若 $u$ 和 $v$ 是非負實數，$p$ 和 $q$ 是正實數且滿足 $p,q > 1$ 且$frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1$，則下列不等式成立：

$$uv leq frac{1}{p}u^{p} + frac{1}{q}v^{q}$$

證明：

考慮函數 $f(x) = x^{p - 1}$，由于 $p > 1$，所以 $p - 1 > 0$，畫出它圖形的一種情形

很明顯，矩形的面積會小于等于陰影部分 $S_{1} + S_{2}$ 的面積，雖然只畫了一種圖形，其余情形都類似，其中

$S_{1}$：曲線 $y = f(x),x = 0,x = u,x$ 軸圍成區域的面積。

$S_{2}$：曲線 $y = f(x),y = 0,y = v,y$ 軸圍成區域的面積。

于是

$$uv leq int_{0}^{u}x^{p-1}dx + int_{0}^{v}y^{frac{1}{p-1}}dy = frac{u^{p}}{p} + frac{p-1}{p}v^{frac{p}{p-1}} = frac{u^{p}}{p} + frac{v^{q}}{q}$$

證畢

總結

以上是生活随笔為你收集整理的杨氏(Young)不等式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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