游戏中常用的寻路算法（6）：地图表示
在本系列文檔大部分內(nèi)容中，我都假設A*用于某種網(wǎng)格上，其中的“節(jié)點”是一個個網(wǎng)格的位置，“邊”是從某個網(wǎng)格位置出發(fā)的各個方向。然而，A*可用于任意圖形，不僅僅是網(wǎng)格，有很多種地圖表示都可以使用A*算法。
地圖表示可能對性能和路徑的質(zhì)量產(chǎn)生很大影響。
尋路算法不是線性的，而是越來越差。如果需要行進的距離翻倍了，那么會消耗超過兩倍的時間來找路徑。你可以想象尋路算法是在搜索一個類似圓的區(qū)域，當圓的直徑加倍時，區(qū)域變成原來的四倍。一般來說，在地圖表示中，節(jié)點越少，A*算法越快。而且節(jié)點越匹配角色單元將要移向的位置，路徑質(zhì)量越好。
游戲中，用于尋路的地圖表示不需要和用于其他用途的地圖表示一樣。但是采用相同的表示是一個不錯的起點，直到你發(fā)現(xiàn)需要更好的路徑或更高的性能。
網(wǎng)格（Grid）
網(wǎng)格圖將世界（world）均勻分割為小的規(guī)則圖形，這些圖形有時被稱為“圖塊（tile）”。常用的網(wǎng)格有正方形、三角形和六邊形。網(wǎng)格很簡單，也很容易了解，很多游戲都采用它來表示世界，因此本文中我重點關(guān)注網(wǎng)格。
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在《BlobCity》游戲中我采用網(wǎng)格表示，因為在每個網(wǎng)格位置，移動成本都不同。如果在一大片空間內(nèi)，移動成本都是均勻的（正如前文我舉過的例子），那么用網(wǎng)格可能就相當浪費。因為此時，A*無需一次走一步，它可以跳過一大片區(qū)域走到另一端。在網(wǎng)格上尋路，得到的也是網(wǎng)格上的路徑，可以通過后期處理，消除鋸齒狀移動。但是如果你的角色單元沒有限制必須在網(wǎng)格上移動，或者你的世界甚至不采用網(wǎng)格，那么在網(wǎng)格上尋路可能不是最好的選擇。
圖塊移動（Tile movement）
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即使在網(wǎng)格中，也可以選擇沿圖塊、邊或頂點移動。圖塊是默認選項，尤其是角色單元只能移動到圖塊中心的那些游戲。在上圖中，在A處的單元可以移到所有標B的位置。你也許還允許對角線移動，代價相同或者更高。
如果你采用網(wǎng)格尋路，但角色單元不限制僅沿網(wǎng)格移動，并且移動成本是均勻的的，那么你可能想要拉直路徑，即如果某兩個節(jié)點之間沒有障礙，可以從一個節(jié)點沿直線移動到另一個遠處的節(jié)點。
邊移動（Edge movement）
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如果角色單元可以移動到一個網(wǎng)格內(nèi)的任何一點，或者圖塊很大，就應該考慮，你的應用是否選擇邊尋路或頂點尋路更好。
一個單元通常從一個邊（一般是邊的中點）進入圖塊，并從另一個邊離開那個圖塊。圖塊尋路中，單元移到圖塊中心，但邊尋路中，單元直接從一個邊移到另一個邊。我寫了一個java applet，演示繪制邊之間的道路，可能幫助說明邊是如何使用的。
頂點移動（Vertex movement）
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網(wǎng)格圖中的障礙通常在頂點處有拐角。在障礙物周圍，最短的路徑就是要繞過這些拐角。頂點尋路中，角色單元從一個拐角移到另一個拐角。這是一種最節(jié)省開銷的移動，但是要依據(jù)角色單元的大小調(diào)整路徑。
多邊形地圖（Polygonal maps）
除了網(wǎng)格，最常用的是多邊形表示。如果一大片區(qū)域的移動成本是均勻的，并且角色單元可以沿直線移動，而不是沿網(wǎng)格移動，你可能想采用一種非網(wǎng)格的表示。在你的游戲中，即使其他東西采用網(wǎng)格，尋路也可以使用非網(wǎng)格的圖形表示。這里有個簡單的例子，是一種多邊形的地圖表示。這個例子中，角色單元需要繞過兩個障礙。
