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Some Method Are Reproduced From?evasiu。

KM算法的基本步驟

（1） 初始化可行標(biāo)桿?
（2） 用匈牙利算法尋找完備匹配?
（3） 若未找到完備匹配則修改可行標(biāo)桿?
（4） 重復(fù)（2）（3）直到找到相等子圖的完備匹配?

相關(guān)概念

◎KM算法是用于尋找?guī)?quán)二分圖最佳匹配的算法。?
◎二分圖是這樣一種圖：所有頂點(diǎn)可以分成兩個(gè)集：X和Y，其中X和Y中的任意兩個(gè)在同一個(gè)集中的點(diǎn)都不相連，而來(lái)自X集的頂點(diǎn)與來(lái)自Y集的頂點(diǎn)有連線。當(dāng)這些連線被賦于一定的權(quán)重時(shí)，這樣的二分圖便是帶權(quán)二分圖。?
◎二分圖匹配是指求出一組邊，其中的頂點(diǎn)分別在兩個(gè)集合中，且任意兩條邊都沒(méi)有相同的頂點(diǎn)，這組邊叫做二分圖的匹配，而所能得到的最大的邊的個(gè)數(shù)，叫做二分圖的最大匹配。?
<Tip> 我們也可以換個(gè)角度看二分圖的最大匹配，即二分圖的每條邊的默認(rèn)權(quán)重為1，我們求到的二分圖的最大匹配的權(quán)重最大。對(duì)于帶權(quán)二分圖，其邊有大于0的權(quán)重，找到一組匹配，使其權(quán)重最大，即為帶權(quán)二分圖的最佳匹配。?

匈牙利算法

匈牙利算法一般用于尋找二分圖的最大匹配。算法根據(jù)一定的規(guī)則選擇二分圖的邊加入匹配子圖中，其基本模式為：?

◎初始化匹配子圖為空?
◎while 找得到增廣路徑?
? ?do 把增廣路徑添加到匹配子圖中?

增廣路徑

增廣路徑的特性

◎有奇數(shù)條邊?
◎起點(diǎn)在二分圖的X邊，終點(diǎn)在二分圖的Y邊?
◎?路徑上的點(diǎn)一定是一個(gè)在X邊，一個(gè)在Y邊，交錯(cuò)出現(xiàn)
◎整條路徑上沒(méi)有重復(fù)的點(diǎn)?
◎?起點(diǎn)和終點(diǎn)都是目前還沒(méi)有配對(duì)的點(diǎn)，其他的點(diǎn)都已經(jīng)出現(xiàn)在匹配子圖中?
◎路徑上的所有第奇數(shù)條邊都是目前還沒(méi)有進(jìn)入目前的匹配子圖的邊，而所有第偶數(shù)條邊都已經(jīng)進(jìn)入目前的匹配子圖。奇數(shù)邊比偶數(shù)邊多一條邊?
◎于是當(dāng)我們把所有第奇數(shù)條邊都加到匹配子圖并把條偶數(shù)條邊都刪除，匹配數(shù)增加了1

實(shí)現(xiàn)過(guò)程

例如下圖，藍(lán)色的是當(dāng)前的匹配子圖，目前只有邊x0y0，然后通過(guò)x1找到了增廣路徑：x1y0->y0x0->x0y2?

?

其中第奇數(shù)第邊x1y0和x0y2不在當(dāng)前的匹配子圖中，而第偶數(shù)條邊x0y0在匹配子圖中，通過(guò)添加x1y0和x0y2到匹配子圖并刪除x0y0，使得匹配數(shù)由1增加到了2。每找到一條增廣路徑，通過(guò)添加刪除邊，我們總是能使匹配數(shù)加1.?

增廣路徑有兩種尋徑方法，一個(gè)是DFS，一個(gè)是BFS。例如從x2出發(fā)尋找增廣路徑，如果是深搜，x2找到y(tǒng)0匹配，但發(fā)現(xiàn)y0已經(jīng)被x1匹配了，于是就深入到x1，去為x1找新的匹配節(jié)點(diǎn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)x1沒(méi)有其他的匹配節(jié)點(diǎn)，于是匹配失敗，x2接著找y1，發(fā)現(xiàn)y1可以匹配，于是就找到了新的增廣路徑。如果是寬搜，x1找到y(tǒng)0節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，由于不能馬上得到一個(gè)合法的匹配，于是將它做為候選項(xiàng)放入隊(duì)列中，并接著找y1，由于y1已經(jīng)匹配，于是匹配成功返回了。相對(duì)來(lái)說(shuō)，深搜要容易理解些，其棧可以由遞歸過(guò)程來(lái)維護(hù)，而寬搜則需要自己維護(hù)一個(gè)隊(duì)列，并對(duì)一路過(guò)來(lái)的路線自己做標(biāo)記，實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較麻煩。?

