1. 矩陣范數(shù)

我們?cè)趺磥砗饬恳粋€(gè)矩陣的大小呢？針對(duì)一個(gè)向量，它的長度是

。針對(duì)一個(gè)矩陣，它的范數(shù)是 。有時(shí)候我們會(huì)用向量的范數(shù)來替代長度這個(gè)說法，但對(duì)于矩陣我們只說范數(shù)。有很多方式來定義矩陣的范數(shù)，我們來看看所有范數(shù)的的要求然后選擇其中一個(gè)。

Frobenius 對(duì)矩陣中的所有元素進(jìn)行平方

再相加，然后 就是它的平方根。這就像把矩陣看作是一個(gè)很長的有 個(gè)元素的向量，這有時(shí)候會(huì)很有用，但這里我們不選擇它。

向量范數(shù)滿足三角不等式，即

不大于 ， 或者 的長度變?yōu)閮杀丁Ｍ瑯拥囊?guī)則也應(yīng)用于矩陣的范數(shù)：

第二個(gè)對(duì)矩陣范數(shù)的要求是新的，因?yàn)榫仃嚳梢韵喑恕７稊?shù)

控制著從 到 和從 到 的增長。

根據(jù)此，我們可以這樣定義矩陣的范數(shù)：

恒等矩陣的范數(shù)為 1，針對(duì)一個(gè)正交矩陣，我們有

，所以正交矩陣的范數(shù)也為 1。

針對(duì)正定的對(duì)稱矩陣，。

將矩陣分解成

，左右兩邊的正交矩陣保持向量的長度不變，因此 的最大值就是對(duì)角陣中的最大特征值。對(duì)于一個(gè)對(duì)稱矩陣，我們?nèi)匀豢梢缘玫缴厦娴姆纸?#xff0c;只不過此時(shí)的特征值不能保證一定是正數(shù)，矩陣的范數(shù)變?yōu)榱颂卣髦到^對(duì)值的最大值。

對(duì)于不對(duì)稱的矩陣，它的特征值不能衡量矩陣真正的大小，范數(shù)可以比所有特征值都大。

對(duì)于上面的例子，

是對(duì)稱矩陣 的特征向量，事實(shí)上矩陣的范數(shù)是由 的最大特征值決定的。矩陣的范數(shù)是 最大特征值的平方根，也就是矩陣的最大奇異值。

2. 條件數(shù)

有些系統(tǒng)對(duì)誤差很敏感，有些則不是那么敏感，對(duì)誤差的靈敏度我們用條件數(shù)來衡量。

原始的方程為

，假設(shè)方程右邊由于測量誤差被改變?yōu)榱?，那么我們的解就變成了 ，我們的目標(biāo)是估計(jì) 是怎么影響 的。

如果

很大的話，此時(shí)矩陣接近于奇異， 就會(huì)很大。 還會(huì)變得特別大如果 在錯(cuò)誤的方向，因?yàn)樗鼤?huì)被 放大。最大的誤差為 。

但這樣會(huì)有一個(gè)問題，當(dāng)我們改變

的話，方程的解 和 都會(huì)同時(shí)改變，相對(duì)誤差 卻保持不變。事實(shí)上，應(yīng)該是解 的相對(duì)誤差和 的誤差相比較，條件數(shù) 衡量了方程 的靈敏度。

• 證明

(1) 式和 (2) 式相乘，可得，

上式兩邊同時(shí)除以

可得，

同理可得，

此外，對(duì)于正定矩陣，條件數(shù)來自于它的特征值。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的找出矩阵中绝对值最大的元素及其位置_线性代数之——矩阵范数和条件数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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