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想象在這個地圖中角色單元如何移動。最短路將在這些障礙的拐角點之間，因此我們選擇這些拐角點（紅色圓點）作為A*算法的關(guān)鍵“導航點”；每次地圖改變，就計算一次這些點。如果障礙和網(wǎng)格對齊，那么導航點和網(wǎng)格頂點對齊。此外，尋路的起點和終點應當標示在圖中；每次調(diào)用A*，都需要將這兩個點加到圖上。
除了導航點，A*需要知道哪些點是連通的。一個簡單的算法是構(gòu)建可視圖：互相可見的點對。這個簡單算法可能滿足你的需求，尤其是當游戲中地圖不常改變時。但是如果這個算法太慢，你可能需要一個更復雜的算法。另外，在圖上添加起點和終點后，對任意兩個頂點（包括起點和終點），如果兩點可見，添加一條這兩點連接而成的邊。
A*需要的第三條信息是點之間的行進時間。如果在網(wǎng)格上移動，時間就是曼哈頓距離（manhattan distance）或?qū)蔷W(wǎng)格距離（diagonal grid distance）。如果可以在導航點之間直接移動，時間就是直線距離。
接下來，A*考慮從導航點到導航點的路徑，圖中粉色線就是其中一條路徑。如果導航點很少，而網(wǎng)格位置很多，這種方法要比從網(wǎng)格點到網(wǎng)格點的尋路快得多手游賬號買號平臺。如果路上沒有障礙，A*性能非常好——起點和終點將由邊連接，無需擴展任何導航點，A*可以立即找到路徑。即使有障礙，A*也將從一個拐角點跳到另一個拐角點，直到找到最優(yōu)路徑，這將仍然比在網(wǎng)格位置間尋路要快得多。
維基百科中有更多關(guān)于機器人文學中的可視圖。
復雜性管理（Managing complexity）
上邊的例子非常簡單，圖也很合理。然而在一些有很多開放區(qū)域或長廊的地圖中，可視圖的一個弊端就顯現(xiàn)出來了。連接每對障礙拐角點的一個主要缺點是，如果有N個拐角點（頂點），則至多有N2條邊。下圖展示了這個問題：
這些額外的邊主要影響內(nèi)存使用。相比網(wǎng)格，這些邊提供一種捷徑，大大加快了尋路。雖然有算法可以刪除冗余的邊，以簡化圖形，但刪除之后仍然有很多邊。
可視圖的另一個缺陷是，每次調(diào)用A*，都要添加起點和終點，以及以它們?yōu)轫旤c的新邊，然后在找到路徑之后，刪除這些添加的東西。節(jié)點很好加，但增加邊需要考慮從這些新節(jié)點到所有已有節(jié)點的可見情況，如果地圖很大，這可能會很慢。一種優(yōu)化方案是只看附近的節(jié)點，或者也可以用簡化可視圖，刪除和兩個頂點都不相切的邊（這種邊永遠不會出現(xiàn)在最短路中）。
導航網(wǎng)（Navigation Meshes）
不用多邊形表示障礙，而是將可行區(qū)域用不重疊的多邊形表示，這也被稱為導航網(wǎng)。這些可行區(qū)域還可以附有一些信息（如“要求游泳”或“移動成本為2”）。這種表示法不需要存儲障礙。
前面的例子就變成了下圖這樣：
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我們可以像處理網(wǎng)格一樣處理這個，同樣的，可以選擇多邊形中心點、邊或頂點作為導航點。
多邊形移動（Polygon movement）
同網(wǎng)格一樣，每個多邊形的中心提供了一個合理的尋路節(jié)點集。此外，還要添加起點和終點，以及這兩個點與所在區(qū)域中心點所連成的邊。下圖中，黃色路徑是沿多邊形中心點尋路所得的路徑，粉色路徑是理想路徑。
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可視圖表示可以產(chǎn)生那條粉色理想路徑。采用導航網(wǎng)使地圖易于管理了，但是路徑的質(zhì)量受到影響。我們可以消除路徑，使其看起來更好一些。
多邊形邊移動（Polygon edge movement）
移到多邊形的中心通常是不必要的。相反，我們可以穿過相鄰多邊形的邊而移動。下面這個例子中，我選擇每條邊的中點。黃色路徑是沿邊中點尋路所得的路徑，相比理想的粉紅色路徑，是一條不錯的路徑。
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你也可以增加成本，在邊上選更多的點，來產(chǎn)生更好的路徑，
