墨卡托投影、地理坐标系、地面分辨率、地图比例尺
GIS理論（墨卡托投影、地理坐標(biāo)系、地面分辨率、地圖比例尺、Bing Maps Tile System）
墨卡托投影（Mercator Projection），又名“等角正軸圓柱投影”，荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（Mercator）在1569年擬定，假設(shè)地球被圍在一個(gè)中空的圓柱里，其赤道與圓柱相接觸，然后再假想地
球中心有一盞燈，把球面上的圖形投影到圓柱體上，再把圓柱體展開，這就是一幅標(biāo)準(zhǔn)緯線為零度（即赤道）的“墨卡托投影”繪制出的世界地圖。
一、墨卡托投影坐標(biāo)系（Mercator Projection）
墨卡托投影以整個(gè)世界范圍，赤道作為標(biāo)準(zhǔn)緯線，本初子午線作為中央經(jīng)線，兩者交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東向北為正，向西向南為負(fù)。南北極在地圖的正下、上方，而東西方向處于地圖的正右、左。
由于Mercator Projection在兩極附近是趨于無(wú)限值得，因此它并沒(méi)完整展現(xiàn)了整個(gè)世界，地圖上最高緯度是85.05度。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們采用球形映射，而不是橢球體形狀。雖然采用Mercator Projection只是為了方便展示地圖，需要知道的是，這種映射會(huì)給Y軸方向帶來(lái)0.33%的誤差。
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earthRadius =6378137
20037508.3427892 = earthRadius * (math.pi - 0)
85.05112877980659 = (math.atan(math.exp(aa / earthRadius))-math.pi/4)*2 * 180 / math.pi
image = 512 * 512
groundResolution(1 level) = (20037508.3427892 * 2) / 512 = 78271.516964
screendpi = 96
mapScale = groundResolution * 96 / 0.0254 = 295829355.455
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由于赤道半徑為6378137米，則赤道周長(zhǎng)為2*PI*r = 20037508.3427892，因此X軸的取值范圍：[-20037508.3427892,20037508.3427892]。當(dāng)緯度φ接近兩極，即90°時(shí)，Y值趨向于無(wú)窮。因此通常把Y軸的取值范圍也限定在[-20037508.3427892,20037508.3427892]之間。因此在墨卡托投影坐標(biāo)系（米）下的坐標(biāo)范圍是：最小為(-20037508.3427892, -20037508.3427892 )到最大 坐標(biāo)為(20037508.3427892, 20037508.3427892)。
二、地理坐標(biāo)系（Geographical coordinates）
地理經(jīng)度的取值范圍是[-180,180]，緯度不可能到達(dá)90°，通過(guò)緯度取值范圍為[20037508.3427892,20037508.3427892]反計(jì)算可得到緯度值為85.05112877980659。因此緯度取值范圍是[-85.05112877980659，85.05112877980659]。因此，地理坐標(biāo)系（經(jīng)緯度）對(duì)應(yīng)的范圍是：最小地理坐標(biāo)(-180,-85.05112877980659)，最大地理坐標(biāo)(180, 85.05112877980659)。
三、地面分辨率（Ground Resolution）
地面分辨率是以一個(gè)像素(pixel)代表的地面尺寸(米)。以微軟Bing Maps為例，當(dāng)Level為1時(shí)，圖片大小為512*512（4個(gè)Tile），那么赤道空間分辨率為：赤道周長(zhǎng)/512。其他緯度的空間分辨率則為 緯度圈長(zhǎng)度/512，極端的北極則為0。Level為2時(shí)，赤道的空間分辨率為 赤道周長(zhǎng)/1024，其他緯度為 緯度圈長(zhǎng)度1024。很明顯，Ground Resolution取決于兩個(gè)參數(shù)，縮放級(jí)別Level和緯度latitude ，Level決定像素的多少，latitude決定地面距離的長(zhǎng)短。
地面分辨率的公式為，單位：米/像素：
ground resolution = (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters) / (256 * 2level pixels)
最低地圖放大級(jí)別（1級(jí)），地圖是512 x 512像素。每下一個(gè)放大級(jí)別，地圖的高度和寬度分別乘于2：2級(jí)是1024 x 1024像素，3級(jí)是2048 x 2048像素，4級(jí)是4096 x 4096像素，等等。通常而言，地圖的寬度和高度可以由以下式子計(jì)算得到：map width = map height = 256 * 2^level pixels
四、地圖比例尺（Map Scale）
地圖比例尺是指測(cè)量相同目標(biāo)時(shí)，地圖上距離與實(shí)際距離的比例。通過(guò)地圖分辨率在計(jì)算可知由Level可得到圖片的像素大小，那么需要把其轉(zhuǎn)換為以米為單位的距離，涉及到DPI（dot per inch），暫時(shí)可理解為類似的PPI（pixel per inch），即每英寸代表多少個(gè)像素。256 * 2level / DPI 即得到相應(yīng)的英寸inch，再把英寸inch除以0.0254轉(zhuǎn)換為米。實(shí)地距離仍舊是：cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters; 因此比例尺的公式為：
