置換群（本蒟蒻瞎BB的）（未完）

群的定義

給定一個集合(G={a, b, c...})和集合(G)上的二元運算*，并滿足：

封閉性：(forall a, b in G, exists c in G, a*b=c)。也就是集合里的元素怎么亂搞都只能搞出來集合里的東西。

結合律：(forall a, b, c in G, (a*b)*c=a*(b*c))。注意不一定滿足交換律喲。

單位元：(exists e in G, forall a in G, a*e=e*a=a)。也就是說存在一個元素e，任意一個元素和它運算得到它本身。其中e叫做單位元。

逆元：(forall a in G, exists b in G, a*b=b*a=e)，記(b=a^{-1})。也就是說對于任何一個元素，都有另一個元素和它運算得到單位元。由于不一定有交換律，所以還有左右逆元之分。然而在群中左逆元=右逆元。

證明：(forall x in G,exists a in G, ax=e)，即a是X的左逆元。

顯然(exists b in G,ba=e)。也就是說b是a的左逆元。

那么(xa=(ba)(xa)=b(ax)a=ba=e)（結合律），也就是說a也是x的右逆元。

則稱集合G在運算“*”上是一個群，簡稱G是群。一般a*b簡寫成ab，*可以是任意運算。若G中的元素個數是有限的，則稱G為有限群，否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。

群的運算

對于(g in G)，對于G的子集H，定義(g*H={gh mid hin H})，即g對H中的每一個元素運算而生成的集合，簡寫為gH。同理，H*G簡寫為Hg，有毒。

對于G的子集A，B，定義(A*B={ab mid a in A,b in B})

對于G的子集H，記(H^{-1}={h^{-1} mid h in H})。也就是H的逆就是H中所有元素的逆組成的集合。

定理1：在具有封閉性，結合律，單位元和逆元的二元組(G，*)里，消去律存在

消去律的定義：對于群中的消去律來說，它的定義是x=y與xa=ya互為充要條件。也就是說等式兩邊可以同時消掉一個相同的量。

證明很簡單，只需要在xa=ya兩邊同時乘以(a^{-1})即可。

定理2：若(G，*)滿足封閉性，結合律，單位元和消去律，則對于任一(g in G)，gG=Gg=G

簡單來說，這個定理的意思是，挑出集合中的一個元素，和集合內所有的元素都搞一遍，搞出來的還是原來那個集合。

證明：根據封閉性，(gG subseteq G)。并且根據定理1的消去律，在gG中不會出現類似于(xa=ya (x, yin gG))這樣的情況（不然違背集合的不重復性），所以(|gG|=|G|)。因此，(gG=G)。同理可證得(Gg=G)。

定理3：在具有封閉性，結合律，單位元和消去律的二元組(G，*)里，逆元存在

證明：任意取一個G中的元素g，由于gG=G，所以gG中一定含有單位元e。這表明，G中有一個元素，和g運算得到e。所以G中任意元素的逆元都存在。

定理4：若(G, *)是群，H是G的非空子集，并且(H, *)也是群，那么稱H為G的子群。

根據定理4可以判斷子集是否為一個子群：

(HH=H)。如果這個條件滿足，說明滿足了封閉性。
(H^{-1}=H)，即H中的每一個元素都有逆元，并且H中有單位元，因為只有單位元的逆元是單位元。

同時，因為H是G的子集，結合律也是滿足的，所以H也是群，稱為G的子群。

置換

置換的定義

設M是一個非空的有限集合，元素個數為n，M的一個一對一變換稱為一個n元置換。如果把M的元素從1到n編號，那么置換(sigma)可以看作一個1到n的排列。

設(M={a_1, a_2, ..., a_n})，則M的置換(sigma)可簡記為：(sigma = egin{pmatrix} a_1 & a_2...a_n\b_1 & b_2...b_n end{pmatrix})，(b_i=sigma(a_i))。考慮一下重排列的個數，易得M的置換有(n!)個。若(sigma(a_i)=a_i)，則(sigma)為n元恒等置換。(S_n)表示所有n元置換的集合。

舉個栗子：(egin{pmatrix} 1,2,3,4 \ 3,1,2,4 \ end{pmatrix})，意思是原來在第一位上的元素要跑到第三位去，第二位上的元素要跑到第一位去……以此類推。在這個置換下，1234經過置換就變成了3124，再置換就變成了2314。容易發現置換的列隨意調動，置換本身的含義并不變（第i號元素該跑到哪還是跑到哪），所以一般第一行就是123……n。