多邊形頂點移動（Polygon vertex movement）
繞過障礙的最短路徑是繞過其拐角，這也是為什么我們在可視圖表示中采用拐角點，在這里即是導航網(wǎng)的頂點：
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上圖中，路上只有一個障礙。當要繞過障礙時，黃色路徑會穿過一個頂點，粉色路徑（理想路徑）也一樣。然而，可視圖方法將直接連線起點和障礙拐角點，導航圖則要更多步。這些步驟不應該沿頂點走，因此路徑看起來不自然，有“抱墻”行為。
混合式移動（Hybrid movement）
對于多邊形的哪個部分可以用作尋路導航點，我們并沒有任何約束。你可以在一條邊上多加一些點，頂點也不錯，多邊形的中心點則基本沒用。下圖是采用了邊中點和頂點的一種混合方案：
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注意要繞過障礙，需要穿過一個頂點，但在其他地方，則可以穿過邊中點。
路徑消除（Path smoothing）
只要移動成本是固定的，路徑消除相當容易。算法很簡單：如果點i到點i+2可見，刪除點i+1，循環(huán)直到鄰節(jié)點之間都不可見。剩下的只有繞過障礙物拐角點的導航點。這些點都是導航網(wǎng)的頂點。因此如果使用路徑消除，就不需要采用邊中點或多邊形中心點作為導航點，只要頂點就可以了
上面的例子中，路徑消除可以將黃色路徑變成粉紅色路徑。然而，尋路算法并不知道這些更短的路徑，因此它的決策不會優(yōu)化。導航網(wǎng)是一種近似地圖表示，而可視圖是一種精確地圖表示。縮短在導航網(wǎng)中找到的路，結(jié)果并不總能像通過可視圖找到的路一樣好。
分層（Hierarchical）
平面地圖只有一層。而游戲很少只有一層——往往有一個“圖塊”層，然后有一個“子圖塊”層，物體可以在圖塊中移動。然而我們通常只在高層尋路。你也可以添加更高的層，如“房間”。
在地圖表示中，節(jié)點越少，尋路越快。還有一種加快尋路速度的方法是多層次搜索。例如，要從你家到另一個城市的某個位置，你會找到一條路，從你的椅子到你的車，從車到街道，從街道到高速公路，從高速公路到城市邊緣，再從那兒到另一個城市，然后到一個街道，到一個停車場，最終到達目的地門前。此時，有下述幾層搜索：
街道層，你從一個位置走到附近的某個位置，但不會走出這條街。
城市層，你從一條街道走到另一條，直到找到高速公路。你無需擔心進入建筑物或停車場，也不用擔心在高速公路上行駛。
州層，在高速公路上，你從一個城市到另一個城市。在到達目的城市之前，你無需擔心城市內(nèi)的街道。
將問題分層，可以忽略很多選項。例如當從一個城市到另一個城市時，考慮路上每個城市的每條街道是很乏味的。相反，你可以忽略它們，只考慮高速公路，問題就變得很小且易于管理，解決也變得很快。
分層地圖在表示上有很多層。異構(gòu)層次結(jié)構(gòu)（heterogenous hierarchy）通常有固定層數(shù)，各有不同特點。例如，《Ultima 5》有一個“世界”地圖，上邊有城市和地牢。你可以進入一個城市或地牢，這就進入地圖的第二層。另外，世界之上還有世界，從而是一個三層結(jié)構(gòu)。這些層可以是不同的類型（圖塊網(wǎng)格、可視圖、導航網(wǎng)、路標）。而同質(zhì)層次結(jié)構(gòu)（homogeneous hierarchy）層數(shù)任意，每層都有相同的特性。四叉樹和八叉樹就是同質(zhì)層次結(jié)構(gòu)的。
分層地圖中，尋路可能發(fā)生在幾個層次。例如，假設一個 1024×1024 的世界被劃分為 64×64 個“區(qū)域”，則可以這樣找到一條路徑，從玩家位置到區(qū)域邊緣，然后從一個區(qū)域到另一個區(qū)域，直到到達目的區(qū)域，然后從那個區(qū)域的邊緣到達目的位置。粗級別上，更容易找到長路徑，因為尋路算法沒有考慮所有的細節(jié)。當玩家穿過每個區(qū)域時，可以再次調(diào)用尋路算法，找一個短路徑。保證問題規(guī)模很小，尋路算法就可以運行得更快。
