行列式
1 行列式使用如下性質(zhì)定義
1）單位矩陣行列式值為 1，，對(duì)于任意單位矩陣均成立；
2）當(dāng)矩陣交換一行后，行列式值改變符號(hào)，如置換矩陣的行列式值為（根據(jù)行交換次數(shù)決定）；
3）矩陣任意行線(xiàn)性變換導(dǎo)致行列式值產(chǎn)生線(xiàn)性變換：
， ；
使用以上三條基本性質(zhì)，可以推導(dǎo)更多性質(zhì)：
4）如果矩陣兩行相等，行列式值為 0；
利用性質(zhì)2，交換兩相等行，行列式值改變符號(hào)，故行列式值必須為 0；
5）對(duì)矩陣任意兩行做如下運(yùn)算：行2 = 行2 - k * 行1，新矩陣行列式值不發(fā)生改變，
利用性質(zhì)3， ；通過(guò)該性質(zhì)，可以知道矩陣消元法僅改變矩陣行列式值的符號(hào)，；
6）如果矩陣中存在一行全為 0， 矩陣行列式值為 0；
利用性質(zhì)5，將全零行改寫(xiě)為任意非零行與全零行的和，得到兩個(gè)全零行，故原矩陣行列式值為 0；
7）上三角矩陣或者下三角矩陣行列式值為對(duì)角元素之積，；
a. 利用性質(zhì)5，使用消元法可以對(duì)非零元素進(jìn)行消元處理，最終形成對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素保持不變，即 det U = det D；
b. 利用性質(zhì)3， ;
c. 利用性質(zhì)1，由于，則上三角矩陣行列式值為為對(duì)角元素之積；
8）如果矩陣為奇異矩陣，行列式值為 0；如果矩陣為非奇異矩陣，行列式值不為 0；
當(dāng)矩陣為奇異矩陣時(shí)，使用消元法至少一行全零行，性質(zhì)5 表明 , 根據(jù)性質(zhì)6，det U = 0；
當(dāng)矩陣為非奇異矩陣時(shí)，使用消元法得到滿(mǎn)秩，性質(zhì)5 表明 ，根據(jù)性質(zhì)7得；
9）矩陣乘積的行列式等于矩陣行列式的乘積，；使用該性質(zhì)，有，；
a. 構(gòu)造；
b. 當(dāng) A 為單位矩陣時(shí)，，滿(mǎn)足性質(zhì)1；
c. 當(dāng)交換矩陣 A 中任意兩行，矩陣 AB 中對(duì)應(yīng)兩行也發(fā)送交換，d(A) 符號(hào)發(fā)生改變，滿(mǎn)足性質(zhì)2；
d. 矩陣 A 中任意行線(xiàn)性變換，矩陣 AB 中對(duì)應(yīng)行發(fā)生同樣線(xiàn)性變換，d(A) 值發(fā)生同樣線(xiàn)性變換，滿(mǎn)足性質(zhì)3；
e. 綜上，d(A) 滿(mǎn)足性質(zhì)1，2，3，故，；
10）矩陣轉(zhuǎn)置后行列式不發(fā)生改變，；
a. 假定在不需行變換下可對(duì)矩陣進(jìn)行 LU 分解，；
b. 利用性質(zhì)9，；
c. 由于矩陣 L 為三角矩陣，且對(duì)角元素均為1，；
d. 由于矩陣 U 為三角矩陣，，因此，；
e. 在矩陣 LU 分解時(shí)引入行變換，, 由于，故可忽略行變換影響；
2 行列式計(jì)算公式
1）以3*3矩陣為例，使用行列式線(xiàn)性特性，將矩陣第一行進(jìn)行分解：
；
2）對(duì)分解后的三項(xiàng)對(duì)矩陣第二行再次分解：
，
，
；
3）對(duì)分解后的九項(xiàng)第三行再次分解：
，
......
4）通過(guò)以上分解，3*3 矩陣的行列式被分解為 個(gè)行列式的線(xiàn)性組合。在 27 個(gè)行列式中，有很大一部分值為 0，僅當(dāng)各行元素不再同一列時(shí)，行列式值不為0。
通過(guò)交換矩陣行，所有矩陣可變?yōu)閷?duì)角矩陣，故行列式值公式可表示為：
，
其中， 為 的全排列， 取決于在該排列下將矩陣變?yōu)閷?duì)角矩陣的行變換次數(shù)的奇偶性，
當(dāng)行變換次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)行變換次數(shù)為偶數(shù)時(shí)， 。
3 代數(shù)余子式
使用代數(shù)余子式，可以將 N 維行列式改寫(xiě)為 N - 1 維行列式得線(xiàn)性組合，降低計(jì)算量。方法如下：
1）以 3*3 矩陣為例，其行列式值為
2）提取公因子，
括號(hào)內(nèi)部為余下 2*2 矩陣得行列式值（但符號(hào)可能相反）；
3）將括號(hào)內(nèi)記為對(duì)應(yīng)元素得代數(shù)余子式，上式改寫(xiě)為，；
4）由于，因此也可以在列方向上分解行列式 。
4 行列式應(yīng)用
1）計(jì)算
使用 Gaussian-Jordan Method 可以通過(guò)消元法計(jì)算矩陣得逆，使用代數(shù)余子式概念可計(jì)算矩陣的逆，但效率會(huì)低于Gaussian-Jordan Method。
以 3*3 矩陣為例，解釋如下：
a. 矩陣 A 與代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣 C 的轉(zhuǎn)置相乘得：
；
b. 上式中，如 等項(xiàng)表示原矩陣 A 使用第一行替代第二行構(gòu)成的新矩陣 B 的行列式，由于 B 的第一行與第二行相等，故行列式值為 0；
因此，只有當(dāng) a 與 C 的下標(biāo)相同時(shí)，項(xiàng) 的值等于 A 的行列式值，故上式可化簡(jiǎn)為：
；
c. 進(jìn)一步整理得，因此，。
2）求解 Ax=b
a. ，帶入 得；
b. 向量 x 的各分量值，其分子部分為一個(gè)新矩陣 的行列式值，；
因此，向量 x 的各分量值為，這就是 Cramer's Rule 。
3）多面體的體積
在 N 維空間中，行列式值表示多面體體積。如在二維平面中，給定兩條邊構(gòu)成的平行四邊形面積等于以邊為行構(gòu)成的矩陣的行列式值（絕對(duì)值）；
在三維空間中，給定三條邊構(gòu)成六面體的體積為對(duì)應(yīng)矩陣的行列式值（絕對(duì)值）。證明如下：
a. 當(dāng)各條邊相互垂直時(shí)，；
，
；
b. 當(dāng)各條邊不垂直時(shí)，如下圖所示，；
由于，根據(jù) a 結(jié)論，，因此，，結(jié)論得證。
參考資料Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang
總結(jié)
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