如果把(a_i)寫成數列，畫上(a_i)向(b_i)的箭頭，那么置換就成了一個圖。n元置換(sigma)對應的圖形表達式是(G_sigma=sum^n_{i=1}a_iz_i)。(z_i)表示長度為i的圈，(a_i)表示如此的(z_i)的個數。顯然有這樣的等式：(a_1+2a_2+...+ra_n=n)。

當n相等時，置換是可以運算的，稱為置換的連接。規則如下：(egin{pmatrix} 1,2,3,...,n \ a_1,a_2,a_3,...,a_n \ end{pmatrix} egin{pmatrix} a_1,a_2,a_3,...,a_n \ b_1,b_2,b_3,...,b_n \ end{pmatrix} =egin{pmatrix} 1,2,3,...,n \ b_1,b_2,b_3,...,b_n \ end{pmatrix})

無論置換怎樣搞來搞去，一定都在(S_n)，這是封閉性中。顯然置換的運算是滿足結合律（置換同屬(S_n)）的（試著從單個元素的變化去考慮），然而不滿足交換律。同時，(S_n)中有單位元，也就是n元恒等置換。任意一個置換在(S_n)中都有逆元素，這個逆元素就是原置換兩行調換后的置換。

所以在(S_n)中，置換的運算滿足封閉性，結合律，同時單位元和逆元存在。那它，它就是個群啊！

置換群

n元置換的群體作成的集合(S_n)對置換的連接作成一個群，稱為n次對稱群（任意子群稱作n次置換群）。

輪換

設(sigma)是M的置換，若可取到M的元素(a_1,a_2...,a_r)，使得(sigma (a_1)=a2,sigma (a_2)=a_3...sigma (a_{r-1})=a_r, sigma (a_r)=a_1)，而M的其余元素不變，則稱(sigma)為一個輪換，記為((a_1 a_2 ... a_r))。相當于(egin{pmatrix} a_1 & a_2 ...a_{n-1} & a_n \ a_2 & a_3 ... a_n & a_1end{pmatrix})。可以把輪換的任意元素(a_i)排在頭一位而改寫成((a_i a_{i+1} ... a_r a_1 ... a_{i-1} ))。說白了就是每個元素跑到下一個元素代表的位置去。

有結論：((a_1 a_2 ... a_r)^{-1}=(a_r ... a_2 a_1))。結合置換去想就容易得出了。

不相雜輪換

兩個輪換不相雜，意思是兩個輪換中的元素沒有相同的，也就是說互不干擾。由于互不干擾，不相雜輪換的運算顯然是有結合律的。

有一個很重要的定理：任意置換(sigma)可以寫成不相雜輪換的連接。如果不考慮乘積的順序，則寫法是唯一的。例如：(egin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \ 3 & 1 & 5 & 4 & 2 & 8 & 7 & 6 end{pmatrix}=(1 3 5 2)(4)(6 8)(7)=(3 5 2 1)(7)(8 6)(4))。去掉單輪換也就是輪換表法的省略形式：((1 3 5 2)(6 8))。

為什么置換一定能寫成輪換的連接呢？隨便挑一個沒有被選過的元素(a_1),找到它的置換(sigma(a_1)=a_2)，再找到(sigma(a_2)=a_3)……以此類推。由于n是有限的，總會回到(a_1)。因此這就是一個輪換。同理，再選擇新的元素，要么屬于原來的輪換。要么和原來的輪換沒有交集。所以置換能寫成多個輪換的連接。同時這個連接只有一種（顯然法）。

對換

輪換的長度，表示輪換的元素集合中所含的元素個數。對換即是長度為2的輪換。由于((a_1 a_2...a_r)=(a_1 a_r)(a_1 a_{r-1})...(a_1 a_3)(a_1 a_2))。任何輪換都可以表示成n-1個對換的連接（未必只有一種）。

置換的奇偶性

設(sigma)表示為k個不相雜輪換的乘積（包括長度為1的輪換），每個輪換長度為(r_i)因為每個長度為r的輪換都可以寫成r-1個對換的乘積。于是(sigma)可寫成(sum^k_{j=1}(r_j-1)=n-k)個對換的乘積。如果n-k是奇數，稱為奇對換，否則稱為偶對換。因此n-k稱為(sigma)的定性數。奇置換可表為奇數個對換之積，偶置換可表為偶數個對換之積。顯然，奇偶對換的運算性質和奇偶數的加法運算是一樣的。

設M的元數為n，若(n>1)，則奇置換的個數和偶置換的個數相等，都為(frac{n!}{2})。這可以用群的封閉性和消去律證明。

陪集

設H是群G的子群，對于G中的元素a，({ah mid h in H})表示H的一個左陪集，記作aH。({ha mid h in H})表示H的一個右陪集，記作Ha。簡單來說，H中所有元素和a運算組成H的陪集。注意a不一定要在H中，在G中即可！下面是一些關于陪集的定理。不需要用到關于置換的內容。

