萊尼問：“喬治，我們能用括號釣魚嗎？”
喬治笑答：“能，但只能釣理論魚。”

力學公理化形式

我們抽象出一套規則來玩泊松括號，而不是計算泊松括號。你可以檢驗一下這些規則。設 (A)、(B) 和 (C) 都是 (p) 和 (q) 的函數，根據上一講的內容，我們可以定義泊松括號：

egin{equation}
{A,C} = sum_i left ( frac{partial A}{partial q_i}frac{partial C}{partial p_i} - frac{partial A}{partial p_i}frac{partial C}{partial q_i} ight )
label{eq1}
end{equation}

泊松括號如下性質：

反對稱性：交換兩個函數，泊松括號改變符號：

egin{equation}
{A,C} = -{C,A}
label{eq2}
end{equation}

特別地，兩個同樣的函數的泊松括號的運算結果為0：

egin{equation}
{A,A} = 0
label{eq3}
end{equation}

線性。線性帶來兩個性質。第一，如果函數 (A) 乘上一個常數 (k)，則泊松括號的結果也乘上該常數：

egin{equation}
{kA,C}=k{A,C}
label{eq4}
end{equation}

第二，兩個函數的和 (A+B) 與第三個函數 (C) 的泊松括號等于 (A) 和 (B) 分別與 (C) 的泊松括號的和：

egin{equation}
{A+B,C} = {A,C} + {B,C}
label{eq5}
end{equation}

兩個函數的積 (AB) 與第三個函數 (C)的泊松括號滿足如下關系：

egin{equation}
{AB,C} = B{A,C} + A{B,C}
label{eq6}
end{equation}

這個關系可由求導規則得到：

egin{equation*}
frac{partial (AB)}{partial q} = B frac{partial A}{partial q} + A frac{partial B}{partial q}
end{equation*}

對 (p) 求導也有類似結果。

兩個 (q) 或兩個 (p) 的泊松括號都為0：

egin{equation}
egin{split}
&{q_i,q_j} = 0\
&{p_i,p_j} = 0
end{split}
label{eq7}
end{equation}

(q) 與 (p) 的泊松括號未必為0，而是滿足如下結果：

egin{equation}
{q\_i,p\_j} = delta\_{ij}
label{eq8}
end{equation}

其中 (delta\_{ij}) 為 克羅內克符號，當 (i=j) 時，(delta\_{ij}=1)，當 (i
eq j) 時，(delta\_{ij}=0)。

現在我們就可以計算任何泊松括號了。我們可以忘記泊松括號的定義了，方程 eqref{eq2}、eqref{eq3}、eqref{eq4}、eqref{eq5}、eqref{eq6}、eqref{eq7}、eqref{eq8} 可以作為一套數學形式體系的公理。

比如，我們要計算下式：

egin{equation}
{q^n,p}
label{eq9}
end{equation}

為簡單起見，系統只有一個(q) 和一個 (p)。這里先給出答案，然后再證明。答案是：

egin{equation}
{q^n,p}=nq^{n-1}
label{eq10}
end{equation}

可以用數學歸納法 證明上式。證明分兩步。第一步，假設對于 (n)，方程eqref{eq10}成立，并證明對于 (n+1) 也成立。第二步，證明 (n=1) 時結論成立。

將 (n) 替換為 (n+1)，將方程eqref{eq6}應用于方程eqref{eq9}，有：

egin{equation*}
{q^{n+1},p}={qcdot q^n,p}=q{q^n,p}+q^n{q,p}
end{equation*}

根據方程eqref{eq8}，({q,p}=1)，上式為：

egin{equation*}
{q^{n+1},p}={qcdot q^n,p}=q{q^n,p}+q^n
end{equation*}

應用最后的結論，即eqref{eq10}，可得：

egin{equation}
{q^{n+1},p}=q{q^n,p}+q^n=qnq^{n-1}+q^n=(n+1)q^n
label{eq11}
end{equation}

方程eqref{eq11}正是 (n+1) 時的歸納結論。

下一步我們需要證明方程eqref{eq10}對 (n=1)成立。而 (n=1) 時，方程eqref{eq10}為({q,p}=1)，這是顯然成立的。因此方程eqref{eq10}得證。

我們下面重新表述這個例子，并得到更深刻的結果。注意到 (nq^{n-1}) 正是 (q^n) 對 (q) 的導數。因此有：

egin{equation}
{q^n,p}=frac{dq^n}{dq}
label{eq12}
end{equation}

如果計算 (q) 的任意多項式（甚至是無窮冪級數）與 (p) 的泊松括號，可以將方程 eqref{eq12}應用到多項式的每一項，利用泊松括號的線性性質，將這些項再加起來，則可以證明：

egin{equation}
{F(q),p}=frac{dF(q)}{dq}
label{eq13}
end{equation}

由于任何光滑函數都可以用多項式做任意精確的近似，因此可以證明方程eqref{13}對 (q) 的任意函數都成立。其實，可以有更一般的結論，對于 (q) 和 (p) 的任意函數，可以證明：

egin{equation}
{F(q,p),p_i}=frac{partial F(q,p)}{partial q_i}
label{eq14}
end{equation}