map scale = 256 * 2level / screen dpi / 0.0254 / (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137)
比例尺= 1 : (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 * screen dpi) / (256 * 2level * 0.0254)
地面分辨率和地圖比例尺之間的關(guān)系：
map scale = 1 : ground resolution * screen dpi / 0.0254 meters/inch
|
縮放級(jí)別 |
地圖寬度、高度(像素) |
地面分辨率(米/像素) |
地圖比例尺(以96dpi為例) |
|
1 |
512 |
78,271.5170 |
1 : 295,829,355.45 |
|
2 |
1,024 |
39,135.7585 |
1 : 147,914,677.73 |
|
3 |
2,048 |
19,567.8792 |
1 : 73,957,338.86 |
|
4 |
4,096 |
9,783.9396 |
1 : 36,978,669.43 |
|
5 |
8,192 |
4,891.9698 |
1 : 18,489,334.72 |
|
6 |
16,384 |
2,445.9849 |
1 : 9,244,667.36 |
|
7 |
32,768 |
1,222.9925 |
1 : 4,622,333.68 |
|
8 |
65,536 |
611.4962 |
1 : 2,311,166.84 |
|
9 |
131,072 |
305.7481 |
1 : 1,155,583.42 |
|
10 |
262,144 |
152.8741 |
1 : 577,791.71 |
|
11 |
524,288 |
76.4370 |
1 : 288,895.85 |
|
12 |
1,048,576 |
38.2185 |
1 : 144,447.93 |
|
13 |
2,097,152 |
19.1093 |
1 : 72,223.96 |
|
14 |
4,194,304 |
9.5546 |
1 : 36,111.98 |
|
15 |
8,388,608 |
4.7773 |
1 : 18,055.99 |
|
16 |
16,777,216 |
2.3887 |
1 : 9,028.00 |
|
17 |
33,554,432 |
1.1943 |
1 : 4,514.00 |
|
18 |
67,108,864 |
0.5972 |
1 : 2,257.00 |
|
19 |
134,217,728 |
0.2986 |
1 : 1,128.50 |
|
20 |
268,435,456 |
0.1493 |
1 : 564.25 |
|
21 |
536,870,912 |
0.0746 |
1 : 282.12 |
|
22 |
1,073,741,824 |
0.0373 |
1 : 141.06 |
|
23 |
2,147,483,648 |
0.0187 |
1 : 70.53 |
五、Bing Maps像素坐標(biāo)系和地圖圖片編碼
為了優(yōu)化地圖系統(tǒng)性能，提高地圖下載和顯示速度，所有地圖都被分割成256 x 256像素大小的正方形小塊。由于在每個(gè)放大級(jí)別下的像素?cái)?shù)量都不一樣，因此地圖圖片（Tile）的數(shù)量也不一樣。每個(gè)tile都有一個(gè)XY坐標(biāo)值，從左上角的(0, 0)至右下角的(2^level–1, 2^level–1)。例如在3級(jí)放大級(jí)別下，所有tile的坐標(biāo)值范圍為(0, 0)至(7, 7)，如下圖：
已知一個(gè)像素的XY坐標(biāo)值時(shí)，我們很容易得到這個(gè)像素所在的Tile的XY坐標(biāo)值：
tileX = floor(pixelX / 256) tileY = floor(pixelY / 256)
為了簡(jiǎn)化索引和存儲(chǔ)地圖圖片，每個(gè)tile的二維XY值被轉(zhuǎn)換成一維字串，即四叉樹鍵值（quardtree key，簡(jiǎn)稱quadkey）。每個(gè)quadkey獨(dú)立對(duì)應(yīng)某個(gè)放大級(jí)別下的一個(gè)tile，并且它可以被用作數(shù)據(jù)庫(kù)中B-tree索引值。為了將坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換成quadkey，需要將Y和X坐標(biāo)二進(jìn)制值交錯(cuò)組合，并轉(zhuǎn)換成4進(jìn)制值及對(duì)應(yīng)的字符串。例如，假設(shè)在放大級(jí)別為3時(shí)，tile的XY坐標(biāo)值為（3，5），quadkey計(jì)算如下:
tileX = 3 = 011（二進(jìn)制）
tileY = 5 = 101（二進(jìn)制）
quadkey = 100111（二進(jìn)制） = 213（四進(jìn)制） = “213”
Quadkey還有其他一些有意思的特性。第一，quadkey的長(zhǎng)度等于該tile所對(duì)應(yīng)的放大級(jí)別；第二，每個(gè)tile的quadkey的前幾位和其父tile（上一放大級(jí)別所對(duì)應(yīng)的tile）的quadkey相同，下圖中，tile 2是tile 20至23的父tile，tile 13是tile 130至133的父級(jí)：
