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碰到動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題摸不著頭腦？總結(jié)不出動(dòng)態(tài)規(guī)劃的類(lèi)型？有多少人曾經(jīng)歷過(guò)這種迷茫與無(wú)助？看完本文，讓你一腳邁進(jìn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的大門(mén)。

我們?cè)谟眠f歸求解問(wèn)題的過(guò)程中，可能會(huì)存在將遞歸的某一環(huán)節(jié)計(jì)算多次的現(xiàn)象，因?yàn)橹暗倪f歸結(jié)果無(wú)法有效存儲(chǔ)，下次碰到一樣的值還需要重新計(jì)算一次，下面引出一個(gè)例子：

相信大家都知道斐波那契數(shù)列，那我們由斐波那契數(shù)列遞歸求解過(guò)程中帶來(lái)的問(wèn)題來(lái)引出動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。

斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列的規(guī)律為：當(dāng)n > 2時(shí)，fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2),當(dāng)n為1或2時(shí)，fib(n)=1。假如我們讓電腦代入這個(gè)遞歸式來(lái)求fib(5)，則求解過(guò)程如下圖：

求fib(5)

我們可以看到，如果我們按照如上的遞歸式來(lái)求一個(gè)斐波那契數(shù)，那么當(dāng)n很大時(shí)，這棵樹(shù)會(huì)非常龐大，且從中我們也可看出，電腦會(huì)非常傻的把fib(3)算了兩遍，這種問(wèn)題叫做重疊子問(wèn)題，所以這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度會(huì)達(dá)到O(2^n),但實(shí)際上我們沒(méi)有必要把fib(3)算兩遍，我們?cè)谒愕谝槐闀r(shí)把它保存起來(lái)，在下次需要時(shí)直接調(diào)用就可以了。

因此我們?cè)谟?jì)算fib(5)時(shí)，完全可以從fib(1)開(kāi)始計(jì)算，從1一直算到5，并不斷保存，在必要時(shí)調(diào)用之前保存的值，而不需要重新運(yùn)算，這樣算法的時(shí)間復(fù)雜度瞬間就降到O(n)了。

所以我們?cè)谧鰟?dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí)，首先要用到的就是這個(gè)思想，可以看出，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的特點(diǎn)之一就是開(kāi)辟內(nèi)存保存數(shù)值，那么我們可以根據(jù)開(kāi)辟內(nèi)存的方式分為一維動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題和二維動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，下面我們來(lái)具體介紹。

第一類(lèi)問(wèn)題（一維）

1.求薪水問(wèn)題

我們來(lái)看下面的圖，從上到下依次為8種工作，橫軸代表工作所占的時(shí)間段，紅色字體代表每份工作的薪水，兩份同一時(shí)間的工作不能同時(shí)做，我們求的問(wèn)題是一個(gè)員工怎樣在0到11的時(shí)間段內(nèi)獲取最大的薪水。

我們首先思考這道題的本質(zhì)，就是選不重合的工作，求能最多得到的薪水，我們先建立一個(gè)數(shù)組workvalue來(lái)保存每份工作的薪水。

我們先按照開(kāi)辟內(nèi)存的思想來(lái)做這道題，之后我會(huì)說(shuō)明為什么要開(kāi)辟內(nèi)存。由上文的動(dòng)態(tài)規(guī)劃規(guī)律可知，我們可以依次從只做前一個(gè)工作能得到的最大薪水、只做前二個(gè)工作能得到的最大薪水、只做前三個(gè)工作能得到的最大薪水來(lái)思考，并建立一個(gè)value數(shù)組來(lái)保存它們，假如我們想求前6個(gè)工作中選哪些工作才能賺的最多，那么我們可以有兩個(gè)選擇：做或者不做這份工作，第一種，假如我們選擇第6份工作，我們先找到最近的一個(gè)與第6份工作時(shí)間不重合的工作（第2份工作），那最大薪水為做第6份工作得到的錢(qián)加上做前2個(gè)工作能得到的最大的薪水（本題就是第6份工作的薪水3+value[2]）；第二種，我們可以選擇不做第6份工作，那么最大的薪水就是做前5個(gè)工作得到的最大的薪水。因此：

value[6]=max(3+value[2],value[5]);

