等比數列是一種常用的數列

樸素的求和方法是直接每項相加，不會影響取模，代碼也很簡單，但是時間復雜度為o（n），難以令人滿意

于是我們想到了通項公式

我們知道，等比數列和前n項和公式為（a1-a1*q^n）/(1-q).

而通過二分計算快速冪可以在log（n）的時間計算出q^n的值，（代碼如下）。剩下的貌似就是簡單的除法了

int pow2( int a, int b ) {int r = 1, base = a;while( b != 0 ){if( b % 2 )r = (r*base)%mod;base =( base*base)%mod;b /= 2;}return r; }

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不過事情沒這么簡單。

由于等比數列增加很快，很多題目中我們需要對它進行取模，而通項公式中有除法，不能直接取模，于是我們需要使用數論中講到的模逆元素

?在數論中，若 (a/x) %p= ( a *y%p) 我們稱y為x模p的逆元素

逆元素存在條件為gcd(x,p)=1;

有結論為，若y為x模p的逆元素，則x*y%p=1.

即x*y與1關于p同余

因此我們可以使用exgcd求得x模p的逆元素exgcd(x,p,&y,&z);

得到一個y，若y為負，調整為正數

求得了x的逆元素，我們就可以通過

(a1*pow(q,n)-1)*y%mod 得到等比數列（a1，q）的前n項和了。

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** 9.8日補充：

若取模的P非質數，那么gcd(x,p)不一定等于1，此時無法通過exgcd求逆元

取模時還有一個備選公式可以使用：

(A/B)%C=(A%(B*C))/B?(A%B?=?0);

不過要注意b*c可能會溢出，適用范圍不大

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應用：hdu1452?-----求 2004^x(mod 29)

參考資料 http://blog.csdn.net/luyuncheng/article/details/8017016

ac代碼：

#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; #define MAX 200000000 #define ull unsigned long long const int MAXN = 100011; int pow2( int a, int b ) {int r = 1, base = a;while( b != 0 ){if( b % 2 )r = (r*base)%29;base =( base*base)%29;b /= 2;}return r; }int main(){int x;while(scanf("%d",&x)&&x){int a=pow2(2,2*x+1);int b=pow2(3,x+1);int c=pow2(22,x+1);printf("%d\n",( a - 1 ) * (( b - 1 ) * 15) * ( c - 1 ) * 18 % 29);}return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/lnever/p/3933747.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的等比数列和的快速求法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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