1.最大匹配里的邊，每一條邊都需要使用頂點覆蓋，也就是說最小點覆蓋大于等于最大匹配數(shù)

2.我們?nèi)稳∫粋€最大匹配，將在最大匹配內(nèi)的點染成藍(lán)色，不在最大匹配內(nèi)的點染成黑色
顯然，不可能有邊的兩個端點都是黑色，也就是說每條邊都至少有一個藍(lán)色點.
我們只需選擇藍(lán)色點即可，考慮在每條匹配邊中只選一個藍(lán)點。

選擇藍(lán)點的方法如下:
如果存在一個端點與黑色點直接相連，那么我們選擇這個藍(lán)色點，否則隨便選擇一個點即可，這樣我們就構(gòu)造了一種大小為最大匹配的最小點覆蓋。

注意如果存在下面的情況，則我們需要在１－－２這條邊中同時選擇兩個藍(lán)色點來蓋住黑色點。但下面這種情況是不存在的。

1--2是匹配邊，1，2點均是藍(lán)色
3，4都是未匹配點，1-4，2-3是未匹配邊
因為如果是這樣的話，就會存在增廣路。
綜上：最小點覆蓋=最大匹配

以上構(gòu)造方式是錯誤的,某老師的課件上出了錯。如下例中，選出1，2，C三個點來進(jìn)行覆蓋，發(fā)現(xiàn)2--B這條邊蓋不住。

首先,因為最大匹配是原二分圖邊集的一個子集，并且所有邊都不相交。
所以至少要從每條匹配邊中選出一個端點，于是最小點覆蓋包含的點數(shù)不可能小于最大匹配包含的邊數(shù)。于是如果對任意二分圖構(gòu)造一組點覆蓋，其包含的點數(shù)等于最大匹配，即可證明
構(gòu)造方法如下:
1:求出最大匹配
2:從左部每個非匹配點出發(fā)，再執(zhí)行一次DFS找增廣路的過程(一定會失敗，也就是說走出一條長度為偶數(shù)，且非匹配邊與匹配邊交錯的路徑）,標(biāo)記所有訪問過的節(jié)點。下例中紅色為匹配邊，從未匹配點4出發(fā)，走出如下路徑(4---C---3---B---2)
3：取左部沒有打上標(biāo)記的點，右邊打上標(biāo)記的點，得到最小點覆蓋。下例中取出左部的1號點，右部的C，B兩個點。

證明其正確性，經(jīng)過上述構(gòu)造方法
1:左邊的非匹配點一定都被標(biāo)記，因為它們是出發(fā)點。
2:右邊非匹配點一定沒有被標(biāo)記,否則找到增廣路
3:一對匹配點要么都被標(biāo)記，要么沒有被標(biāo)記,因為在在找增廣路的過程中,左部匹配點只能通過右部到達(dá)(例如上例中c--3這條匹配邊，兩個點都被標(biāo)記，A--1這條匹配邊，兩個點都沒有被標(biāo)記）
在構(gòu)造中，我們?nèi)∽蟛繘]有被標(biāo)記的點，右邊被標(biāo)記的點，根據(jù)上面討論可知，正好是每條匹配邊取了一個點，于是選出來的點數(shù)等于最大匹配的邊數(shù)。（例如上例中4--C--3--B--2,我們選擇了C,B這兩個點，當(dāng)然還有個1號點要取）
再來討論這種取法是否覆蓋了所有的邊
1:匹配邊一定被覆蓋，因為正好有一個端點被取走
2:不存在連接兩個非匹配點的邊，否則就有長度為1的增廣路
3:連接左部非匹配點i,右邊匹配點J的邊，因為i是出發(fā)點，所以j一定被訪問，而我們?nèi)×擞也克斜粯?biāo)記的點，所以這樣的邊被覆蓋
4：連接左部匹配點i,右邊非匹配點J的邊,,這樣的i一定沒有被訪問，否則再走到J就找到增廣路。而我們?nèi)×俗筮吽形幢粯?biāo)記的點，于是這樣的邊也被覆蓋。

https://blog.csdn.net/qq_38956769/article/details/80238896

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最小点覆盖=最大匹配证明的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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