（想借該模型 講清直積態(tài)以及TB Model哈密頓量）

入手復(fù)雜的事物之前，從手算幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始是最好的。

所以，不妨談?wù)劧S方格子吧。

一個(gè)復(fù)雜的晶體，其內(nèi)部的具有復(fù)雜的元胞（最小重復(fù)單元），每個(gè)元胞內(nèi)有多個(gè)原子，每個(gè)原子內(nèi)有多個(gè)軌道，即使在做各種近似之后，完整地求解一個(gè)真實(shí)體系也是一件相當(dāng)不容易的事，為了清晰地認(rèn)識(shí)物質(zhì)的屬性，因此會(huì)有專(zhuān)門(mén)凝聚態(tài)物理工作者從事這里的研究（當(dāng)然完全只做算法的人并不多）。所以我想在這里談一個(gè)Toy Model介紹一個(gè)凝聚態(tài)物理中常用的近似手段，當(dāng)然它也是也是一個(gè)構(gòu)造拓?fù)銶odel和尋找對(duì)稱(chēng)性保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)的手段（Tight-Binding Model）。

目錄：

1.方格子TB Model *2.Hofstadter Model (在方格子上加磁場(chǎng))

*3.“降維”(周期性邊界條件+傅里葉變換)：

*4. Magnetic unit cell and Hall Conductance （

）

“*”表示可能不寫(xiě)。因?yàn)檫@些東西教材和文獻(xiàn)上講的比較清楚，似乎并不需要我的贅述。如果什么時(shí)候想寫(xiě)了再補(bǔ)充。

最后想強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：我寫(xiě)的東西都事不能保證嚴(yán)格且正確，僅僅只是我理解中的物理。如果找出明顯錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)谠u(píng)論區(qū)指出，我會(huì)加以改正并補(bǔ)全。

方格子（Square Lattice）

方格子TB Model

首先，我們考慮如上方格子（二維晶體體系），每個(gè)格點(diǎn)（交叉點(diǎn)）上放一個(gè)各向同性的電子軌道（能級(jí)）（s軌道電子）。體系近似的哈密頓量可寫(xiě)成：

首先使用微擾論的觀點(diǎn)處理這個(gè)問(wèn)題，認(rèn)為每個(gè)格點(diǎn)上都有一個(gè)初始波函數(shù)：

：

，且認(rèn)為不同格點(diǎn)之間的波函數(shù)相互正交： 。

這也就是書(shū)上講的，緊束縛（Tight Binding Model）近似的核心是原子軌道線性組合：

(其中 為在（m,n）格點(diǎn)觀察到電子的概率幅度， 表示體系本征波函數(shù)。) ，然后就是 不同格點(diǎn)間軌道的正交性假設(shè)。

本質(zhì)上它就是一個(gè)陣力學(xué)的問(wèn)題，或者說(shuō)是一個(gè)一階簡(jiǎn)并微擾論的問(wèn)題，每個(gè)格點(diǎn)間電子電子庫(kù)倫相互作用被當(dāng)作了微擾，然后我們?cè)谙柌乜臻g

里做計(jì)算。

由此我們可以按照套路，直接計(jì)算哈密頓量矩陣

,其矩陣元為： ,然后對(duì)角化哈密頓量，我們便得到了體系的本征能量以及本征波矢。 我們可以求出哈密頓量的矩陣元：

由于在希爾伯特空間里總的哈密頓量是一個(gè)矩陣，直接寫(xiě)起來(lái)不夠方便也不直觀，由此我們可以換用投影算符的形式來(lái)描述這樣一個(gè)哈密頓量矩陣如下：

其中

.( 表示 )

（其實(shí)這個(gè)也可以通過(guò)二次量子化語(yǔ)言來(lái)表示，關(guān)于這個(gè)問(wèn)題或許可以之后如果想寫(xiě)了，我會(huì)把它連著密度矩陣一起寫(xiě)一篇小note）。

實(shí)際上關(guān)于這個(gè)

一般都不是直接計(jì)算得到，一般是情況是自己設(shè)值或者通過(guò)從DFT自洽計(jì)算等手段求出一個(gè)體系中的 數(shù)值如（wannier_90）。

考慮到不同格點(diǎn)之間的波函數(shù)交疊很小，在我們寫(xiě)Toy Model 時(shí)候一般只考慮最近鄰格點(diǎn)之間的交疊。因此認(rèn)為處理最近鄰的相互作用，其他的

