以前對物理特別感興趣的時候看過一段時間的變分法，記得當(dāng)時閱讀了一本十分不錯的書籍，其作者名挺有趣的—老大中先生的《變分法基礎(chǔ)》（真的很不錯的一本講變分法的書，有興趣的同學(xué)可以去看看，雖然沒繼續(xù)看下去了> <），但許久沒接觸物理了，公式的推導(dǎo)過程也給忘記了，最近想復(fù)習(xí)一點數(shù)學(xué)、物理了，所以今天來推導(dǎo)一下并寫篇博客做個記錄。其實當(dāng)時我的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不足以支持我看完這本書...許多泛函的概念看的蒙蔽。。。但實際上直接去看最速降線問題的前面部分推導(dǎo)是沒有太大影響的，基礎(chǔ)只需要一點微積分+高中物理就能看明白原理...說起來當(dāng)時僅僅是興趣驅(qū)使我去深入了解什么是變分法...當(dāng)時知道結(jié)論時非常激動。。。但如何解最后得到的公式才是真正的變分法基礎(chǔ)。

　　首先來考慮一個問題：一個質(zhì)點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短？

　　問題稍微更物理一點的描述：設(shè)A、B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連接A和B的平面曲線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速度為零的質(zhì)點從A點到B點沿該曲線運動時所需時間最短。

　　如圖所示（圖來自百科）：

　　

　　下面是書上的證明：

　　如下圖中所示，取A為平面直角坐標系的原點，x軸置于水平位置，y軸正向朝下。顯然，最速降線應(yīng)該在這個平面內(nèi)。于是A點的坐標就是(0,0)。設(shè)B點的坐標為（x₁,y₁)。取連接A和B的曲線方程為：

$$ y = y(x) quad (0 leqslant xleqslant x_1) quad quad (1) $$

　　它在區(qū)間[0,x₁]的兩個端點滿足條件：

$$ y(0) = 0,y(x_1)=y_1 quad quad (2) $$

　　設(shè)M(x,y)為曲線y=y(x)上的任意一點，由機械能守恒定律可得到如下關(guān)系：

$$ mgh + frac{1}{2}mv_0^2=mg(h-y) + frac{1}{2}mv^2 quad quad (3) $$

　　式中，v₀=0，g是重力加速度，故有：

$$ v = sqrt{2gy} quad quad (4) $$

　　設(shè)y=y(x)為曲線的運動方程，質(zhì)點沿著該曲線從A點運動到B點。質(zhì)點的運動速度可表示為：

$$ v = frac{ds}{dt} = sqrt{1+y'^2} frac{dx}{dt} quad quad (5) $$

　　由式(4)、(5)消去v并積分，得質(zhì)點沿曲線從A點滑行到B點所需的時間為:

$$ T=int_0^{x_1} sqrt{frac{1+y'^2}{2gy}}dx $$

　　該方程的最終解析式表示該問題的答案中的曲線是擺線（也叫滾輪線或旋輪線），非常讓人一種著迷的曲線。但如何解這個方程我并不會...其涉及到求泛函問題的，使用的方法就是變分法，由于我太菜，基礎(chǔ)知識儲備不夠，暫時還會解。。。

　　最后，說一點該問題的小故事：最早提出該問題的是伽利略。一開始伽利略猜測答案是圓，但沒能證明，從現(xiàn)在來看是當(dāng)然的，那時候微積分還沒得到發(fā)展嘛...后來1696年約翰伯努利在一封寫給他哥哥雅克比伯努利（向伯努利家族低頭orz）公開信中再次提出該問題，引起當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們的熱議和研究，我個人聽說實際上是專門向牛頓提出的挑戰(zhàn)，考驗牛頓的微積分水平。。。結(jié)果當(dāng)時牛頓收到消息時已經(jīng)過了大半年，但牛頓立刻就回家開始研究，花了一下午解決了問題，雖然消息來得晚，但牛頓卻是提出問題后第一個解決該問題的orz。。。后來陸陸續(xù)續(xù)有一些著名的數(shù)學(xué)家都證明出來了，其中有萊布尼茨、洛必達等。這個問題標志著變分法基礎(chǔ)的開始，后來該問題得到了歐拉、拉格朗日等著名的數(shù)學(xué)家的工作，發(fā)展出了變分法這門學(xué)科。

　　其他參考文獻：

　　　　1.https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve

　　　　2.https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations

　　　　3.https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%98%E5%88%86%E6%B3%95/83603?fr=aladdin

　　　　4.https://baike.baidu.com/item/%E6%91%86%E7%BA%BF/5893005?fr=aladdin

　　　　5.https://baike.baidu.com/item/%E6%B5%8B%E5%9C%B0%E7%BA%BF/2391217?fr=aladdin

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最速降线问题公式推导的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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