最后，quadkey提供的一維索引值通常顯示了兩個(gè)tile在XY坐標(biāo)系中的相似性。換句話說(shuō)，兩個(gè)相鄰的tile對(duì)應(yīng)的quadkey非常接近。這對(duì)于優(yōu)化數(shù)據(jù)庫(kù)的性能非常重要，因?yàn)橄噜彽膖ile通常被同時(shí)請(qǐng)求顯示，因此可以將這些tile存放在相同的磁盤區(qū)域中，以減少磁盤的讀取次數(shù)。
下面是微軟Bing Maps的TileSystem相關(guān)算法：
using System;
using System.Text;
namespace Microsoft.MapPoint
{
static class TileSystem
{
private const double EarthRadius = 6378137;
private const double MinLatitude = -85.05112878;
private const double MaxLatitude = 85.05112878;
private const double MinLongitude = -180;
private const double MaxLongitude = 180;
/// <summary>
/// Clips a number to the specified minimum and maximum values.
/// </summary>
/// <param name="n">The number to clip.</param>
/// <param name="minValue">Minimum allowable value.</param>
/// <param name="maxValue">Maximum allowable value.</param>
/// <returns>The clipped value.</returns>
private static double Clip(double n, double minValue, double maxValue)
{
return Math.Min(Math.Max(n, minValue), maxValue);
}
/// <summary>
///Determines the map width and height (in pixels) at a specified level
/// of detail.
/// </summary>
/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)
/// to 23 (highest detail).</param>
/// <returns>The map width and height in pixels.</returns>
public static uint MapSize(intlevelOfDetail)
{
return (uint) 256 << levelOfDetail;
}
/// <summary>
///Determines the ground resolution (in meters per pixel) at a specified
/// latitude and level of detail.
/// </summary>
/// <param name="latitude">Latitude (in degrees) at which to measure the
/// ground resolution.</param>
/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)
/// to 23 (highest detail).</param>
/// <returns>The ground resolution, in meters per pixel.</returns>
public static double GroundResolution(double latitude, int levelOfDetail)
{
latitude = Clip(latitude, MinLatitude, MaxLatitude);
return Math.Cos(latitude * Math.PI / 180) * 2 * Math.PI * EarthRadius / MapSize(levelOfDetail);
}
/// <summary>
///Determines the map scale at a specified latitude, level of detail,
/// and screen resolution.
/// </summary>
/// <param name="latitude">Latitude (in degrees) at which to measure the
/// map scale.</param>
/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)
/// to 23 (highest detail).</param>
/// <param name="screenDpi">Resolution of the screen, in dots per inch.</param>
/// <returns>The map scale, expressed as the denominator N of the ratio 1 : N.</returns>
public static double MapScale(double latitude, int levelOfDetail, intscreenDpi)
{
return GroundResolution(latitude, levelOfDetail) * screenDpi / 0.0254;
}
/// <summary>
/// Converts a point from latitude/longitude WGS-84 coordinates (in degrees)
/// into pixel XY coordinates at a specified level of detail.
