Uva11174：

? 村民排隊：村子里現(xiàn)在有n(1≤n≤40000)個人，有多少種方式可以把它們排成一列，使得沒有人站在他父親的前面(有些人的父親可能不在村子里)？輸入n和每個人的父親編號，輸出方案總數(shù)除以1000000007的余數(shù)。

? 分析：首先我們應該能夠看到的是，這種有關家庭關系的圖，需要借助基本的一個數(shù)據(jù)結構——樹，但是這里由于各個祖先不同，會形成森林，但是為了更好處理，我們將森林中的根節(jié)點的上面構造一個虛擬根，記作v0，這樣就形成了一棵樹。

? 我們設f[i]是以節(jié)點vi為根，得到的排列情況書，即f[0]就是這道題目的答案。

? 那么我們現(xiàn)在來考察f[0]究竟怎么計算，這里用到基本的計數(shù)原理。我們假設虛擬根v0下有k個兒子v1、v2、v3…vk，相當于有k個家族，則我們可以通過如下的步驟得到f[0]：

(i)???????????????? 我們將每個家族的人視為一樣的元素.

(ii)?????????????? 得到排列數(shù)之后再乘上這個家族符合要求的排列數(shù).

這里記s[i]是第i個家族的人數(shù)，也就是說以vi為根的所有節(jié)點的和(包括vi自己)，那么完成第一個步驟，我們得到的方法數(shù)是

??????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 而完成第二個步驟，結合分步乘法原理，應該是如下的式子：

?????????????????????????????????????????????

??????????????????????????????????????????????????? ?

? 這樣我們便得到了一個關于f[n]的遞推式，如下：

?????????????

??? 其中k是v0的兒子個數(shù)，如果我們設置一個數(shù)組son[i]記錄vi的兒子兒子數(shù)，ci表示節(jié)點的i個兒子在樹結構中的序號，因此我們會得到更加具有普遍性的遞推式子：

???????????

??? 那么現(xiàn)在將②迭代到①當中，會發(fā)現(xiàn)一直遞推下去，再考慮對于葉節(jié)點vj，有f[j]? = 1，因此我們能夠得到如下的線性表達式：

????????????

???????????????????????? ?

? 那么基于這個線性表達式，接下來我們需要考慮的事情就很明了了：

? 問題一：如何基于樹結構找到s[i]呢，這是最基本的數(shù)據(jù)結構的問題。

? 問題二：題目要求輸出f[0] % mod，而根據(jù)數(shù)論當中同余運算的性質，涉及出發(fā)應該借助逆元，而結合mod的大小和s[i]的取值，有gcd(mod , s[i]),我們也是能夠得到s[i]在關于mod下一定存在逆元的。

? 總結一下，這道題目還是一道非常好的題目的，它涉及了組合計數(shù)的基本原理、遞推、整理數(shù)學公式、基本樹形數(shù)據(jù)結構和數(shù)論當中的逆元，是一道非常綜合的題目。這里筆者由于臨近考試周時間緊張的原因，在如何編碼實現(xiàn)計算s[i]和求解逆元上先不做討論，以后有時間了再補充。

轉載于:https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5576567.html

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《训练指南》——6.10的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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