你可以結(jié)合使用分層和圖搜索算法，如A*，但是不需要每一層都采用一樣的算法。對一些小的層級，你可以預算所有節(jié)點間的最短路（用Floyd-Warshall或其他算法）。在分層地圖中，通常找不到最優(yōu)路徑，但一般都接近最優(yōu)。
還有個類似的方法是改變分辨率。首先，繪制低分辨率路徑。當接近一個點時，用高分辨率精化路徑。這個方法可以結(jié)合路徑拼接使用，以避免移動障礙。
一些文章：《“龍騰世紀：起源”中的尋路算法》解釋某商業(yè)游戲中使用的幾種分層方法，《采用線性預處理的超快最短路查詢》在道路圖中使用“運輸節(jié)點”[PDF]，《游戲網(wǎng)格地圖的運輸節(jié)點》、《分層A*：有效搜索抽象層》、《道路網(wǎng)路線規(guī)劃》（Dominic Schulte的博士論文），逐層注解A*（第一部分，第二部分，源代碼）。
環(huán)繞式地圖（Wraparound maps）
如果你的世界是球形或環(huán)形的，物體可以從地圖的一端繞到另一端。最短路可能在任一方向，因此必須探索所有的方向。如果用網(wǎng)格，環(huán)繞時可以用啟發(fā)式方法。此時，我們不用abs(x1 – x2)，而采用min(abs(x1 – x2), (x1+mapsize) – x2, (x2+mapsize) – x1)，即考慮三種情況的最小值：待在地圖上不繞行，x1在左邊時繞行，或x2在左邊時繞行。繞行每個軸時都這樣做。本質(zhì)上來說，你計算啟發(fā)值時，假設地圖與其副本鄰接。
連通組件（Connected Components）
有些游戲地圖中，起點和終點之間根本就無路可通。如果用A*找路，它會探索圖的很大一個子集，才能確定根本沒路。如果可以預先分析地圖，用不同的標記標識出所有的連通子圖，那么在找路之前，首先檢查起點和終點是否都在同一個子圖中。如果不在，那么這兩者之間無路可通。另外分層尋路在這也可以用，特別是子圖之間有單向邊時。
道路圖（Road maps）
如果你的角色單元只能在道路上走，你可能需要提供A*道路和交叉口的信息。每個交叉口是圖上的一個節(jié)點，每條路是圖上一條邊。A*找從交叉口到交叉口的路，這比用網(wǎng)格表示要快得多。
有時，角色單元的起點和終點可能不在交叉口。此時，每次運行A*時，都要修改點/邊圖（和可視圖和導航圖采用的技術(shù)一樣），將起點和終點作為新節(jié)點加到圖中，然后在這兩個點和最近的交叉點之間連線。尋路結(jié)束后，再刪除這些額外的節(jié)點和邊，這樣圖在下次調(diào)用A*時還可以使用。
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上圖中，交叉口是尋路圖中的節(jié)點，節(jié)點之間的道路是邊，且每條邊都應給定道路行駛距離。在這個框架中，你可以把單向道路作為圖上的單向邊。
如果你想給轉(zhuǎn)向分配成本，你可以稍稍擴展這個框架：將原來單一的位置節(jié)點，變?yōu)?lt;位置，方向>節(jié)點（靜態(tài)空間的一個點），其中方向指你到達那個位置后所面向的方向；將原來從X到Y(jié)的邊，換成從<X，方向>到<Y，方向>的邊（代表直行），和從<X，方向1>到<Y，方向2>的邊（代表轉(zhuǎn)向）。每條邊都或者代表直行，或者代表轉(zhuǎn)向，不可能兩者都是。然后你可以給代表轉(zhuǎn)向的邊分配成本。
如果你還要考慮轉(zhuǎn)向限制，如“只能右轉(zhuǎn)”，你可以改變上述框架，即結(jié)合使用那兩種邊，每個轉(zhuǎn)向邊之后都是直行。例如，在這個框架中，你想表示一個限制“只能右轉(zhuǎn)”：添加一個直行邊<X，北>到<Y，北>，一個轉(zhuǎn)向邊<X，北>到<Z，東>，轉(zhuǎn)向之后是直行。不要添加<X，北>到任何向西的邊，因為這意味著左轉(zhuǎn)，也不要添加任何向南的邊，因為這意味著掉頭。
利用上述框架，可以對一個大型市中心建模，其中有單向道路，特定路口轉(zhuǎn)向限制（通常禁止掉頭，有時禁止左轉(zhuǎn)），以及轉(zhuǎn)向成本（建模在右轉(zhuǎn)之前減速和等待行人）。相比網(wǎng)格圖，道路圖中A*找路相當快，因為每個節(jié)點處的選擇很少，而且圖上的節(jié)點也相對較少。
跳躍鏈（Skip links）