定理1：H的任意陪集的大小相等，等于|H|。

這個定理的證明很簡單，由于消去律和集合的不可重性可證。

定理2：(a in aH)且(a in Ha)

由于H是群，其中必有單位元e，(ae=e)。

定理3：(a in H)和(aH=H)，(Ha=H)互為充要條件

(a in H)是(aH=H)的充分條件，由群的運算中的定理二可得。

(aH=H)是(a in H)的充分條件，由陪集中的定理二即可得。右陪集同理。

定理4：(b in aH)和(bH=aH)互為充要條件（證明需要緊抓H是群的條件）（右陪集同理）

(bH=aH)是(b in aH)的充分條件，由性質二，即(b in bH)可得。右陪集同理

(b in aH)是(bH=aH)的充分條件，原因是b可以被寫成(ax (x in H))的形式。由于H是群，(bH=axH=aH)。右陪集同理。

定理5：(aH cap bH
e emptyset)能推出(aH=bH)（右陪集同理）

設(c in aH cap bH)，由定理4得(cH=aH=bH)。通過這個可以得出結論：對于G得子群H，H的兩個同向陪集要么相等，要么不相交。

定理6：(cup_{x in G}xH=G)（右陪集同理）

因為(e in H)，所以枚舉所有的(x in G)，得出的陪集并起來一定包含于G。同時由于封閉性等于G。

拉格朗日定理

若H是有限群G的子群，那么(|X|)整除(|G|)。

由定理5可知，H的陪集之間要么相等要么不相交。由性質6可知，H所有陪集的并等于G。由于H的陪集大小等于H，我們把H的不重合的陪集，想象成若干條不相交的線段，覆蓋在G上。因此，G就被劃分為了大小相等的若干段。因此這個定理就得證了。

插一句，考慮有限群G，(ain G)，元素的冪表示為(a^k=eprod_{i=1}^ka)。使得(a^d=e)的最小正整數d稱為a的階，記作(d=ord(a))。由于G為有限群，ord(a)一定存在。考慮由a的冪生成的集合：(S={a^k|kin Z})，顯然S為G的子群。那么根據拉格朗日定理，我們可以證出一個神奇的東西——(|S|=ord(a)mid |G|)。它對關于原根的證明是有用的。

軌道-穩定集定理

軌道與等價類

集合(k)對置換群G中的所有元素運算構成的集合叫做(k)的軌道，記作(E_k)。我們也稱(E_k)為包括(k)的等價類。說白了，一個集合和一個置換群搞出來的東西組成的集合，就叫做那個集合的軌道，也叫做包括原來集合的等價類。

穩定集

k是有限集X中m個元素構成的子集，置換群G中可以使k中元素不變的置換集合叫做k的一個穩定集，記為(Z_k)，說白了，使一個集合不變的（置換的簡寫輪換表示法中沒有集合中元素）置換集合叫做穩定集。在m=1時，穩定集也稱k中元素a的穩定化子。

由于(Z_k)中的置換(sigma)與k運算仍是k，(sigma_1 sigma_2)得到的結果一定也使k不變（從雙射的角度去考慮）。這滿足了封閉性。由于(ek=k)，所以單位元e存在。顯然逆元和結合律也存在。所以(Z_k)是G的一個子群。

軌道-穩定集定理

|(E_k)|*|(Z_k)|=|G|，即集合k在G上的軌道數目，乘上k在G上的穩定集數目，等于G中的置換數目。

首先，(|E_k|)是(Z_k)的不重復陪集個數（待證）。所以——由于(Z_k)的陪集大小等于(Z_k)，并且(Z_k)的不重復陪集鋪滿了G，所以(Z_k)的陪集個數×(Z_k)的陪集大小=G，(|E_k|*|Z_k|=|G|)。哈哈快看，這是最新的美國大片，陪集的性質和拉格朗日定理的思想用上了。

著色

如果要用紅藍兩色給一個正方形的四個頂點著色，若允許正方形轉動和從邊的中點翻轉，有多少種著色方法？如果用從左上角開始，順時針旋轉得到的顏色序列表示正方形的著色，如RBRR，那么它和BRRR，RRRB，RRBR是一種著色，因為它們都可以通過旋轉或翻轉得到，所以它們組成了等價類。

Burnside引理

Burnside引理可以導出在置換群G的作用下，集合X的非等價著色數。

參考資料：漫談OI中的群論入門，有關群論_置換群_等的簡單介紹，離散數學置換群課件

總結

以上是生活随笔為你收集整理的置换群（本蒟蒻瞎BB的）（未完）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。