Sparse Table(稀疏表):簡稱ST

簡介

ST 算法本質是動態規劃。

時間復雜度為：

預處理：O(nlogn)
查詢：O(1)

它 適宜用于 數據不再作出變化（也稱離線） 的 區間最值 查詢問題。

現在假設有一組數據，要求$[l,r]$內的最小值。

首先我們知道：

對于區間[l,r]:它的區間長度: $len=r?l+1$;

ST的基本思想：

它是基于動態規劃，狀態為：$dp[i][j]$.

$dp[i][j]$表示從$i$開始 區間長度為$2^j$ 的一個區間（即$[i,2^j?1]$） 的最值
$r?l+1=2^j$, $l=i,$ $???>$ $r=i+2^j?1$

對于區間$[l,r]$,可以將它分為兩個區間，即二分為兩個均勻的區間：

$[l,r]???>[l,r^{\prime }]+[l^{\prime },r]$，所以這兩個區間的區間長度為$len/2$,

如果用$dp[i][j]$表示$[l,r]$這個區間的最小值，

那么狀態轉移方程$$dp[i][j]=min(dp[i][j?1]，dp[i+2^{j?1}][j?1])$$.

對它的理解：

區間長度減半:$len/2=(2^j)/2=2^{j?1}$,所以兩個子區間的第二維為$j?1$。

$dp[i+2^{j?1}][j?1]$：
第二個子區間第一維，即開始位置為:$i+len/2=i+2^{j?1}$

邊界(即長度為$1=2^0$的子區間)：

$$dp[i][0]=a[i](i=1...n)$$
寫出代碼：

for(int i = 1; i <= n; i++) // 邊界 {cin>>dp[i][0]; } for(int j = 1; 1<<j <= n; j++) {for(int i = 1; i+(1<<j)-1<=n; i++) // 起點不同的更長區間{dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);} }

對于i,一個區間$[l,r]$,

$$dp[i][j],l=i，r?i+1=2^j=1<<j$$

所以：
$$r=i+(1<<j)?1<=n$$

區間查詢：

$[l,r]$查詢最小值，

令$k$ 為滿足 $2^k<=len=r?l+1$的最大整數，
$$k=log2(r?l+1)$$

解釋為什么取滿足$2^k<=len=r?l+1$的最大整數:

• 理論上$2^k==len$: $dp[l][k]$已經是$ans$
• 但是不能保證所有的只用一個區間就可以完全覆蓋查詢區間，會出現$2^k<len$的情況，比如$[1,5],len=5$時，$k=log5\approx 2.32=2$，此時區間：$dp[1][2]$只覆蓋到了$[1,4]$,需要再加上一個$[1<=l<=4,5]$的區間，所以再取：$dp[5?4+1][2]=dp[2][2]???>[2,5]$

因此對于區間$[l,r]$用 以$l$開頭并且區間長度為$2^k$ 和 以$r$結尾并且區間長度為$2^k$ 的兩個區間覆蓋

那么
$$ans=min(dp[l][k],dp[r?(1<<k)+1][k])$$
$l^{\prime }$用$r$來表示：
$$r?l^{\prime }+1=1<<k???>l^{\prime }=r?(1<<k)+1$$

區間查詢代碼可寫成：

int rmq(int L, int R) {//int k = 0;//while(1<<(k+1) <= R-L+1) k++;int k = log2(r-l+1);return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]); }

題目：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1816

代碼：

（下方預處理了k）

#include <iostream> #define MAXM 100005 #define N 30 #define LL long long using namespace std; LL dp[MAXM][N]; LL lg[MAXM];//k = lg[r-l+1] int main() {int m,n;cin>>m>>n;lg[0] = -1; //注意!!for(int i = 1; i <= m; i++){cin>>dp[i][0];lg[i] = lg[i>>1] + 1; // log1 = log0 + 1 = -1 + 1 = 0...}for(int j = 1; 1<<j <= m; j++){for(int i = 1; i+(1<<j)-1<=m; i++){dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}int flag = 1;while(n--){int l,r;cin>>l>>r;int k = lg[r-l+1];if(flag) {cout<<min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);flag = 0;}elsecout<<" "<<min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);}cout<<endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的RMQ问题，加深对ST算法的理解（Sparse Table）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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