八皇后问题——列出所有的解，可推至N皇后
《數據結構》——鄧俊輝版本 讀書筆記
今天學習了回溯法，有兩道習題，一道N皇后，一道迷宮尋徑。今天，先解決N皇后問題。由于筆者
擅長java，所以用java重現了八皇后問題。
注意是java實現版本，其實用什么語言，都一樣。
寫在前面的話，
如果想看代碼，直接往下拉，注釋寫的很清楚，憑借注釋應
該也能理解八皇后問題。
1. 首先知道什么是八皇后問題，不過，相信看到這里的同學，都應該知道八皇后
問題，簡單概括為：每個皇后的勢力范圍如下圖紅線標注所示，也就是橫縱軸、兩條對角線 。在一個皇后的勢力范圍內，就不能再出現其他皇后了。
2. 這里選用經典的八皇后問題，想讓八個皇后，在棋盤上相安無事。用代碼怎么實現？首先，明白一件事，電腦就是小萌新啊，只會計算最簡單的計算，2+3，它興許都得差分為（1+1）+（1+1+1）來計算，唯一的優勢就是計算的速度比我們快。
3. 剛看到回溯法的時候，想著要用代碼，寫出來。感覺無從下手，以為很難的，以為電腦不會笨的一個一個去嘗試，以為有很神奇的方法存在。學完以后，才發現，很簡單，發現回溯法，也是從窮舉起手的，只不過帶著一定的策略，說白了，優化過的暴力求解。以后，遇到各種聽著很高大上的問題別慌，比如，動態規劃、深度優先搜索。都是窮舉！！只是加了一些策略。I can I believe !你之所能，是因為你想信你能！
解題思路：
都是文字講解，主要是筆者沒有圖！！！誒，希望你們讀完，能學會八皇后問題。如果文字看不下去。
可以直接去看代碼，注釋寫的很詳細。
一行只能有一個皇后，這個根據游戲規則中的皇后的勢力就可以得知。
首先讓皇后從起點開始擺放。因此，第一個皇后的位置先擺放在（0，0）上，第二個皇后根據游戲規則，只能在第二行尋找合適的位置。在第二個皇后的位置確定以后，再去第三行尋找第三個皇后的位置，以此內推。直到所有的皇后的位置都確定了，問題的一組解，就出來了！但是問題并不是這么簡單。
比如現在有三個皇后A、B、C。A在第一行，B在第二行都找到合適的位置了，在第三行所有的位置都是A或者B皇后的勢力范圍。尷尬了，皇后之間要打架了。怎么辦？聰明的你，可能會想到讓B皇后，重新找一個合適的位置(這個合適的位置，從B當前的下一個位置開始尋找），然后再來為 C選擇合適的位置。如果C還是沒有合適的位置，就再次為B尋找合適的位置，循環往復這個動作。
細心的你，可能會有疑問，每次C皇后，找不到合適的位置，就去讓B重新尋找合適的位置難道B皇后就一直會有新的合適的位置嗎？答案是否定的，當B皇后在它所處的行，再也找不到合適的位置，就說明A皇后的位置，也需要變動了。A皇后的位置變動，跟其他皇后不一樣，因為，當前B、C皇后都因為沒有合適的位置，所有，就沒有擺放在棋盤上。因此，這里棋盤上就一個皇后A，所有它只需要右移一個位置即可。A皇后位置更新以后，就再去為B皇后找合適位置，如果有合適位置，就再去為C皇后尋找合適的位置；如果B皇后沒有合適的位置，就再次右移A皇后，循環上面的過程。
有的同學，可能會有疑問，照你說的，計算機就是通過窮舉解決問題的，上面的解題過程，計算機確實也是笨笨的一個一個位置去尋找的。那么這算法有效率嗎？答案是有效率的。不知你們發現沒有，我們每個為下一個皇后尋找合適的位置的時候，都與之前存在的皇后做了比較。只有，有合適的位置，才會擺放皇后；這里尋找合適的位置，會排除沒有意義的試探，比如，將皇后擺放在之前某個皇后的勢力范圍內。沒有排除沒意義的試探，才是正正的傻傻的窮舉。我們的算法，是帶著策略的窮舉。
上述每次為下一個皇后，尋找合適的位置，就是試探。每次試探不到合理的位置，回頭去改變前一個皇后的位置，就是回溯；排除沒意義的試探，就是剪枝。上訴的解題過程，就是一個回溯法的思路。
用代碼求解八皇后問題
回溯法，如何回溯？需要我們的棧結構，來保存我們每次已經找到合適位置的皇后的列坐標，坐標從0開始。為什么不保存行坐標呢？因為，一行只能有一個皇后，棧中皇后的下標，就是對應皇后的行坐標啦。
首先我們定義一個皇后類
在皇后類中，我們寫了一個方法判斷，兩個皇后之間是否安全
/**
* 皇后類
*/
class Queen {
// 棋盤中的皇后下標,從0開始
int x;
int y;
public Queen(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
public Queen() {
}
/*
判斷皇后所處位置是否相互安全，接收一個皇后對象
安全返回真，不安全返回假
*/
public boolean isSafe(Queen q) {
return !(this.x == q.x ||
this.y == q.y ||
this.x + this.y == q.x + q.y ||
this.x - this.y == q.x - q.y);
}
}在測試類中定義一個方法，求新皇后應該放置的合理位置
這個方法中創建一個新皇后對象，與之前已經存在的皇后作比較。比較函數則是皇后類定義的方法。
找到合適位置，就返回合適的位置的列坐標；返回-1，代表沒有合適位置。
/**
* 為皇后尋找合法位置
*/
public int setY(int N, ArrayList<Integer> list, int y) {
Queen q;
Queen q_exist;
// 做個標記，
boolean flag ;
// 遍歷一行的所有位置
for (int z = y; z < N; z++) {
// 為每個格子創建一個新的皇后
q = new Queen(list.size(), z);
// 起始標記為真
flag = true ;
for (int x = 0; x < list.size(); x++) {
// 創建之前存在的皇后
q_exist = new Queen(x, list.get(x));
// 安全 就返回真，循環作比較
if (!(q_exist.isSafe(q))) {
// 只要和之前存在的的任何一個皇后沖突，
// 并且說明當前皇后不是真的，將標記改為假
// 并跳出當前跳出循環，