均勻0。由此哈密頓量可寫(xiě)成：

其實(shí)在這種一階微擾論的框架下處理問(wèn)題的方式，我完全可以換一種方式來(lái)理解:

（關(guān)于更高階的微擾，等我算完我的一系列響應(yīng)函數(shù)之后再來(lái)專(zhuān)門(mén)寫(xiě)一系列的note）

這樣一階微擾的框架，其實(shí)我們完全是在希爾伯特空間里玩游戲，我們找到一組基函數(shù)，把哈密頓量在這個(gè)空間下表示出來(lái)，然后對(duì)角化，用原來(lái)的基矢組成一組新的本征態(tài)。

對(duì)于這種整個(gè)格點(diǎn)系統(tǒng)的希爾伯特空間，由于我們假定每個(gè)格點(diǎn)間的波函數(shù)相互正交，因此我們可以通過(guò)講所以格點(diǎn)上的希爾伯特空間直積起來(lái)的方式生成這個(gè)總的希爾伯特空間：

其中

表示m,n格點(diǎn)上的第 i 個(gè)態(tài)矢。

由于這里只考慮一條軌道，因此每個(gè)格點(diǎn)上的態(tài)矢空間維度為1。如果想玩點(diǎn)花的，我們可以考慮每個(gè)格點(diǎn)上是一個(gè)p電子軌道且考慮自旋軌道耦合，這時(shí)每個(gè)格點(diǎn)上的希爾伯特空間為：

對(duì)于這種只有兩體相互作用的體系哈密頓量可寫(xiě)成：

如果只考慮最近鄰的格點(diǎn)之間才有相互作用：

描述 位置格點(diǎn)的在位勢(shì)能， 描述 位置格點(diǎn)與 位置格點(diǎn)間的相互作用。

這是形式理論，那我們要如何具體操作？或者說(shuō)對(duì)于這樣一個(gè)二維方格子的哈密頓量矩陣要怎么寫(xiě)呢？

這個(gè)哈密頓量在X、Y方向上都有指標(biāo)，直觀上看似乎不可能寫(xiě)出一個(gè)矩陣它既能描述不同行之間的作用又能描述不同列之間的作用，因?yàn)椴煌兄g的作用對(duì)應(yīng)于一個(gè)N*N的矩陣，不同列之間的作用對(duì)應(yīng)于一個(gè)M*M的矩陣。這在我剛學(xué)這個(gè)Model時(shí)糾結(jié)了好一段時(shí)間。

這時(shí)候，或許可以回到模型的出發(fā)點(diǎn)，我們?cè)谧鍪裁?#xff1f;我在解一個(gè)簡(jiǎn)并微擾論的問(wèn)題，那么基函數(shù)是什么？基矢空間是{

},因此我們的哈密頓量是一個(gè) 的 維度矩陣。

如果我們用矩陣直積的方式來(lái)理解，那么我們的哈密頓量就可以用更簡(jiǎn)練的手法來(lái)寫(xiě)：

為了能好的理解上面的哈密頓量，我們繼續(xù)來(lái)看只包含最近鄰相互作用的哈密頓量：

不難看出：

、 是兩個(gè)單位矩陣， 此外：

同理得出

相關(guān)的矩陣元。我們的哈密頓量通過(guò)兩個(gè)套矩陣直積便可得到。

為什么我們能這么寫(xiě)我們得哈密頓量矩陣？

繼續(xù)回到我們的整體的希爾伯特空間（基矢空間）：

{

}

這里哈密頓量中的

描述X 方向上的相互作用，對(duì)應(yīng)與X維度上的指標(biāo)：

兩個(gè)矩陣的直積：

則是說(shuō)我們，把描述Y維度上的指標(biāo)插入到X維度的指標(biāo)中：

由此組成一個(gè)能完整描述二維體系格子的基矢空間。

由此我們便完備的描述了這個(gè)方格子里的所有信息，并且能用矩陣對(duì)角化的方式完全求解這個(gè)近似Model。

故事到這里就結(jié)束了。看明白了這個(gè)故事就可以理解

@FOREST.Z

的回答中Code 了。

Hofstadter hubbard 模型如何推導(dǎo)？?www.zhihu.com

如果想具體的另找算例可參考如下教材中的SSH Model：

A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge states in one and two dimensions?arxiv.org

然后自己手寫(xiě)一個(gè)2D SSH Model 等等。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的只显示小方格_不妨谈谈二维方格子吧的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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