基于網(wǎng)格創(chuàng)建的尋路圖，一般給每個位置分配一個頂點，給相鄰位置之間的每個可能的移動分配一條邊。然而邊不一定必須是相鄰頂點之間的，“跳躍鏈”或“快捷鏈”就是非相鄰點之間的邊，它可以加快尋路進程。
跳躍鏈的移動成本怎么算呢？有兩種方法：
使成本匹配最優(yōu)路徑的移動成本。這保留了A*的優(yōu)良特性，如尋找最優(yōu)路徑。為了將A*推向正確的方向，要打破跳躍鏈和常規(guī)鏈之間的關(guān)聯(lián)，即將跳躍鏈的成本減少1%左右。
使成本匹配啟發(fā)成本。這對性能有很大影響，但是放棄了最優(yōu)路徑。
添加跳躍鏈類似于分層地圖，花費更少的精力，但往往能給你一樣的性能。
對于有地下室和走廊的網(wǎng)格圖，矩形對稱性縮減和跳躍點搜索提供兩種方法建立跳躍鏈。矩形對稱性縮減（Rectangular Symmetry Reduction）靜態(tài)建立附加邊（他們稱為宏邊），然后調(diào)用標準的圖搜索算法。跳躍點搜索（Jump Point Search）動態(tài)建立長邊，是圖搜索算法的一部分。對于道路圖和其他類型的圖，抽象分層值得一看。
路標（Waypoints）
路標是路徑上的一個點。路標可以具體到每條路，或者是游戲地圖的一部分。路標可以手動輸入或自動計算。很多實時策略游戲中，玩家點擊就可以手動添加特定路徑的路標。當自動計算時，路標可以簡化路徑表示。地圖設計者可以在地圖上人工添加路標（或“信標燈”），以標識好路徑的位置，或者也可以用算法自動標識。
使用跳躍鏈是為了加快尋路，因此跳躍鏈應當放在設計者設置的路標之間，這可以使其利益最大化。
如果路標不是很多，可以預算每對路標之間的最短路（用全對最短路算法，不用A*）。常見的情況就是，一個角色單元先按照自己的路徑到達一個路標，然后按照預算的路標間的最短路走，最后離開路標這個高速路，走自己的路到達目標。
如果路標或跳躍鏈的成本錯誤，可能導致找到次優(yōu)路徑。有時我們可以通過后期處理或在移動中，消除一個糟糕的路徑。
圖形格式建議（Graph Format Recommendations）
一開始你在已使用的游戲世界表示中尋路，如果你不滿意，考慮將游戲世界轉(zhuǎn)換為方便尋路的另一種表示形式。
很多網(wǎng)格游戲中，地圖的很多大塊區(qū)域移動成本都是均勻的，但是A*不知道這些，并且浪費時間來探索它們。創(chuàng)建一個簡單圖（導航網(wǎng)，可視圖，或者網(wǎng)格圖的分層表示）可以幫助A*。
移動成本固定時，可視圖產(chǎn)生的是最優(yōu)路徑，且A*運行很快，但是邊存儲耗費大量內(nèi)存。網(wǎng)格允許移動成本有細微改變（地形，斜坡，懲罰用的危險區(qū)域等），邊存儲耗費內(nèi)存少，但點存儲耗費很多內(nèi)存，而且A*可能很慢。導航網(wǎng)居于兩者之間。在大塊區(qū)域移動成本均勻時，它效果很好，而且允許移動成本的些微改變，還能產(chǎn)生合理的路徑。這些路徑并不總?cè)缈梢晥D產(chǎn)生的一樣短，但是通常都是合理的。分層地圖采用多層表示來處理長距離內(nèi)的大致路徑，以及短距離內(nèi)的詳細路徑。
你可以讀讀這篇很形象的文章，了解更多關(guān)于導航網(wǎng)的知識。注意這篇文章比較了：（a）僅保持可行多邊形和僅保持導航點，（b）沿頂點走和沿多邊形中心點走。這些大多是正交的。保持可行多邊形有利于后期動態(tài)調(diào)整路徑，但是并非所有的游戲都需要。使用頂點更有利于避免障礙，并且如果你采用了路徑消除，還不會影響路徑質(zhì)量。如果沒有路徑消除，邊的效果可能更好，所以考慮邊或是邊+頂點。
除了給網(wǎng)格地圖構(gòu)建一個獨立的非網(wǎng)格表示，你也可以改變A*，使其更好得理解成本均勻分布的網(wǎng)格地圖。可以參照跳點搜索在方格上加速A*的方法，以及Theta*在網(wǎng)格上生成非網(wǎng)格移動的方法。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的游戏中常用的寻路算法（6）：地图表示的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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