前言

分類說明

求函數的值域問題時，可以用(omega x+phi)作為橫軸，快速做圖像來計算；此時比用(x)軸做圖像計算快的多；

例1求函數(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1，xin[0，cfrac{pi}{2}])的值域。

法1：橫軸為(x)，如圖1所示，利用圖像的變換得到函數(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1，xin[0，cfrac{pi}{2}])的圖像，

由圖像可以看出來，當(x=cfrac{pi}{2})時，函數(f(x)_{min}=2sin(2 imescfrac{pi}{2}+cfrac{pi}{6})+1=0)，

當(x=cfrac{pi}{6})時，函數(f(x)_{max}=2sin(2 imescfrac{pi}{6}+cfrac{pi}{6})+1=3)，

故函數的值域為([0，3])。

法2，整體代換，如圖2所示，橫軸為(2x+cfrac{pi}{6}=X)，由(0leq xleq cfrac{pi}{2})，

故(cfrac{pi}{6}leq 2x+cfrac{pi}{6}leq cfrac{7pi}{6})，則(-cfrac{1}{2}leq sin(2x+cfrac{pi}{6})leq 1)，

則(0leq 2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1leq 3)，故(0leq yleq 3)。

反思總結：

1、從作圖角度講，圖2的做法由于使用了整體代換，作圖過程簡單明了，思路清晰，截取快捷，故常用圖2的方法來做三角函數的圖像。

2、用圖2的方法也可以求解函數的單調區間。比如，對函數(y=2sinX+1)而言，在(Xin [cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{2}])上單調遞增，即(2x+cfrac{pi}{6}in [cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{2}])上單調遞增，解得(xin [0，cfrac{pi}{6}])，即函數(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)在區間([0，cfrac{pi}{6}])上單調遞增，和圖1的單調遞增區間是一樣的。

求限定區間上的三角函數的單調性；

例2【2016(cdot)天津高考】已知函數(f(x)=4tanxcdot sin(cfrac{pi}{2}-x)cdot cos(x-cfrac{pi}{3})-sqrt{3})，

(1).求函數的定義域；

分析：由函數解析式可知，需要讓(tanx)有意義，故定義域為({xmid x
eq kpi+cfrac{pi}{2}，kin Z})

(2).試討論(f(x))在區間([-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{4}])上的單調性。

分析：先將所給函數化簡為正弦型或者余弦型，

(f(x)=4tanxcdot cosx(cosxcdot cfrac{1}{2}+sinxcdot cfrac{sqrt{3}}{2})-sqrt{3})

(=4sinx(cosxcdot cfrac{1}{2}+sinxcdot cfrac{sqrt{3}}{2})-sqrt{3})

(=2sinxcosx+2sqrt{3}sin^2x-sqrt{3})

(=sin2x+sqrt{3}(1-cos2x)-sqrt{3})

(=sin2x-sqrt{3}cos2x)

(=2sin(2x-cfrac{pi}{3}))

法1：先求解函數在(xin R)上的單調區間，

令(2kpi-cfrac{pi}{2}< 2x-cfrac{pi}{3}< 2kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，

得到單調遞增區間為((kpi-cfrac{pi}{12}，kpi+cfrac{5pi}{12})(kin Z))，

然后給(k)賦值，令(k=0)，又因為(xin [-cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{4}])，

[說明：求得的單調遞增區間和給定區間求交集，即為所求的單調遞增區間；剩余的即為單調遞減區間]

得到函數在區間((-cfrac{pi}{12}，cfrac{pi}{4}])上單調遞增，在區間([-cfrac{pi}{4}，-cfrac{pi}{12}))上單調遞減。

法2：由(-cfrac{pi}{4}leq xleq cfrac{pi}{4})，求得(-cfrac{5pi}{6}leq 2x-cfrac{pi}{3}leq cfrac{pi}{6})，結合橫軸為(2x-cfrac{pi}{3})的圖像可知，

當(-cfrac{5pi}{6}leq 2x-cfrac{pi}{3}< -cfrac{pi}{2})時，求得函數在區間([-cfrac{pi}{4}，-cfrac{pi}{12}))單調遞減；

當(-cfrac{pi}{2}< 2x-cfrac{pi}{3}leq cfrac{pi}{6})時，求得函數在區間((-cfrac{pi}{12}，cfrac{pi}{4}])單調遞增；

導函數中含有三角函數且(omega=1)時，盡可能以(x)為橫軸，快速作圖并平移；若(omega
eq 1)時，仿上例完成即可；

例1【2020屆高三模擬訓練】若關于(x)的方程(cfrac{me^x}{2}-sin x=0)在([-pi,-cfrac{pi}{2}])上有(2)個零點，則實數(m)的取值范圍是【】

$A.(-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}}，0)$ $B.(-sqrt{2}e^{frac{pi}{4}}，-2e^{frac{pi}{2}}]$ $C.(-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}}，-2e^{frac{pi}{2}}]$ $D.(-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}}，-2e^{frac{pi}{2}})$

分析：由于(cfrac{me^x}{2}-sin x=0)，故(m=cfrac{2sin x}{e^x})，令(f(x)=cfrac{2sin x}{e^x})，則(f'(x)=cfrac{2sqrt{2}cos(x+cfrac{pi}{4})}{e^x})，

接下來可以從數的角度，通過解(f'(x)>0)和(f'(x)<0)求得單調區間，此處從略；

也可以從形的角度直接解讀單調區間，以下重點說明如何從形的角度直接解讀單調區間；

由于(e^x>0)，故主要借助函數(y=cos(x+cfrac{pi}{4}))，(xin [-pi,-cfrac{pi}{2}])，

可以先做出(y=cos x)的圖像，再通過平移得到(y=cos(x+cfrac{pi}{4}))，(xin [-pi,-cfrac{pi}{2}])的圖像，

可知當(xin [-pi,-cfrac{3pi}{4}))，(f'(x)<0)，當(xin (-cfrac{3pi}{4}，-cfrac{pi}{2}])時，(f'(x)>0)，

故函數(f(x))在區間([-pi,-cfrac{3pi}{4}))單調遞減，在區間(xin (-cfrac{3pi}{4}，-cfrac{pi}{2}])單調遞增，

又(f(-pi)=0)，(f(-cfrac{3pi}{4})=-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}})，(f(-cfrac{pi}{2})=-2e^{frac{pi}{2}})，

做出函數的大致圖像，由圖像可知，(y=m)和(y=f(x))的圖像要有兩個交點，

則(min (-sqrt{2}e^{frac{3pi}{4}}，-2e^{frac{pi}{2}}])，故選(C)；

總結

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