我們可以看出，如果我們不開(kāi)辟數(shù)組，用遞歸的思想接著求value[2]，那么不可避免地計(jì)算了重復(fù)子問(wèn)題，因此我們選擇開(kāi)辟數(shù)組，從前往后用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想做。此外，我們還應(yīng)設(shè)立pre數(shù)組來(lái)存每個(gè)工作的前一個(gè)與之不重合的工作，例如pre[6]=2。因此我們可以寫(xiě)出如下代碼來(lái)解決上述問(wèn)題：

#include <iostream> using namespace std; int value[10]; int workvalue[8] = {5, 1, 8, 4, 6, 3, 2, 4}; int pre[8] = {0, 0, 0, 1, 0, 2, 3, 5}; int main() {value[0] = 0;value[1] = 5;value[2] = 5;for (int i = 3; i <= 8; i++) {value[i] = max(value[i - 1], value[pre[i - 1]] + workvalue[i - 1]);}cout << value[8];return 0; }

求出結(jié)果等于13，即最多的薪水。那么這道問(wèn)題解決，鑒于如果此題換個(gè)衣服大家可能會(huì)不認(rèn)識(shí)的現(xiàn)象，我們接下來(lái)再搞一道同類(lèi)型不同描述的問(wèn)題。

2.求最大數(shù)

我們可以在如下arr數(shù)組中的數(shù)字中可以任意選數(shù)字，但是不能選相鄰的數(shù)字，輸出我們選的數(shù)字中和最大的值。

arr數(shù)組

我們可以一眼看出，此題同樣是個(gè)選擇與否的問(wèn)題，不能選相鄰的數(shù)就如求薪水問(wèn)題中的不能同時(shí)做兩份工作，我們先來(lái)試試遞歸，用遞歸從后往前來(lái)做，我們?cè)O(shè)opt（n）是前n個(gè)數(shù)中選擇的數(shù)相加最大的值，那么當(dāng)我們考慮opt(n)時(shí)，我們有兩種選擇：選或者不選數(shù)組n位置所在的數(shù)，如果選擇n，那它的值就為arr[n]+opt[n-2],如果不選擇n，那它的值就為opt[n-1]。而opt(n)就是兩種選擇中的最大值。假如我們求opt(6),那么就如下圖所示：

遞歸思路

那遞歸出口就是opt(1)=arr[1],opt(2)=max(arr[2],opt(1)),因此我們可以得出如下代碼(在此代碼中由于數(shù)組從0開(kāi)始，因此在相應(yīng)的地方-1)：

#include <iostream> using namespace std; int arr[7] = {1, 2, 4, 1, 7, 8, 3};int rec(int arr[], int i) {if (i == 0) return arr[0];else if (i == 1) return max(arr[0], arr[1]);else {int A = rec(arr, i - 2) + arr[i];int B = rec(arr, i - 1);return max(A, B);} } int main() {cout << rec(arr, 6); }

毫無(wú)疑問(wèn)我們也計(jì)算了重疊子問(wèn)題，由上面的動(dòng)態(tài)規(guī)劃可知，我們可以通過(guò)創(chuàng)建數(shù)組來(lái)保存相應(yīng)的值，以此減少不必要的計(jì)算，因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的代碼如下：

#include <iostream> using namespace std; int arr[7] = {1, 2, 4, 1, 7, 8, 3}; int opt[7];int rec(int arr[], int j, int opt[]) {opt[0] = arr[0];opt[1] = max(arr[0], arr[1]);for (int i = 2; i < 7; i++) {int A = opt[i - 2] + arr[i];int B = opt[i - 1];opt[i] = max(A, B);}return opt[j]; } int main() {cout << rec(arr, 6, opt); }