練習1：證明方程eqref{eq14}

至此，我們發現了泊松括號的一個新性質：任意函數與 (p_i) 的泊松括號等效于求該函數對 (q_i) 的偏導數。我們可以從泊松括號的定義證明此結論，但是

函數 (F(q,p)) 與 (q_i) 的泊松括號會是什么結果？由對稱性你可能可以猜到結果，包括fu

egin{equation}
{F(q,p),q_i}=frac{partial F(q,p)}{partial q_i}
label{eq15}
end{equation}

練習2：哈密頓方程可以寫為 (dot{q}={q,H})和 (dot{p}={p,H})，假設哈密頓量為(H=frac{p^2}{2m}+V(q))，請根據泊松括號公理，導出牛頓方程。

角動量

在第7講中，我們解釋了旋轉對稱性與角動量守恒之間的關系。這里我們用在 (x,y) 平面內運動的質點，做個簡要的回顧。無限小轉動形式如下：

egin{equation}
egin{split}
&delta x = epsilon f_x = -epsilon y \
&delta y = epsilon f_y = epsilon x
end{split}
label{eq16}
end{equation}

假設拉格朗日量是不變量，我們可得到一個守恒量

egin{equation*}
mathcal{Q}=p_xf_x+p_yf_y
end{equation*}

小小改變符號，我們稱其為角動量(L)：

egin{equation}
L=xp_y-yp_x
label{eq17}
end{equation}

現在我們推廣至三維空間，方程eqref{eq16} 仍然適用，但是意義有變，此時表示系統繞 (z) 軸旋轉。我們可以再補充一個方程，表示繞 (z) 軸的旋轉不改變 (z) 坐標：

egin{equation}
egin{split}
&delta x = epsilon f_x = -epsilon y \
&delta y = epsilon f_y = epsilon x \
&delta z=0
end{split}
label{eq18}
end{equation}

方程eqref{eq17} 仍成立，只是我們將其重新解釋為角動量的 (z) 分量。角動量的其他兩個分量同樣容易算出，根據方程的變量循環可猜出具體的形式：

egin{equation*}
egin{split}
&L_z=xp_y-yp_x \
&L_x=yp_z-zp_y \
&L_y=zp_x-xp_y
end{split}
end{equation*}

你可能已經猜到，如果系統對每個軸都有旋轉對稱性，則矢量 (vec{L}) 的每個分量都是守恒量。

現在我們與角動量有關的泊松括號。比如 (x)、(y) 和 (z) 與 (L_z) 的泊松括號：

egin{equation}
egin{split}
&{x,L_z} = {x,xp_y-yp_x} \
&{y,L_z} = {y,xp_y-yp_x} \
&{z,L_z} = {z,xp_y-yp_x}
end{split}
label{eq19}
end{equation}

以上各式可以根據泊松括號的定義來計算，也可以通過公理來計算。

練習3：根據泊松括號的定義或公理計算方程eqref{eq19}

結果如下：

egin{equation*}
egin{split}
&{x,L_z} = -y \
&{y,L_z} = x \
&{z,L_z} = 0
end{split}
end{equation*}

與方程eqref{eq18}對比，我們會發現一種很有趣的模式。坐標與 (L_z) 求泊松括號會重得對 (z) 軸的無窮小轉動（除了因子 (epsilon)）：

egin{equation*}
egin{split}
&{x,L_z} sim delta x \
&{y,L_z} sim delta y \
&{z,L_z} sim delta z
end{split}
end{equation*}

其中 (sim) 表示“除了因子 (epsilon)”。

對一守恒量做泊松括號運算可得坐標在與守恒定律相關的對稱性下的坐標變換，這不是偶然的。這是一個一般性結論，給我們另一種思考對稱性與守恒之間關系的方式。我們討論這種關系之前，我們討論一下其他與角動量相關的泊松括號計算。首先，容易將計算推廣至 (L) 的其他分量，循環一下坐標 (xightarrow y,quad yightarrow z,quad zightarrow x)，即可得到結果。你會得到6個方程，有無優雅地方法寫出所有結果？有！

插播數學：列維-奇維塔符號

如果有一堆符號反復出現，就值得發明一個記號將這一堆符號表示出來。克羅內克符號(delta\_{ij})就是這樣的一個例子。下面我們給出另外例子——列維-奇維塔符號(epsilon\_{ijk})。與克羅內克符號一樣，列維-奇維塔符號的下標(i,j,k)也表示空間的三個方向，可以是(x,y,z)，有可以是(1,2,3)。克羅內克符號有兩個取值：1（(i=j)時）或者0（(i
eq j)時）。(epsilon)符號有三個取值：0，1，或-1，(epsilon\_{ijk}) 的規則比 (delta\_{ij}) 稍復雜。

