如：
?-NaNNaN12345-sNaN12300-NaN(s1234)工程應用
這里給出我的建議方案：
將傳感器信號經由電路處理，模數采樣，在進入前級數字濾波器，濾除不必要的噪聲，在進行一階/二階求導。對于一階和二階求導再做一級移動平均濾波，最后在按照上面描述進行判別變化趨勢，則個人認為基本就比較健壯了。實際移動均值濾波長度不宜選擇過長，否則響應就比較滯后了。不能對傳感器的變化趨勢做出實時的判別。加了后級均值濾波器，則會消除由于波形忽上忽下的隨機噪聲干擾影響，使得系統判別更為健壯，實際濾波器長度需根據不同的場合進行調試優化。或者也可以選擇別的IIR/FIR濾波器形式實現。
總結
做為嵌入式er編程，有時候有必要去看看數學書，了解一下數學原理的背后故事，可能會給你帶來意想不到的作用哦。
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真香，朕在看了！
總結
以上是生活随笔為你收集整理的数学之美：嵌入式编程凹凸性之妙用（附C代码）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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