最近閑來無事，學學算法。

什么是動態規劃，我們要如何描述它?

動態規劃算法通常基于一個遞推公式及一個或多個初始狀態。當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。使用動態規劃來解題只需要多項式時間復雜度，因此它比回溯法、暴力法等要快許多。

這里所說的子問題并不一定指前一個問題的解

比如說1+2+3+。。。+100，我們這里可以sum[i]+100來求出總和，而sum[i]是1加到i的總和，這個問題就是1加到99的子問題再加上100就得到。

動態規劃則并非是如此，它可能跟前面所有的子問題的某個解有聯系，舉個例子：

如果我們有面值為1元、3元和5元的硬幣若干枚，如何用最少的硬幣湊夠11元？

(表面上這道題可以用貪心算法，但貪心算法無法保證可以求出解，比如1元換成2元的時候)

首先我們思考一個問題，如何用最少的硬幣湊夠i元(i<11)？為什么要這么問呢？兩個原因：1.當我們遇到一個大問題時，總是習慣把問題的 規模變小，這樣便于分析討論。 2.這個規模變小后的問題和原來的問題是同質的，除了規模變小，其它的都是一樣的，本質上它還是同一個問題(規模變小后的問題其實是原問題的子問題)。

好了，讓我們從最小的i開始吧。當i=0，即我們需要多少個硬幣來湊夠0元。由于1，3，5都大于0，即沒有比0小的幣值，因此湊夠0元我們最少需 要0個硬幣。 (這個分析很傻是不是？別著急，這個思路有利于我們理清動態規劃究竟在做些什么。) 這時候我們發現用一個標記來表示這句“湊夠0元我們最少需要0個硬幣。”會比較方便，如果一直用純文字來表述，不出一會兒你就會覺得很繞了。那么，我們用 d(i)=j來表示湊夠i元最少需要j個硬幣。于是我們已經得到了d(0)=0，表示湊夠0元最小需要0個硬幣。當i=1時，只有面值為1元的硬幣可用， 因此我們拿起一個面值為1的硬幣，接下來只需要湊夠0元即可，而這個是已經知道答案的，即d(0)=0。所 以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。當i=2時，仍然只有面值為1的硬幣可用，于是我拿起一個面值為1的硬幣，接下來我只需要再 湊夠2-1=1元即可(記得要用最小的硬幣數量)，而這個答案也已經知道了。所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。一直到這里，你 都可能會覺得，好無聊，感覺像做小學生的題目似的。因為我們一直都只能操作面值為1的硬幣！耐心點，讓我們看看i=3時的情況。當i=3時，我們能用的硬 幣就有兩種了：1元的和3元的( 5元的仍然沒用，因為你需要湊的數目是3元！5元太多了親)。既然能用的硬幣有兩種，我就有兩種方案。如果我拿了一個1元的硬幣，我的目標就變為了：湊夠 3-1=2元需要的最少硬幣數量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。這個方案說的是，我拿3個1元的硬幣；第二種方案是我拿起一 個3元的硬幣，我的目標就變成：湊夠3-3=0元需要的最少硬幣數量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 這個方案說的是，我拿1個3元的硬幣，這里d(3)值跟d(2)是沒有關系的，如果你還不理解，下面我們結合01背包來說明。好了，這兩種方案哪種更優呢？記得我們可是要用最少的硬幣數量來湊夠3元的。所以，選擇d(3)=1，怎么來的呢？ 具體是這樣得到的：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

狀態和狀態轉移方程

從以上的文字中，我們要抽出動態規劃里非常重要的兩個概念：狀態和狀態轉移方程。

狀態：就是上面d(3)d(2)等，抽象d(i);

狀態轉移方程：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}，抽象d(i)=min{ d(i-v_j)+1 }，其中i-v_j >=0，v_j表示第j個硬幣的面值;

01背包問題

問題描述：有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的體積是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

狀態轉移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

這個方程非常重要，基本上所有跟背包相關的問題的方程都是由它衍生出來的
偽碼：
??for i=1..N
???for v=V..0
????f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
如果不放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，
價值為f[i-1][v]；
如果放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的背包中”，
此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。

如果一開始看01背包這里最容易混淆，我就是在這里迷糊好久，要特別如果不明白要特別注意上面粗體的字，它是先放第i件，然后剩下容量再放前面i-1件，然而剩下容量所裝的物品，我們前面都已求出，下面，讓我們根據代碼來理解；

Input輸入的第一行有兩個整數T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一個空格隔開，T代表背包容量，M代表物品數目。接下來的M行每行包括兩個在1到100之間（包括1和100）的整 數，分別表示每個物品的體積和價值。
Output輸出包括一行，這一行只包含一個整數，裝入背包可使價值總和最大。
Sample Input
70 3
71 100
69 1
1 2
Sample Output
3

#include<iostream> # include<cstring> # define max(a,b) a>b?a:b using namespace std; int main() { int dp[101][1001],m,T,w[101],val[101],i,j; cin>>T>>m; for(i=1;i<=m;i++) cin>>w[i]>>val[i]; memset(dp,0,sizeof(dp)); for(i=1;i<=m;i++)
{ for(j=0;j<=T;j++)//j相當于上面說的V-c[i]，這里的循環都是為后面解準備的 { if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+val[i]);//放還是不放的選擇 else dp[i][j]=dp[i-1][j];
　　cout<<dp[i][j]<<" "; }
cout<<endl;
} cout<<dp[m][T]<<endl; return 0; }

這里就測試一下，
10 4
5 10
8 16
5 5
10 10

如果要符合上面題目輸出要求，把紅色代碼去掉

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/lsgsanxiao/p/5195446.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法-动态规划（01背包）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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