好，我們來(lái)思考，開(kāi)辟一維內(nèi)存的原因是其中只能找到一個(gè)變量，如前n個(gè)工作的最大薪水、前n個(gè)數(shù)的最大值，那當(dāng)我們存在多個(gè)變量時(shí)又該如何求解呢？所以我們引出二維動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

第二類(lèi)問(wèn)題（二維）

1.選取數(shù)字

給定一個(gè)數(shù)，我們是否可以在如下數(shù)組中找到任意個(gè)數(shù)，使選中的所有數(shù)值之和等于給定的數(shù)，如果可以找到，則返回true，如果不可以找到，則返回false。

arr數(shù)組

首先我們先用遞歸的思想來(lái)看這道題，假如給定一個(gè)數(shù)9，我們?cè)鯓訉?xiě)出一個(gè)算法來(lái)讓計(jì)算機(jī)判斷數(shù)組中是否有任意個(gè)數(shù)之和為9呢？還是老套路，我們創(chuàng)建一個(gè)遞歸函數(shù)，傳給它數(shù)組、數(shù)組的最后一個(gè)下標(biāo)（此題為5）、目標(biāo)值。我們從數(shù)組中第六個(gè)元素開(kāi)始看，我們有兩種選擇：第一種，我們選擇這個(gè)元素，如果選擇的話(huà)，那么我們接下來(lái)調(diào)用遞歸函數(shù)，它的實(shí)參就是數(shù)組、此下標(biāo)數(shù)減1、目標(biāo)數(shù)減此下標(biāo)的值（因?yàn)槲覀冞x了這個(gè)下標(biāo)上的值，所以應(yīng)該把值減去）；第二種，我們不選擇這個(gè)數(shù)，那么我們接下來(lái)調(diào)用遞歸函數(shù)，它的實(shí)參就是數(shù)組、此下標(biāo)數(shù)減1、目標(biāo)數(shù)。如果這兩種選擇有一種能夠成功找出結(jié)果，那么就返回true,如果兩種選擇都不滿(mǎn)足，那么則返回false即可。

接下來(lái)我們要思考遞歸的中止條件：

1.當(dāng)目標(biāo)值被減為0時(shí)，直接返回true

2.當(dāng)下標(biāo)數(shù)為0時(shí)，如果下標(biāo)0對(duì)應(yīng)的數(shù)組值不等于此時(shí)的目標(biāo)值，則返回false

3.當(dāng)選擇此下標(biāo)值時(shí)，如果此下標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù)組值大于目標(biāo)值，則不能做此選擇

好，既然確定了終止條件，那么我們來(lái)看代碼：

#include <iostream> using namespace std;int arr[6] = {3, 34, 4, 12, 5, 2};int rec_subset(int arr[], int i, int s) {if (s == 0)return true;else if (i == 0)return arr[0] == s;else if (arr[i] > s)return rec_subset(arr, i - 1, s);else {bool A = rec_subset(arr, i - 1, s - arr[i]);bool B = rec_subset(arr, i - 1, s);return A or B;} } int main() {cout << rec_subset(arr, 5, 13); }

由于此遞歸重復(fù)了大量重復(fù)子問(wèn)題，接下來(lái)我們要思考的是，怎樣用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方式從前往后做這道題？

首先我們判斷此動(dòng)態(tài)規(guī)劃為二維問(wèn)題，因?yàn)橛袃蓚€(gè)東西可以作為二維數(shù)組的兩個(gè)下標(biāo)：目標(biāo)值、arr數(shù)組中的元素的下標(biāo)。因?yàn)槲覀儚膭偛诺倪f歸可以看出目標(biāo)值從后往前是不斷遞減的，因此我們就可以從0開(kāi)始往后遞增，arr數(shù)組中的元素的個(gè)數(shù)也可以依次增加，所以作為二維數(shù)組的另一個(gè)下標(biāo)。因?yàn)槲覀兎祷氐氖遣紶栔?#xff0c;所以我們需要建立二維布爾數(shù)組如下：

