搞定面试算法系列 | 分治算法三步走
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作者 |?江子抑
轉(zhuǎn)自 |?編程拯救世界
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主要思想
分治算法，即分而治之：把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分成兩個(gè)或更多的相同或相似子問(wèn)題，直到最后子問(wèn)題可以簡(jiǎn)單地直接求解，最后將子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解。歸并排序就是一個(gè)典型的分治算法。
在這篇文章中我們將先介紹分治算法的「三步走套路」，然后通過(guò)經(jīng)典的歸并排序算法體驗(yàn)一番分治算法的核心，最后再通過(guò)真題演練一試身手！
三步走
和把大象塞進(jìn)冰箱一樣，分治算法只要遵循三個(gè)步驟即可：分解 -> 解決 -> 合并。
分解：分解原問(wèn)題為結(jié)構(gòu)相同的子問(wèn)題（即尋找子問(wèn)題）
解決：當(dāng)分解到容易求解的邊界后，進(jìn)行遞歸求解
合并：將子問(wèn)題的解合并成原問(wèn)題的解
分治算法三步走
這么一說(shuō)似乎還是有點(diǎn)抽象？那我們通過(guò)經(jīng)典的排序算法歸并排序來(lái)體驗(yàn)一下分治算法的核心思想。
歸并排序
思想
歸并排序的思想是：欲使序列有序，必先使其子序列有序。即先使得每個(gè)子序列有序，然后再將子序列合并成有序的列表。
因此，在歸并排序中的子問(wèn)題就是：使子序列有序。
三步走
既然已經(jīng)找到了問(wèn)題的子問(wèn)題，是時(shí)候套用我們上述的三步走方法了。歸并排序的「三步走」如下：
分解：將序列劃分為兩部分
解決：遞歸地分別對(duì)兩個(gè)子序列進(jìn)行歸并排序
合并：合并排序后的兩個(gè)子序列
舉例
來(lái)看一個(gè)具體的例子。
現(xiàn)在有一個(gè)待排序的序列：
10, 4, 6, 3, 8, 2, 5, 7
先對(duì)序列進(jìn)行分解，把該序列一分為二，直到無(wú)法拆分為止。整個(gè)拆分過(guò)程如下：
序列分解
然后對(duì)分解出的序列進(jìn)行兩兩排序與合并：
10, 4 排序合并后：4, 10
6, 3 排序合并后：3, 6
8, 2 排序合并后：2, 8
5, 7 排序合并后：5, 7
……
整個(gè)歸并排序完整過(guò)程如下：
上部分為「分解」，下部分為「解決」與「合并」
實(shí)現(xiàn)
def?merge_sort(lst):????#?從遞歸中返回長(zhǎng)度為1的序列????if?len(lst)?<=?1:????????return?lst??????????????middle?=?len(lst)?/?2????# 1.分解：通過(guò)不斷遞歸，將原始序列拆分成 n 個(gè)小序列????left?=?merge_sort(lst[:middle])?????????right?=?merge_sort(lst[middle:])????#?進(jìn)行排序與合并????return?merge(left,?right)def?merge(left,?right):????i,?j?=?0,?0????result?=?[]????# 2.解決：比較傳入的兩個(gè)子序列，對(duì)兩個(gè)子序列進(jìn)行排序????while?i?<?len(left)?and?j?<?len(right):??????????if?left[i]?<=?right[j]:????????????result.append(left[i])????????????i?+=?1????????else:????????????result.append(right[j])????????????j?+=?1????# 3.合并：將排好序的子序列合并????result.extend(left[i:])?????????????result.extend(right[j:])????return?result真題演練
為運(yùn)算表達(dá)式設(shè)計(jì)優(yōu)先級(jí)
LeetCode 241. 為運(yùn)算表達(dá)式設(shè)計(jì)優(yōu)先級(jí): https://leetcode-cn.com/problems/different-ways-to-add-parentheses/
題目描述
給定一個(gè)含有數(shù)字和運(yùn)算符的字符串，為表達(dá)式添加括號(hào)，改變其運(yùn)算優(yōu)先級(jí)以求出不同的結(jié)果。你需要給出所有可能的組合的結(jié)果。有效的運(yùn)算符號(hào)包含 + , - 以及 *。
示例 1:
輸入:?"2-1-1"輸出:?[0,?2]解釋:?((2-1)-1)?=?0?(2-(1-1))?=?2示例 2:
輸入:?"2*3-4*5"輸出:?[-34,?-14,?-10,?-10,?10]解釋:?(2*(3-(4*5)))?=?-34?((2*3)-(4*5))?=?-14?((2*(3-4))*5)?=?-10?(2*((3-4)*5))?=?-10?(((2*3)-4)*5)?=?10思路
對(duì)于一個(gè)形如 x op y（op 為運(yùn)算符，x 和 y 為數(shù)） 的算式而言，它的結(jié)果組合取決于 x 和 y 的結(jié)果組合數(shù)，而 x 和 y 又可以寫成形如 x op y 的算式。
因此，該問(wèn)題的子問(wèn)題就是 x op y 中的 x 和 y：以運(yùn)算符分隔的左右兩側(cè)算式解。
然后我們來(lái)進(jìn)行分治算法三步走：
分解：按運(yùn)算符分成左右兩部分，分別求解
解決：實(shí)現(xiàn)一個(gè)遞歸函數(shù)，輸入算式，返回算式解
合并：根據(jù)運(yùn)算符合并左右兩部分的解，得出最終解
實(shí)現(xiàn)
class?Solution:????def?diffWaysToCompute(self,?input:?str)?->?List[int]:????????#?如果只有數(shù)字，直接返回????????if?input.isdigit():????????????return?[int(input)]????????res?=?[]????????for?i,?char?in?enumerate(input):????????????if?char?in?['+',?'-',?'*']:????????????????# 1.分解：遇到運(yùn)算符，計(jì)算左右兩側(cè)的結(jié)果集????????????????# 2.解決：diffWaysToCompute 遞歸函數(shù)求出子問(wèn)題的解????????????????left?=?self.diffWaysToCompute(input[:i])????????????????right?=?self.diffWaysToCompute(input[i+1:])????????????????# 3.合并：根據(jù)運(yùn)算符合并子問(wèn)題的解????????????????for?l?in?left:????????????????????for?r?in?right:????????????????????????if?char?==?'+':????????????????????????????res.append(l?+?r)????????????????????????elif?char?==?'-':????????????????????????????res.append(l?-?r)????????????????????????else:????????????????????????????res.append(l?*?r)????????return?res總結(jié)
分治算法的核心是尋找子問(wèn)題的解，解題步驟遵循「三步走」：
找到子問(wèn)題并分解
解決子問(wèn)題（遞歸）
合并子問(wèn)題的解
這里為大家準(zhǔn)備了兩道練手題，大家趕緊試試手吧：
LeetCode 932. 漂亮數(shù)組: https://leetcode-cn.com/problems/beautiful-array
LeetCode 105. 從前序與中序遍歷序列構(gòu)造二叉樹: https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/
參考資料
OI Wiki: 遞歸 - 分治：https://oi-wiki.org/basic/divide-and-conquer/
福利
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真香，朕在看了！
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的搞定面试算法系列 | 分治算法三步走的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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