對(duì)于帶權(quán)重的二分圖來(lái)說(shuō)，我們可以把它看成一個(gè)所有X集合的頂點(diǎn)到所有Y集合的頂點(diǎn)均有邊的二分圖（把原來(lái)沒(méi)有的邊添加入二分圖，權(quán)重為0即可），也就是說(shuō)它必定存在完備匹配（即其匹配數(shù)為min(|X|,|Y|)）。為了使權(quán)重達(dá)到最大，我們實(shí)際上是通過(guò)貪心算法來(lái)選邊，形成一個(gè)新的二分圖（我們下面叫它二分子圖好了），并在該二分圖的基礎(chǔ)上尋找最大匹配，當(dāng)該最大匹配為完備匹配時(shí)，我們可以確定該匹配為最佳匹配。（在這里我們?nèi)绱硕x最大匹配：匹配邊數(shù)最多的匹配和最佳匹配：匹配邊的權(quán)重和最大的匹配。）?

貪心算法總是將最優(yōu)的邊優(yōu)先加入二分子圖，該最優(yōu)的邊將對(duì)當(dāng)前的匹配子圖帶來(lái)最大的貢獻(xiàn)，貢獻(xiàn)的衡量是通過(guò)標(biāo)桿來(lái)實(shí)現(xiàn)的。下面我們將通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)解釋這個(gè)過(guò)程。?

有帶權(quán)二分圖：?
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算法把權(quán)重轉(zhuǎn)換成標(biāo)桿，X集跟Y集的每個(gè)頂點(diǎn)各有一個(gè)標(biāo)桿值，初始情況下權(quán)重全部放在X集上。由于每個(gè)頂點(diǎn)都將至少會(huì)有一個(gè)匹配點(diǎn)，貪心算法必然優(yōu)先選擇該頂點(diǎn)上權(quán)重最大的邊（最理想的情況下，這些邊正好沒(méi)有交點(diǎn)，于是我們自然得到了最佳匹配）。最初的二分子圖為：（可以看到初始化時(shí)X標(biāo)桿為該頂點(diǎn)上的最大權(quán)重，而Y標(biāo)桿為0）?

?
從X0找增廣路徑，找到X0Y4；從X1找不到增廣路徑，也就是說(shuō)，必須往二分子圖里邊添加新的邊，使得X1能找到它的匹配，同時(shí)使權(quán)重總和添加最大。由于X1通往Y4而Y4已經(jīng)被X0匹配，所以有兩種可能，一個(gè)是為X0找一個(gè)新的匹配點(diǎn)并把Y4讓給X1，或者是為X1找一個(gè)新的匹配點(diǎn)，現(xiàn)在我們將要看到標(biāo)桿的作用了。根據(jù)傳統(tǒng)的算法描述，能夠進(jìn)入二分子圖的邊的條件為L(zhǎng)(x)+L(y)>=weight(xy)。當(dāng)找不到增廣路徑時(shí)，對(duì)于搜索過(guò)的路徑上的XY點(diǎn)，設(shè)該路徑上的X頂點(diǎn)集為S，Y頂點(diǎn)集為T(mén)，對(duì)所有在S中的點(diǎn)xi及不在T中的點(diǎn)yj，計(jì)算d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}，從S集中的X標(biāo)桿中減去d，并將其加入到T集中的Y的標(biāo)桿中，由于S集中的X標(biāo)桿減少了，而不在T中的Y標(biāo)桿不變，相當(dāng)于這兩個(gè)集合中的L(x)+L(y)變小了，也就是，有新的邊可以加入二分子圖了。從貪心選邊的角度看，我們可以為X0選擇新的邊而拋棄原先的二分子圖中的匹配邊，也可以為X1選擇新的邊而拋棄原先的二分子圖中的匹配邊，因?yàn)槲覀儾荒芡瑫r(shí)選擇X0Y4和X1Y4，因?yàn)檫@是一個(gè)不合法匹配，這個(gè)時(shí)候，d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}的意義就在于，我們選擇一條新的邊，這條邊將被加入匹配子圖中使得匹配合法，選擇這條邊形成的匹配子圖，將比原先的匹配子圖加上這條非法邊組成的非法匹配子圖的權(quán)重和（如果它是合法的，它將是最大的）小最少，即權(quán)重最大了。好繞口的。用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)，設(shè)原先的不合法匹配（它的權(quán)重最大，因?yàn)槲覀兛偸菑臋?quán)重最大的邊找起的）的權(quán)重為W，新的合法匹配為W’，d為min{W-W’i}。在這個(gè)例子中，S={X0, X1}，Y={Y4}，求出最小值d=L(X1)+L(Y0)-weight(X1Y0)=2，得到新的二分子圖：?