初始的二維數(shù)組

這就是我們要保存每個(gè)數(shù)據(jù)的二維數(shù)組，第一行代表的是目標(biāo)值從1到9，列代表的是下標(biāo)數(shù)，每個(gè)格子代表用當(dāng)前的元素可否能找出數(shù)據(jù)使其和等于目標(biāo)值，那怎么樣填此二維數(shù)組呢？

現(xiàn)在我們來(lái)思考一下我們上面所想到的終止條件：

1.當(dāng)目標(biāo)值被減為0時(shí)，直接返回true，所以第一列都為true

2.當(dāng)下標(biāo)數(shù)為0時(shí)，如果下標(biāo)0對(duì)應(yīng)的數(shù)組值不等于此時(shí)的目標(biāo)值，則返回false，因此第一行除了3等于第0個(gè)元素對(duì)應(yīng)的數(shù)組數(shù)據(jù)為true外，其余都為false

因此我們可以把此表改成如下：

改過(guò)后的二維數(shù)組

我們用T代表true，用F代表false，其中第0行第0列是T或者F都可以。

接下來(lái)我們就可以給二維數(shù)組里面的其他元素賦值了，比如第i行j列，我們先判斷i下標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù)組元素值是否大于j（目標(biāo)元素）。

如果不大于，那么就可以分為兩種情況：第一種，其值等于行為i-1，列為j-arr[i]的值(代表選了此下標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù))；第二種行為i-1，列為j(代表沒(méi)有選此下標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù))。當(dāng)兩種情況有一種以上為T(mén)時(shí)，第i行j列的值就為T(mén)，否則就為F。

如果大于，意為我們不能選擇此時(shí)對(duì)應(yīng)的元素值，因?yàn)槿绻x擇的話(huà)，目標(biāo)值就變?yōu)樨?fù)數(shù)了，所以我們僅有一種選擇，那么第i行j列的值就等于i-1行j列的值。

以此類(lèi)推，填滿(mǎn)此二維數(shù)組，最終的值為二維數(shù)組最右下角的值。我們來(lái)看代碼：

#include <iostream> using namespace std;int arr[6] = {3, 34, 4, 12, 5, 2};bool dpsubset(int arr[], int s) {bool subset[6][s + 1];for (auto j : subset) {j[0] = true;}for (auto &j : subset[0]) {j = false;}subset[0][arr[0]] = true;for (int h = 1; h < 6; h++) {for (int k = 1; k < s + 1; k++) {if (arr[h] > k)subset[h][k] = subset[h - 1][k];else {bool A = subset[h - 1][k];bool B = subset[h - 1][k - arr[h]];subset[h][k] = A or B;}}}return subset[5][s]; }int main() {cout << dpsubset(arr, 13); }

由此問(wèn)題引出另外一個(gè)問(wèn)題，我們?cè)鯓忧蟮梦覀冞x擇的是哪些數(shù)呢？別急，看了下面的題目，我們就會(huì)解決了。

2.背包回溯

現(xiàn)在有四個(gè)物品，背包的總?cè)萘繛?，背包最多能裝入價(jià)值為多少的物品？都裝了哪些物品？

問(wèn)題描述

毫無(wú)疑問(wèn)，這是二維動(dòng)態(tài)規(guī)劃，怎么判斷的呢？因?yàn)樗袃蓚€(gè)東西可以作為二維數(shù)組的兩個(gè)下標(biāo)，一個(gè)是物品編號(hào)，一個(gè)是背包容量，所以我們創(chuàng)建二維數(shù)組如下：

二維數(shù)組

其中第一行代表背包容量，第一列代表物品個(gè)數(shù)，每個(gè)格子為在當(dāng)前背包容量的情況下考慮當(dāng)前的物品所能裝下的最大價(jià)值是多少。

