1 信息熵以及引出條件熵

我們首先知道信息熵是考慮該隨機變量的所有可能取值，即所有可能發(fā)生事件所帶來的信息量的期望。公式如下：

我們的條件熵的定義是：定義為X給定條件下，Y的條件概率分布的熵對X的數(shù)學(xué)期望

這個還是比較抽象，下面我們解釋一下：

設(shè)有隨機變量（X,Y），其聯(lián)合概率分布為

條件熵H（Y|X）表示在已知隨機變量X的條件下隨機變量Y的不確定性。

隨機變量X給定的條件下隨機變量Y的條件熵H(Y|X)

通俗來講就是，知道X情況下，Y的信息量。

2 公式

下面推導(dǎo)一下條件熵的公式：

3 注意

注意，這個條件熵，不是指在給定某個數(shù)（某個變量為某個值）的情況下，另一個變量的熵是多少，變量的不確定性是多少？而是期望！

因為條件熵中X也是一個變量，意思是在一個變量X的條件下（變量X的每個值都會取），另一個變量Y熵對X的期望。

這是最容易錯的！

4 例子

下面通過例子來解釋一下：

假如我們有上面數(shù)據(jù)：

設(shè)隨機變量Y={嫁，不嫁}

我們可以統(tǒng)計出，嫁的個數(shù)為6/12 = 1/2

不嫁的個數(shù)為6/12 = 1/2

那么Y的熵，根據(jù)熵的公式來算，可以得到H（Y） = -1/2log1/2 -1/2log1/2

為了引出條件熵，我們現(xiàn)在還有一個變量X，代表長相是帥還是帥，當(dāng)長相是不帥的時候，統(tǒng)計如下紅色所示：

可以得出，當(dāng)已知不帥的條件下，滿足條件的只有4個數(shù)據(jù)了，這四個數(shù)據(jù)中，不嫁的個數(shù)為1個，占1/4

嫁的個數(shù)為3個，占3/4

那么此時的H（Y|X = 不帥） = -1/4log1/4-3/4log3/4

p(X = 不帥) = 4/12 = 1/3

同理我們可以得到：

當(dāng)已知帥的條件下，滿足條件的有8個數(shù)據(jù)了，這八個數(shù)據(jù)中，不嫁的個數(shù)為5個，占5/8

嫁的個數(shù)為3個，占3/8

那么此時的H（Y|X = 帥） = -5/8log5/8-3/8log3/8

p(X = 帥) = 8/12 = 2/3

5 計算結(jié)果

有了上面的鋪墊之后，我們終于可以計算我們的條件熵了，我們現(xiàn)在需要求：

H（Y|X = 長相）

也就是說，我們想要求出當(dāng)已知長相的條件下的條件熵。

根據(jù)公式我們可以知道，長相可以取帥與不帥倆種

條件熵是另一個變量Y熵對X（條件）的期望。

公式為：

H（Y|X=長相） = p(X =帥)*H（Y|X=帥）+p(X =不帥)*H（Y|X=不帥）

然后將上面已經(jīng)求得的答案帶入即可求出條件熵！

這里比較容易錯誤就是忽略了X也是可以取多個值，然后對其求期望！！

6 總結(jié)

其實條件熵意思是按一個新的變量的每個值對原變量進行分類，比如上面這個題把嫁與不嫁按帥，不帥分成了倆類。

然后在每一個小類里面，都計算一個小熵，然后每一個小熵乘以各個類別的概率，然后求和。

我們用另一個變量對原變量分類后，原變量的不確定性就會減小了，因為新增了Y的信息，可以感受一下。不確定程度減少了多少就是信息的增益。

原文 知乎專欄：https://zhuanlan.zhihu.com/p/26551798　　

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的条件熵的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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