?
重新為X1尋找增廣路徑，找到X1Y0，可以看到新的匹配子圖的權(quán)重為9+6=15，比原先的不合法的匹配的權(quán)重9+8=17正好少d=2。?
接下來(lái)從X2出發(fā)找不到增廣路徑，其走過(guò)的路徑如藍(lán)色的路線所示。形成的非法匹配子圖：X0Y4，X1Y0及X2Y0的權(quán)重和為22。在這條路徑上，只要為S={X0，X1，X2}中的任意一個(gè)頂點(diǎn)找到新的匹配，就可以解決這個(gè)問(wèn)題，于是又開(kāi)始求d。?
d=L(X0)+L(Y2)-weight(X0Y2)=L(X2)+L(Y1)-weight(X2Y1)=1.?

新的二分子圖為：?
?

重新為X2尋找增廣路徑，如果我們使用的是深搜，會(huì)得到路徑：X2Y0->Y0X1->X1Y4->Y4X0->X0Y2，即奇數(shù)條邊而刪除偶數(shù)條邊，新的匹配子圖中由這幾個(gè)頂點(diǎn)得到的新的權(quán)重為21；如果使用的是寬搜，會(huì)得到路徑X2Y1，另上原先的兩條匹配邊，權(quán)重為21。假設(shè)我們使用的是寬搜，得到的新的匹配子圖為：?

?
接下來(lái)依次類(lèi)推，直到為X4找到一個(gè)匹配點(diǎn)。?

KM算法的最大特點(diǎn)在于利用標(biāo)桿和權(quán)重來(lái)生成一個(gè)二分子圖，在該二分子圖上面找最大匹配，而且，當(dāng)些僅當(dāng)找到完備匹配，才能得到最佳匹配。標(biāo)桿和權(quán)重的作用在于限制新邊的加入，使得加入的新邊總是能為子圖添加匹配數(shù)，同時(shí)又令權(quán)重和得到最大的提高。

實(shí)現(xiàn)代碼

/*HDU-2255*/ #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<iostream>#define MAXN 310 #define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;int nx,ny; int g[MAXN][MAXN]; int linker[MAXN],linkx[MAXN],linky[MAXN]; int slack[MAXN]; bool visx[MAXN],visy[MAXN];bool dfs(int k) {visx[k]=true;for(int y=0;y<ny;y++){if(visy[y])continue;int tmp=linkx[k]+linky[y]-g[k][y];if(!tmp){visy[y]=true;if(linker[y]==-1||dfs(linker[y])){linker[y]=k;return true;}}else if(slack[y]>tmp)slack[y]=tmp;}return false; } int KM() {memset(linker,-1,sizeof(linker));memset(linky,0,sizeof(linky));memset(linkx,-INF,sizeof(linkx));for(int i=0;i<nx;i++){for(int j=0;j<ny;j++){if(g[i][j]>linkx[i])linkx[i]=g[i][j];}}for(int x=0;x<nx;x++){for(int i=0;i<ny;i++)slack[i]=INF;while(true){memset(visx,false,sizeof(visx));memset(visy,false,sizeof(visy));if(dfs(x)==true)break;int d=INF;for(int i=0;i<ny;i++)if(!visy[i]&&d>slack[i])d=slack[i];for(int i=0;i<nx;i++){if(visx[i])linkx[i]-=d;}for(int i=0;i<ny;i++){if(visy[i])linky[i]+=d;elseslack[i]-=d;}}}int res=0;for(int i=0;i<ny;i++)if(linker[i]!=-1)res+=g[linker[i]][i];return res; }int main() {int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)scanf("%d",&g[i][j]);nx=ny=n;printf("%d\n",KM());}return 0; }

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Time: 2017-07-05

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/SinGuLaRiTy2001/p/7123056.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[SinGuLaRiTy] KM算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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