/// </summary>
/// <param name="latitude">Latitude of the point, in degrees.</param>
/// <param name="longitude">Longitude of the point, in degrees.</param>
/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)
/// to 23 (highest detail).</param>
/// <param name="pixelX">Output parameter receiving the X coordinate in pixels.</param>
/// <param name="pixelY">Output parameter receiving the Y coordinate in pixels.</param>
public static void LatLongToPixelXY(double latitude, double longitude, intlevelOfDetail, out int pixelX, out int pixelY)
{
latitude = Clip(latitude, MinLatitude, MaxLatitude);
longitude = Clip(longitude, MinLongitude, MaxLongitude);
double x = (longitude + 180) / 360;
double sinLatitude = Math.Sin(latitude * Math.PI / 180);
double y = 0.5 - Math.Log((1 + sinLatitude) / (1 - sinLatitude)) / (4 * Math.PI);
uint mapSize = MapSize(levelOfDetail);
pixelX = (int) Clip(x * mapSize + 0.5, 0, mapSize - 1);
pixelY = (int) Clip(y * mapSize + 0.5, 0, mapSize - 1);
}
/// <summary>
/// Converts a pixel from pixel XY coordinates at a specified level of detail
/// into latitude/longitude WGS-84 coordinates (in degrees).
/// </summary>
/// <param name="pixelX">X coordinate of the point, in pixels.</param>
/// <param name="pixelY">Y coordinates of the point, in pixels.</param>
/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)
/// to 23 (highest detail).</param>
/// <param name="latitude">Output parameter receiving the latitude in degrees.</param>
/// <param name="longitude">Output parameter receiving the longitude in degrees.</param>
public static void PixelXYToLatLong(int pixelX, int pixelY, intlevelOfDetail, out double latitude, out double longitude)
{
double mapSize = MapSize(levelOfDetail);
double x = (Clip(pixelX, 0, mapSize - 1) / mapSize) - 0.5;
double y = 0.5 - (Clip(pixelY, 0, mapSize - 1) / mapSize);
latitude = 90 - 360 * Math.Atan(Math.Exp(-y * 2 * Math.PI)) / Math.PI;
longitude = 360 * x;
}
/// <summary>
/// Converts pixel XY coordinates into tile XY coordinates of the tile containing
/// the specified pixel.
/// </summary>
/// <param name="pixelX">Pixel X coordinate.</param>
/// <param name="pixelY">Pixel Y coordinate.</param>
/// <param name="tileX">Output parameter receiving the tile X coordinate.</param>
/// <param name="tileY">Output parameter receiving the tile Y coordinate.</param>
public static void PixelXYToTileXY(int pixelX, int pixelY, out int tileX, out int tileY)
{
tileX = pixelX / 256;
tileY = pixelY / 256;
}
/// <summary>
/// Converts tile XY coordinates into pixel XY coordinates of the upper-left pixel
/// of the specified tile.
/// </summary>
/// <param name="tileX">Tile X coordinate.</param>
/// <param name="tileY">Tile Y coordinate.</param>
/// <param name="pixelX">Output parameter receiving the pixel X coordinate.</param>
/// <param name="pixelY">Output parameter receiving the pixel Y coordinate.</param>
public static void TileXYToPixelXY(int tileX, int tileY, out int pixelX, out int pixelY)
{
pixelX = tileX * 256;
pixelY = tileY * 256;
}
/// <summary>
/// Converts tile XY coordinates into a QuadKey at a specified level of detail.
/// </summary>
/// <param name="tileX">Tile X coordinate.</param>
/// <param name="tileY">Tile Y coordinate.</param>
/// <param name="levelOfDetail">Level of detail, from 1 (lowest detail)
/// to 23 (highest detail).</param>
/// <returns>A string containing the QuadKey.</returns>
public static string TileXYToQuadKey(int tileX, int tileY, intlevelOfDetail)
{
StringBuilder quadKey = newStringBuilder();
for (int i = levelOfDetail; i > 0; i--)
{
char digit = '0';
int mask = 1 << (i - 1);
if ((tileX & mask) != 0)
{
digit++;
}
if ((tileY & mask) != 0)
{
digit++;
digit++;
}
quadKey.Append(digit);
}
return quadKey.ToString();
}
/// <summary>
/// Converts a QuadKey into tile XY coordinates.
