繼給 GPT-4“代言”之后，Copilot 也被陶哲軒瘋狂安利。

他直言，在編程時(shí)，Copilot 能直接預(yù)測出他下一步要做什么。

有了 Copilot 之后，研究做起來也更方便了，陶哲軒也用它輔助自己完成了最新的研究成果。

陶哲軒說，這次的論文中，有關(guān)這一部分的內(nèi)容其實(shí)只有一頁。

但具體完成這一頁紙的證明，他足足寫了 200 多行代碼，用的還是新學(xué)的編程語言 Lean4。

而在陶哲軒公開代碼的 GitHub 頁面上顯示，Copilot 將寫代碼的速度提升了一半以上。

陶哲軒介紹，之所以選擇 Lean4 是看中了它的“重寫策略”，也就是對一長段表達(dá)式進(jìn)行針對性的局部替換。

舉個(gè)例子，假如定義了一個(gè)復(fù)雜的函數(shù) f (x)，當(dāng)我們想輸入 f (114514) 的表達(dá)式時(shí)，直接用代碼把 x“重寫”成 114514 就可以了。

陶哲軒說，這個(gè)特性相比于需要反復(fù)輸入公式的 LaTeX 簡直不要太方便。

那么陶哲軒這次的“一頁紙證明”又給我們帶來了什么新成果呢？

一頁紙證明新不等式

這篇論文談?wù)摿擞嘘P(guān)麥克勞林不等式的問題。

麥克勞林不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)經(jīng)典的不等式，它基于“非負(fù)實(shí)數(shù)的算數(shù)平均值大于等于幾何平均值”這一定律導(dǎo)出，可以表述為：

設(shè) y₁…y_n 為非負(fù)實(shí)數(shù)，對 k=1…n，定義均值 S_k 為（分母為分子的項(xiàng)數(shù)）：

它作為具有根的 n 次多項(xiàng)式的歸一化系數(shù)而出現(xiàn)。

（記住這個(gè)式子，我們稱它為式 1）

則麥克勞林不等式可以表示為：

其中，當(dāng)且僅當(dāng)所有 y_i 相等時(shí)等號成立。

在微積分中，還有一個(gè)經(jīng)典的牛頓不等式：

對任意 1≤k<n，如果實(shí)變量 y1…y_n 均為非負(fù)，牛頓不等式就可以簡單地描述麥克勞林不等式了：

但如果不加上這個(gè)限制條件，即允許負(fù)數(shù)項(xiàng)的存在，用牛頓不等式就無法表示麥克勞林不等式了。

于是針對牛頓不等式中可能存在負(fù)數(shù)項(xiàng)的情況，陶哲軒提出了一組新的不等式變體：

對任意 r>0 且 1≤?≤n，必有式 2 或式 3 成立。

這便是陶哲軒這一頁紙所要證明的內(nèi)容，具體證明過程是這樣的：

不妨構(gòu)建一個(gè)關(guān)于復(fù)雜變量 z 的多項(xiàng)式 P (z)：

由前面的式 1 和三角不等式可得：

所以只需要建立下界：

對 P (z) 取絕對值再取對數(shù)可得：

由于對任意實(shí)數(shù) t，t ? log (e^t+a) 呈凸性且 a>0，可以得到不等式：

當(dāng) a=r²，t=2log y_j 時(shí)，可以得出：

以上就是陶哲軒給出的證明過程，但是，當(dāng)歸一化的 | S_n|=1 時(shí)，下式成立：

下一步：建立細(xì)化版本

除了這次提到的“一頁紙證明”，陶哲軒的這篇論文中還提出了另一項(xiàng)新的定理，即對任意 1 ≤ k ≤ ?≤ n.：

在博客文章中，陶哲軒透露，他的下一步計(jì)劃就是提出這一不等式的細(xì)化版本。

陶哲軒說，證明的過程“就像練習(xí)一樣”會(huì)很簡單，用微積分就能搞定。

不過，他也提到會(huì)有一個(gè)小困難，因?yàn)檫@部分論證過程使用到了漸進(jìn)符號。

新的結(jié)論具體怎樣，讓我們拭目以待。

One More Thing

陶哲軒可謂是 AI 工具的忠實(shí)粉絲，Copilot、GPT-4，還有一些其他輔助工具都受到過他的推薦。

這次，他還對大模型的發(fā)展提出了新的期待，希望有一天模型可以直接生成不等式變體。

論文地址：

https://arxiv.org/abs/2310.05328

參考鏈接：

• https://mathstodon.xyz/@tao/111271244206606941

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩疯狂安利 Copilot：它帮我完成了一页纸证明，甚至能猜出我后面的过程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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