1 集合與邏輯

\((1)\quad\)邏輯運算

或\(V\)，與\(A\)（這邊打不出來\(\and\)），異或\(\oplus\)。

\((2)\quad\)集合運算

\(\forall i \in A\)或\(i\in B\)，\(i\in A\cup B\)

\(\forall i \in A,B\)，\(i \in A\cap B\)

2 組合數學

\((1)\quad\)基礎知識

排列：\(n\)個數中取\(m\)個的排列。
\[ A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} \]
組合：\(n\)個數中取\(m\)個的組合。
\[ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

\((2)\quad\)常見模型

可重復組合：\(n\)個數中可重復的取\(m\)個。
\[ H_n^m = C_{n + m - 1}^m = \frac{(n + m - 1)!}{m!(n-1)!} \]
第二類斯特林數：\(n\)個元素劃分成\(m\)個集合。
\[ \left\{\begin{array}{} n \\ m \\ \end{array}\right\} = S(n,m) \]

\[ S(n,m) = m\cdot S(n - 1,m) + S(n - 1, m - 1) \]

特別的：
\[ S(n,n) = 1,\ S(n,0) = 0 \]

集合不同的斯特林數：\(n\)個元素，劃分到\(m\)個不同的集合\(m!\cdot S(n,m)\)

錯排：\(n\)個數的排列，其中\(n\)不在位置\(n\)上。
\[ D_n = (n - 1)(D_{n - 1} + D_{n - 2}) \]
卡特蘭數：\(1,2,5,14,42,132,429,1430,\dots\)
\[ c(n) = \frac{C_{2n}^n}{n + 1} \]
斐波那契數列：
\[ f(i) = f(i - 1) + f(i - 2) \]

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x - 1)}{f(x)} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \]

集合計數：
\[ \sum_{i = 1}^n C_n^i = 2^n - 1 \]

3 漸進式

\((1)\quad\)符號

大\(O\)符號：上界。

大\(\Theta\)符號：緊的。

大\(\Omega\)符號：下界。

\((2)\quad\) 主定理

對于遞推式\(T(n) = a\cdot T(\frac{n}{b}) + f(n)\)

若\(f(n)<n^{\log_b a}\)，\(T(n) = \Theta(n^{log_b a})\)

若\(f(n) = n^{log_b a}\)，\(T(n) = \Theta(n^{\log_b a}\log n)\)

否則，\(T(n) = \Theta\left(f(n)\right)\)

4 圖論

\((1)\quad\)平面圖

對于一個平面圖，其最大邊數為\(3\cdot |V| - 6\)。

\(s-t\)平面圖的對偶圖的最短路即為該平面圖的最小割，最大流。

\((2)\quad\)二分圖

一個圖是二分圖當且僅當該圖不含奇數條邊構成的環。

一個二分圖若有\(A\)類點\(x\)個，\(B\)類點\(y\)個，則邊數最多為\(xy\)。

二分圖最大匹配等于該二分圖的最小頂點覆蓋。

最大獨立集\(=|V|-\)最小頂點覆蓋。

轉載于:https://www.cnblogs.com/zhylj/p/9781714.html

總結

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