如果有兩個下標相同，(epsilon\_{ijk}=0)，比如 (epsilon\_{111}=0)，(epsilon\_{223}=0)。三個下標中沒有相同下標時，(epsilon\_{ijk}) 才不等于0。這有六種情況：(epsilon\_{123})、(epsilon\_{231})、(epsilon\_{312})、(epsilon\_{213})、(epsilon\_{132})、(epsilon\_{321})，前三個值為(1)，后三個值為(-1)。

這兩種情況有何不同？把(1, 2, 3) 排在一個圓周上，就像只有3個小時的鐘表，見圖1。

圖1 三個數字 (1, 2, 3) 排在一個圓周上

從任何一個數字開始，順時針走過這三個數字，你會得到 ((123), (231), (312))。如果你逆時針走過這三個數字，你會得到((132), (213), (321))。對于順時針序列，(epsilon\_{ijk}=1)。對于逆時針序列，(epsilon\_{ijk}=-1)。

續論角動量

利用(epsilon) 符號，坐標與角動量分量的泊松括號可寫為：

egin{equation}
{x\_i,L\_j}=sum\_k epsilon\_{ijk}x\_k
label{eq20}
end{equation}

比如你想知道({y,L_x}) 的結果，把 (x,y,z) 分別定義為 (1,2,3)，方程eqref{eq20}即為：

egin{equation*}
{x_2,L_1}=epsilon_{213}x_3
end{equation*}

由于(213)是逆時針序列，因此 (epsilon_{213}=-1)，因此

egin{equation*}
{x_2,L_1}=-x_3
end{equation*}

現在我們另一組泊松括號——動量與角動量的泊松括號，利用(epsilon) 符號，易得結果為：

egin{equation*}
{p_i,L_j}=sum_k epsilon_{ijk}p_k
end{equation*}

比如，

egin{equation*}
{p_x,L_z}=-p_y
end{equation*}

容易注意到，(p) 與 (L) 的泊松括號與 (x) 與 (L) 的泊松括號，形式完全一樣，這很有意思，在坐標經過旋轉之后，(p) 和 (x) 的變換是一樣的。正如經過繞(z)軸旋轉之后，(delta x sim y)，(p_x) 的變換量也正比于(-p_y)。

這里面的水深著呢。坐標旋轉之后，要計算任何一個量的變化量，只需計算該量與角動量的泊松括號。對于繞第 (i) 軸的旋轉，有：

egin{equation}
delta F={F,L_i}
label{eq21}
end{equation}

角動量是旋轉操作的生成元。

我們還會再回到這個主題，還有對稱變換、泊松括號與守恒量之間的密切聯系。我們先說明一下，如何用泊松括號分析和解決問題。

轉子和進動

我們還沒有計算角動量三個分量之間的泊松括號。自身與自身的泊松括號總是0，但是(L)不同分量之間的泊松括號不是0。考慮

egin{equation*}
{L_x,L_y}={yp_z-zp_y,zp_x-xp_z}
end{equation*}

根據泊松括號定義，或者根據力學公理，我們都可以得到：

egin{equation*}
{L_x,L_y}=L_z
end{equation*}

你不妨試一下。

一般關系可以通過列維-奇維塔符號寫出來：

egin{equation}
{L_i,L_j}=sum_k epsilon_k L_k
label{eq22}
end{equation}

非常漂亮的形式。我們能做些什么呢？為了見識一下方程eqref{eq22}等關系的威力，我們考慮外太空一個快速轉動的小球，我們稱其為轉子。在任意時刻，轉子都有一個轉動軸，角動量即沿轉軸的方向。如果轉子不受任何外在影響，它的角動量守恒。

假設轉子帶有電荷。由于轉子在高速旋轉，它就像一個南北極沿著轉軸的電磁體。偶極的大小正比于轉速，更好的說法是正比于角動量。如果不把轉子置于磁場中，這兩種說法沒有什么不同。如果將帶電轉子置于磁場(vec{B})中，就會有一個與(vec{L}) 與 (vec{B})不平行相關的能量項，見圖2。

