普通的牛頓二項(xiàng)式定理在高中學(xué)習(xí)過的，當(dāng)乘方為正整數(shù)的時(shí)候，但是有些時(shí)候需要用到不一定是正整數(shù)的情況（比如生成函數(shù)），需要用到分?jǐn)?shù)或者負(fù)數(shù)等等，于是廣義牛頓二項(xiàng)式定理就出來了。

首先我們引入牛頓二項(xiàng)式系數(shù)${r choose n}$。

牛頓二項(xiàng)式系數(shù)定義:

設(shè)r為實(shí)數(shù)，n為整數(shù)，引入形式符號(hào)

$${r choose n}=
egin{cases}
0， & n<0\
1， & n=0\
frac{r(r-1)cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0
end{cases}$$

廣義牛頓二項(xiàng)式定理：

　　　　　　　　　　　　　　　　$(x+y)^{alpha}=sum_{n=0}^infty{alpha choose n}x^{n}y^{alpha-n}$

其中x，y，α為實(shí)數(shù)，且$midfrac{x}{y}mid<1$
證明：

證明需要用到數(shù)學(xué)分析的知識(shí)，沒學(xué)過的話，應(yīng)該看不懂2333。

令$z=frac{x}{y}$則有：

$(x+y)^{alpha}=y^{alpha}(1+z)^{alpha}，mid zmid <1$

設(shè)$f(z)=(1+z)^{alpha}$，于是有：

$f^{(n)}(z)=alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)(1+z)^{alpha -n}$

因此，當(dāng)z₀=0時(shí)，這個(gè)函數(shù)的泰勒公式（此時(shí)應(yīng)該稱為麥克勞林展開式）有如下形式：

$(1+z)^{alpha} =1+frac{alpha}{1!}z+frac{alpha (alpha -1)}{2!}z^{2}+cdots +frac{alpha (alpha -1)cdots (alpha -n+1)}{n!}z^{n}+r_n(0;z)$

也就是：

$(1+z)^{alpha}=1+{alpha choose 1}z+{alpha choose 2}z^{2}+cdots +{alpha choose n}z^{n}+r_n(0;z)$

將余項(xiàng)使用柯西公式得：

$r_n(0;z)=frac{alpha (alpha -1)cdots (alpha -n)}{n!}(1+ξ)^{alpha -n}(z-ξ)^{n}z$

其中ξ介于0到z之間.

將余項(xiàng)變形一下可得:

$r_n(0;z)=alpha (1-frac{alpha}{1})cdots (1-frac{alpha}{n})(1+ξ)^{alpha}(frac{z-ξ}{1+ξ})^{n}z$

因?yàn)楫?dāng)$mid zmid <1$的時(shí)候，從ξ在0和z之間這個(gè)條件可以推出:

$mid frac{z-ξ}{1+ξ}mid =frac{mid zmid -mid ξmid}{mid 1+ξmid}leq frac{mid zmid -midξmid}{1-mid ξmid}=1-frac{1-mid zmid}{1-mid ξmid}leq 1-(1-mid zmid)=mid zmid$

于是$mid r_n(0;z)mid leqmidalpha (1-frac{alpha}{1})cdots (1-frac{alpha}{n})mid (1+ξ)^{alpha}mid zmid ^{n+1}$

因?yàn)?mid r_{n+1}(0;z)midleqmid r_n(0;z)mid imes mid (1-frac{alpha}{n+1})zmid$又因?yàn)?mid zmid <1$，所以，如果$mid zmid <q<1$，則不管$alpha$值如何，對(duì)于足夠大的n將有$mid (1-frac{alpha}{n+1})zmid <q<1$，這就是說當(dāng)$nightarrowinfty$時(shí)，有$r_n(0;z)ightarrow 0$，由此說明當(dāng)$mid zmid <1$的時(shí)候，無窮級(jí)數(shù)$1+{alpha choose 1}z+{alpha choose 2}z^{2}+cdots +{alpha choose n}z^{n}+cdots (*)$收斂于$(1+z)^{alpha}$。

這時(shí)對(duì)于式子$y^{alpha}(1+z)^{alpha}，mid zmid <1$將左邊展開成無窮級(jí)數(shù)再將$y^alpha$乘上就得到了我們的$(x+y)^{alpha}=sum_{n=0}^infty{alpha choose n}x^{n}y^{alpha-n}$

當(dāng)$mid zmid >1$時(shí)，由達(dá)朗貝爾比值檢驗(yàn)法可以得出，只要$alpha
otinmathbb{N}$，級(jí)數(shù)(*)總是發(fā)散的。

特別地，當(dāng)$alphainmathbb{N}$時(shí)，對(duì)函數(shù)$f(z)$來說，任意高于n階的導(dǎo)數(shù)均為0，余項(xiàng)為0，直接展開就完事了，展開得到的就是高中學(xué)過的二項(xiàng)式定理。

參考資料卓里奇的《數(shù)學(xué)分析》與屈婉玲《離散數(shù)學(xué)》

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的广义牛顿二项式定理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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