題目描述

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? ? 給出一個(gè)n個(gè)點(diǎn)m條邊的無(wú)向圖，n個(gè)點(diǎn)的編號(hào)從1~n，定義源點(diǎn)為1。定義最短路樹(shù)如下：從源點(diǎn)1經(jīng)過(guò)邊集T到任意一點(diǎn)i有且僅有一條路徑，且這條路徑是整個(gè)圖1到i的最短路徑，邊集T構(gòu)成最短路樹(shù)。

???給出最短路樹(shù)，求對(duì)于除了源點(diǎn)1外的每個(gè)點(diǎn)i，求最短路，要求不經(jīng)過(guò)給出的最短路樹(shù)上的1到i的路徑的最后一條邊。

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輸入

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? ?第一行包含兩個(gè)數(shù)n和m，表示圖中有n個(gè)點(diǎn)和m條邊。

???接下來(lái)m行，每行有四個(gè)數(shù)ai，bi，li，ti，表示圖中第i條邊連接ai和bi權(quán)值為li，ti為1表示這條邊是最短路樹(shù)上的邊，ti為0表示不是最短路樹(shù)上的邊。

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輸出

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輸出n-1個(gè)數(shù)，第i個(gè)數(shù)表示從1到i+1的要求的最短路。無(wú)法到達(dá)輸出-1。

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樣例輸入

5 9 3 1 3 1 1 4 2 1 2 1 6 0 2 3 4 0 5 2 3 0 3 2 2 1 5 3 1 1 3 5 2 0 4 5 4 0

樣例輸出

6 7 8 5

提示

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對(duì)于30%的數(shù)據(jù)，n≤100，m≤2000
對(duì)于100%的數(shù)據(jù)，n≤4000，m≤100000，1≤li≤100000

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分析：

考慮一個(gè)點(diǎn)的答案是怎么樣的：從$1$到$i$的答案，應(yīng)該是從$1$沿著樹(shù)邊走，然后經(jīng)過(guò)一條非樹(shù)邊走到以$i$為根的子樹(shù)中，在沿著樹(shù)邊向上走到$i$。畫(huà)圖可以證明走兩條非樹(shù)邊一定更不優(yōu)。$p[i][j]$表示$i->j$的只經(jīng)過(guò)一條兩端在$i$和$j$的子樹(shù)非樹(shù)邊最短路，$dis[i]$表示$1->i$的最短路，所以$ans[i]=min（p[x][i]+dis[x]）$，$x$是$i$子樹(shù)中的一點(diǎn)。

那么只要處理$dis[i]$和$p[i][j]$，$dis[i]$只要求樹(shù)上距離即可，$p[i][j]$的計(jì)算類(lèi)似更新答案，$dfs$過(guò)程中枚舉$1~n$個(gè)點(diǎn)，然后用用兒子節(jié)點(diǎn)更新當(dāng)前節(jié)點(diǎn)即可。

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstring> #define M 200005 #define N 4005 using namespace std; int n,m,dis[N],p[N][N],ans[N],pre[N],las[N],ind; int hd[N],to[M],nx[M],w[M],cnt; inline void add(int u,int v,int c){to[++cnt]=v;w[cnt]=c;nx[cnt]=hd[u];hd[u]=cnt; } inline void dfs1(int u,int f){pre[u]=++ind;for(int i=hd[u];i;i=nx[i]){int v=to[i];if(v!=f){dis[v]=dis[u]+w[i];dfs1(v,u);}}las[u]=ind; } inline void dfs2(int u,int f){for(int i=hd[u];i;i=nx[i]){int v=to[i];if(v!=f){dfs2(v,u);for(int j=1;j<=n;j++){if(pre[j]>=pre[u]&&las[j]<=las[u]) continue;p[u][j]=min(p[u][j],p[v][j]+w[i]);}}}for(int i=1;i<=n;i++){if(pre[i]>=pre[u]&&las[i]<=las[u]) continue;ans[u]=min(ans[u],p[u][i]+dis[i]);} } int main(){scanf("%d%d",&n,&m);memset(p,123,sizeof p);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,l,t;scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&l,&t);if(t){add(a,b,l);add(b,a,l);}else p[a][b]=p[b][a]=min(p[a][b],l);}memset(ans,123,sizeof ans);dfs1(1,0);dfs2(1,0);for(int i=2;i<=n;i++)if(ans[i]==ans[0]) puts("-1");else printf("%d\n",ans[i]);return 0; }

總結(jié)：

圖論等，尤其是圖論題。很多時(shí)候要考慮答案長(zhǎng)什么樣，什么情況下最優(yōu)，當(dāng)有了特殊性質(zhì)時(shí)，題目會(huì)更好做。

如果要證明一些性質(zhì)，可以先假設(shè)一些條件，然后用反證法。例如：假設(shè)最優(yōu)答案在(……)上，如果有更優(yōu)的答案，那么(……)就不是(……)。之類(lèi)的……

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ 3694DTOJ 1972: 最短路的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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