現(xiàn)在我們來(lái)填格子，首先第二行全部為0，因?yàn)榇藭r(shí)沒(méi)有物品；其次第二列為0，因?yàn)榇藭r(shí)背包容量為0。現(xiàn)在我們來(lái)填其余表格，在填之前，我們先考慮當(dāng)前格子對(duì)應(yīng)的物品是否能裝入背包。

如果能裝下當(dāng)前物品，那么分兩種情況：第一種為裝入背包，獲得此物品的價(jià)值，然后減去它所占的空間，找對(duì)應(yīng)剩余空間容量、物品數(shù)減一對(duì)應(yīng)的最大價(jià)值（就是找之前的格子），然后兩個(gè)價(jià)值相加；第二種為不裝，那么當(dāng)前最大價(jià)值等于對(duì)應(yīng)空間容量不變、物品數(shù)量減一的最大價(jià)值（就是此格子頭頂?shù)母褡?#xff09;。最后此格子的值等于兩種情況中最大的值。

如果不能裝入背包，那么當(dāng)前最大價(jià)值等于對(duì)應(yīng)空間容量不變、物品數(shù)量減一的最大價(jià)值（就是此格子頭頂?shù)母褡?#xff09;，最后此格子的值等于此格子頭頂上的格子的值。

在我們填滿(mǎn)二維數(shù)組后，來(lái)考慮一下新的問(wèn)題：回溯，如何找到背包放的物品編號(hào)？

我們先從二維數(shù)組最右下角的格子找，如果它的值等于它頭頂上的格子，則證明它沒(méi)裝此時(shí)對(duì)應(yīng)的物品，否則就是裝了此物品，這個(gè)格子的值等于這個(gè)格子的兩個(gè)下標(biāo)分別減一和此時(shí)放入背包的物品的所占空間的格子對(duì)應(yīng)的值加上這個(gè)格子對(duì)應(yīng)的物品價(jià)值，開(kāi)辟一個(gè)數(shù)組，這樣回溯，如果找到放入的物品，則在此數(shù)組對(duì)應(yīng)的位置上設(shè)為1，沒(méi)放入此物品則在數(shù)組對(duì)應(yīng)的位置上設(shè)為0,最后輸出數(shù)組即可，大家看代碼：

/* i物品編號(hào) 1 2 3 4 w體積 2 3 4 5 v價(jià)值 3 4 5 6 */ #include <iostream> using namespace std; int weight[5] = {0, 2, 3, 4, 5}; int value[5] = {0, 3, 4, 5, 6}; int dp[5][9]; int object[5];void Dynamic() {for (int i = 1; i < 5; i++) {for (int j = 1; j < 9; j++) {if (weight[i] > j)dp[i][j] = dp[i - 1][j];elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}} }void Find(int i, int j) {if (i == 0) {for (int i = 0; i < 5; i++)cout << object[i] << " ";return;}if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {object[i] = 0;Find(i - 1, j);} else if (dp[i][j] == dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) {object[i] = 1;Find(i - 1, j - weight[i]);} } int main() {Dynamic();cout << dp[4][8];Find(4, 8); }

延伸

如果你看到這里，并且認(rèn)真看完上述文字后，恭喜你初步掌握了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的常見(jiàn)問(wèn)題，最好把上述代碼反復(fù)敲幾遍，第一遍照著敲，第二表憑借理解單獨(dú)敲。馬化騰曾說(shuō)過(guò)一句話(huà)，給我感觸很大，“用最笨的方式去領(lǐng)悟編程，用抄代碼的方式來(lái)培養(yǎng)感覺(jué)”。

此外大家就可以不斷在各個(gè)平臺(tái)上刷題來(lái)提升自己的感覺(jué)，一起加油！

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真香，朕在看了！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法、讲解、动态规划一脸懵？看完之后轻松掌握！的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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