/// </summary>
/// <param name="quadKey">QuadKey of the tile.</param>
/// <param name="tileX">Output parameter receiving the tile X coordinate.</param>
/// <param name="tileY">Output parameter receiving the tile Y coordinate.</param>
/// <param name="levelOfDetail">Output parameter receiving the level of detail.</param>
public static void QuadKeyToTileXY(string quadKey, out int tileX, out int tileY, out intlevelOfDetail)
{
tileX = tileY = 0;
levelOfDetail = quadKey.Length;
for (int i = levelOfDetail; i > 0; i--)
{
int mask = 1 << (i - 1);
switch (quadKey[levelOfDetail - i])
{
case '0':
break;
case '1':
tileX |= mask;
break;
case '2':
tileY |= mask;
break;
case '3':
tileX |= mask;
tileY |= mask;
break;
default:
throw new ArgumentException("Invalid QuadKey digit sequence.");
}
}
}
}
}
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當(dāng)我們?cè)谟胊rcgis server 構(gòu)建切片時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在緩存生成的conf.xml中有這樣的片段：
在上述片段中<LODInfo>代表了每一級(jí)切片的信息，<LevelID>代表切片的級(jí)數(shù)。
在這里，<Scale>代表比例尺。比例尺是表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，也叫縮尺。公式為：比例尺=圖上距離/實(shí)地距離。用數(shù)字的比例式或分?jǐn)?shù)式表示比例尺的大小。例如地圖上1厘米代表實(shí)地距離500千米，可寫成：1∶50,000,000或?qū)懗桑?/50,000,000。
<Resolution>，代表分辨率。Resolution 的實(shí)際含義代表當(dāng)前地圖范圍內(nèi)，1像素代表多少地圖單位（X地圖單位/像素），地圖單位取決于數(shù)據(jù)本身的空間參考。
當(dāng)我們?cè)谶M(jìn)行Web API的開發(fā)時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到根據(jù)Resolution來(lái)縮放地圖的情況。但是實(shí)際需求中我們更需要根據(jù)Scale來(lái)縮放，因此就涉及到Scale和Resolution的轉(zhuǎn)換。
Resolution和Scale的轉(zhuǎn)換算法：
Resolution跟dpi有關(guān)，跟地圖的單位有關(guān)。（dpi代表每英寸的像素?cái)?shù)）
Resolution和Scale的轉(zhuǎn)換算法
舉例：
案例一：如果地圖的坐標(biāo)單位是米， dpi為96
1英寸= 2.54厘米；
1英寸=96像素；
最終換算的單位是米；
如果當(dāng)前地圖比例尺為1: 125000000，則代表圖上1米實(shí)地125000000米；
米和像素間的換算公式：
1英寸=0.0254米=96像素
1像素=0.0254/96 米
則根據(jù)1：125000000比例尺，圖上1像素代表實(shí)地距離是125000000*0.0254/96 = 33072.9166666667米。我們這個(gè)換算結(jié)果和切片的結(jié)果略微有0.07米的誤差。這個(gè)誤差產(chǎn)生的原因是英寸換算厘米的參數(shù)決定的，server使用的換算參數(shù)1英寸約等于0.0254000508米。
案例二：如果地理坐標(biāo)系是wgs84,地圖的單位是度，dpi為96
Server中度和米之間的換算參數(shù)：
1度約等于 111194.872221777米
接下來(lái)就需要進(jìn)行度和像素間的換算：
當(dāng)比例尺為1:64000000米時(shí)，相當(dāng)于1像素 = 64000000*0.0254000508/96 = 16933.3672米
再將米轉(zhuǎn)換為度 16933.3672/111194.872221777 = 0.1522855043731385度
因此當(dāng)?shù)貓D單位為度時(shí)，近似計(jì)算在1:64000000 對(duì)應(yīng)的Resolution為0.1522855043731385度
驗(yàn)證結(jié)果：
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double resolution = scale * 0.0254000508/96/111194.872221777;
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的墨卡托投影、地理坐标系、地面分辨率、地图比例尺的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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