二叉樹的定義

二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用于實現二叉查找樹和二叉堆。

二叉樹的每個結點至多只有二棵子樹(不存在度大于2的結點)，二叉樹的子樹有左右之分，次序不能顛倒。

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特殊二叉樹

1.?斜樹

所有結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹，所有結點都只有右子樹的二叉樹叫右斜樹。斜樹的每一層都只有一個結點，結點的個數與斜樹的深度相同。

2.?滿二叉樹

在一棵二叉樹中，如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，并且所有葉子結點都在同一層上，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。（上圖中所示的二叉樹，就是一棵滿二叉樹）

3.?完全二叉樹

對一棵具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號為i（1≤i≤n）的結點與同樣深度的滿二叉樹中的編號為i的結點在二叉樹中的位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。

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二叉樹的性質

性質1：在二叉樹的第i層上至多有2^i-1個結點（i≥1）。（數學歸納法可證）

性質2：深度為k的二叉樹最多有2^k-1個結點（k≥1）。（由性質1，通過等比數列求和可證）

性質3：一棵二叉樹的葉子結點數為n₀，度為2的結點數為n₂，則n₀?= n₂?+ 1。

證：結點總數n = n₀?+ n₁?+ n₂。設B為分支總數，因為除根節點外，其余結點都有一個分支進入，所以n = B + 1。又因為分支是由度為1或2的結點射出，所以B = n₁?+ 2n₂。綜上：n = n₀?+ n₁?+ n₂?= B + 1 = n₁?+ 2n₂?+ 1，得出：n₀?= n₂?+ 1。

性質4：具有n個結點的完全二叉樹的深度為floor(log₂n) + 1 。

性質5：如果對一棵有n個結點的完全二叉樹（其深度為floor(log₂n) + 1 ）的結點按層序編號，則對任一結點i（1≤i≤n）有：

（1） 如果i = 1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i > 1，則其雙親PARENT(i)是結點?floor((i)/2)。

（2）如果2i > n，則結點i無左孩子；否則其左孩子LCHILD(i)是結點2i。

（3）如果2i + 1 > n，則結點i無右孩子；否則其右孩子RCHILD(i)是結點2i + 1。

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二叉樹的存儲

1. 順序存儲結構

二叉樹可以用一維數組或線性表來存儲，而且如果這是完全二叉樹，這種方法不會浪費空間。

并且這種緊湊排列，如果一個結點的索引為i，則它的子結點能在索引2i+1和2i+2找到，并且它的父節點（如果有）能在索引floor((i-1)/2)找到（假設根節點的索引為0）。

對于一般的二叉樹，其層序編號不能反映出邏輯關系，但是可以將其按照完全二叉樹編號，只不過把不存在的結點設置為NULL即可。但這么做有一個問題，就是會浪費存儲空間。最壞情況下，一個深度為k的斜樹（只有k個結點），卻需要長度為2^k-1的一維數組。所以順序存儲結構一般只用于完全二叉樹。

2. 鏈式存儲結構

每個結點含有一個數據域和兩個指針域（分別指向左右子樹）。

// 二叉樹的二叉鏈表存儲表示

?typedef struct BiTNode

?{

?? TElemType data;

?? struct BiTNode *lchild,*rchild; // 左右孩子指針

?}BiTNode,*BiTree;

利用這種結點結構所得的二叉樹存儲結構稱之為二叉鏈表。在二叉鏈表中，如果想找到某個結點的雙親，需要從根節點開始遍歷，所以有時為了便于找到結點的雙親，還可以在結點結構中增加一個指向其雙親結點的指針域，相應的二叉樹存儲結構稱之為三叉鏈表。

Reference:

[1] 《大話數據結構》

[2] 《數據結構 嚴蔚敏》

[3] ?wikipedia(二叉樹)：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91

二叉樹的定義、性質、存儲

轉載于:https://www.cnblogs.com/littleKing163/p/4897376.html

總結

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