圖2 轉子取向與外磁場方向之間的夾角

這個能量正比于兩個矢量夾角的余弦值，也正比于兩個矢量的大小的積，即正比于兩個矢量的點積：

egin{equation}
Hsim vec{B}cdot vec{L}
label{eq23}
end{equation}

這里用(H)表示能量，后面我們會看出，這就是系統的哈密頓量。

假設外磁場的方向沿(z)軸，于是(H)正比于(vec{L})的(z)分量。把磁場強度、電量、球半徑等各種常量歸到一個常量(omega)里，這樣(H)可寫為如下形式：

egin{equation}
H=omega L_z
label{eq24}
end{equation}

我們先暫停一下，想想我們在做什么。很明顯，如果沒有外磁場，系統具有旋轉對稱性，轉動轉子的軸，系統能量不變。但是加上外磁場，轉動就有參照物了，因此轉動對稱性被破壞。方程eqref{eq23}和eqref{eq24}表示旋轉不對稱性。這會帶來什么后果？答案很明顯：角動量不再守恒——沒有對稱性就沒有守恒。這意味著轉動的方向將隨時間而變。如何變？

你可以試著猜下答案。轉子是磁體，直覺告訴我們，角動量將向著(vec{B})來回擺動，像單擺一樣。這是錯的，如果小球轉動很快的話。真實的情況是，角動量將會繞著磁場進動，像陀螺儀繞著引力場那樣運動。下面我們用泊松括號來得到矢量(vec{L})的運動方程。

首先，我們還記得任何一個量的時間導數是該量與哈密頓量的泊松括號。把這個規則應用于(vec{L})的分量，有：

egin{equation*}
egin{split}
&dot{L}_z={L_z,H} \
&dot{L}_x={L_x,H} \
&dot{L}_y={L_y,H}
end{split}
end{equation*}

帶入方程eqref{eq24}，

egin{equation*}
egin{split}
&dot{L}_z=omega {L_z,L_z} \
&dot{L}_x=omega {L_x,L_z} \
&dot{L}_y=omega {L_y,L_z}
end{split}
end{equation*}

現在你就能看出點端倪了。即使你對轉子的材料、電荷的分布等等一無所知，你也能解出此問題，因為我們知道(vec{L})各分量的泊松括號。(L_z) 與自己的泊松括號為0，有：

egin{equation*}
dot{L}_z=0
end{equation*}

(vec{L})的(z)分量不隨時間變化，這就排除了(vec{L})相對(vec{B})來回擺動這一想法。

根據方程eqref{eq22}可得(dot{L}\_x)和(dot{L}\_y)分別滿足如下方程：

egin{equation*}
egin{split}
&dot{L}_x=-omega L_y \
&dot{L}_y=omega L_x
end{split}
end{equation*}

這與(x,y)平面上繞著原點做勻速圓周運動的矢量的方程是一樣的。換言之，(vec{L}) 繞著磁場進動。這就是泊松括號的魔力，只知道哈密頓量正比于(vec{B}cdot vec{L})這一點信息，就解決了問題。

對稱與守恒

再回到方程eqref{eq21}，這個方程的意義是，在旋轉操作下，任何一個物理量的變化都正比于該物理量與(L_i)的泊松括號。(L_i)恰巧就是一個守恒量，因為(L_i)是旋轉操作下的不變量。這個聯系很有意思，這個聯系具有一般性嗎？我們再另外舉一些例子。考慮一個沿直線運動的質點，如果存在平移不變性，那么動量守恒。現在我們算一下(x)的任一函數與(p)的泊松括號：

egin{equation*}
{F(x),p}=frac{d F}{d x}
end{equation*}

在一個無限小的平移 (epsilon) 下，(F(x))的變化量是多少？答案是：

egin{equation*}
delta F=epsilon frac{d F}{d x}
end{equation*}

即

egin{equation*}
delta F=epsilon {F(x),p}
end{equation*}

另外一個例子：如果系統具有時間平移不變性，哈密頓量守恒。在時間平移操作下，物理量的改變量是多少？你已經猜到了——該物理量與(H)的泊松括號。

我們下面看看泊松括號與守恒量之間的這一聯系是否具有一般性。令(G(q,p))為系統的生成元，生成相空間各點的微小位移，生成元定義如下：

egin{equation}
egin{split}
&delta q_i= {q_i,G} \
&delta p_i= {p_i,G}
end{split}
label{eq25}
end{equation}

其中(delta q_i,delta p_i)為相空間各點平移量。

(G)產生的變換可能是系統的一個對稱操作，也可能不是。什么意思？意思是不管你從何處開始，(G)產生的變換都不會改變系統的能量。換言之，如果在(G)產生的變換下(delta H=0)，我們稱此變換為一種對稱操作，即變換為對稱操作的條件是：

egin{equation}
{H,G}=0
label{eq26}
end{equation}

方程eqref{eq26}還有另一種解讀。改變泊松括號中的兩個函數的次序只會改變結果的符號，那么方程eqref{eq26}還可寫為：

egin{equation}
{G,H}=0
label{eq27}
end{equation}

這正是(G) 為守恒量的條件。我們可以說：告訴我們在(G)產生的變換下(H)如何變化的泊松括號同時告訴我們(G)如何隨時間變化。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的理论物理极础10：泊松括号，角动量和对称性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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