flag = false;
break;
}
}
// 如果標記還為真，說明皇后是對滴，并返回新皇后的列坐標，結束函數
if (flag) {
list.add(q.y);
return q.y;
}
}
// 函數沒有提前結束，說明沒有合適的位置，返回-1；
return -1;
}求出所有組解
跟著注釋看，相信大家都能學會
/**
* 求解N皇后的問題，并給出所有的解,找到一組解，就讓最后的皇后換位置，直達第一個皇后的角標越界
* 筆者認為 next_y 變量的動態賦值的 需要很好的理解
* @param N 表示一共有多少皇后，也是棋盤的規模 N x N
*/
private void placeQueen(int N) {
// 表示一共有多少種解法
int all = 1;
// 代表皇后的y坐標
int y = 0;
// 在當前行，下一個位置開始重新尋找合適的位置
int next_y = 0;
// 建立一個棧，用于回溯
// 棧中存放的是皇后的列坐標，也就是y坐標
ArrayList<Integer> list = new ArrayList();
// 定義一個皇后
Queen queen;
// 開始計算每種情況
while (true) {
// 先判斷之前有沒有皇后存在
if (list.size() == 0) {
// 創建一個皇后對象，從0開始擺放
queen = new Queen(0, y);
// 將皇后的y坐標記錄下來，而x坐標就是棧的長度-1
list.add(queen.y);
// 下一次，棧再次空了，說明第一行的皇后需要右移
y++;
} else {
// 如果已經有皇后存在，既需要為當前皇后尋找合適的位置了
// 就是看setY()方法的返回值
// 在尋找當前皇后合適位置之前，我們先判斷是否求出一組解
// 如果，求出一組解，我們打印當前的解
if (list.size() == N) {
System.out.print("第" + all + "組解: ");
all++;
for (int num : list) {
System.out.print(num + " ");
}
System.out.println();
// 當前一組解，已經打印完畢
// 需要重新尋找新的解
// 我們這里讓棧頂的皇后，重新尋找位置
// 改變next_y的值就好了。
next_y = list.get(list.size() - 1) + 1;
// 記得彈出棧頂的皇后
list.remove(list.size() - 1);
// }
} else {
// *****************************************************
// 就是這里 我上午寫了一個比較臃腫的方法
// 我下午回來，試著重構，結果改了3個小時，才改對了！
// 簡直日了狗了，澡都沒趕上洗，午覺也沒睡成
// setY()方法中，尋找到合適的位置，就會自動添加到棧中
// 因此，這里只關注返回-1的情況
// 返回-1 ，表示需要回溯前一個皇后了
if (-1 == setY(N, list, next_y)) {
// 記錄下，先開始的位置
// 這個next_y 很重要的
// 如果需要在當前行 重新尋找合適的位置
// 就需要從當前位置的下一個位置開始遍歷尋找
// 因此next_y的值，為當前位置+1
next_y = list.get(list.size() - 1) + 1;
list.remove(list.size() - 1);
// 這里針對的是求出所有解的情況下，退出
// 當求出最后一組解的時候，再次將棧頂元素彈出，重新回溯的話
// 必然會回溯到最初的皇后，即第一個皇后，彈出第一個皇后的時候
// 棧為空。這里就需要作出判斷了
// 第一個皇后的下一個位置，是否超出了N的限制
if (list.size() == 0) {
// 判斷是右移還是退出
if (next_y < N) {
list.add(next_y);
next_y = 0;
} else {
break;
}
}
} else {
// 如果setY()沒有返回-1，說明找到了合適的位置
// 就需要為下一個皇后尋找合適的位置了
// 在新的一行開始尋找，必然需要從0開始尋找位置
next_y = 0;
// ****************************************************
}
}
}
}
}測試方法
不了解Junit測試框架的同學，這里將 placeQueen(6)；寫到main函數里面即可。
@Test
public void test() {
placeQueen(6);
}運行結果
六皇后問題一共有四組解
得出的解，只是皇后從0開始的 “列坐標” ，它們的行坐標，是0到N-1順序排列；
比如 ： 1 3 5 0 2 4，就是下面的情況
列 行
1 0
3 1
5 2
0 3
2 4
4 5
下面運算一下經典的八皇后，看看一個有多少組解
在圖中可以看出，一共有92組解。并且可以看到我們計算所有的解，只花費了0.026s。還是很快的。
八皇后問題，已經被我們解決了，用的就是回溯法，可能你
已經對回溯法，有了一定的了解，就是試探-剪枝-回溯。
希望你下次遇到什么新的算法策略。不要緊張，它們只是窮
舉，帶有策略的窮舉，策略還需要你來寫呢！
回溯法還有一個好玩的題，迷宮尋徑。過幾天，我在寫一個關于迷宮尋徑的博
客，題目有千千萬，但是思想是一樣的。希望大家和我，都能在解題過程中，對
回溯法有一個很好的掌握，下一次遇到問題的時候，能熟練使用回溯法解決它。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的八皇后问题——列出所有的解，可推至N皇后的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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