下面深入淺出講一下Butterworth原理及其代碼編寫。

1. 首先考慮一個歸一化的低通濾波器(截止頻率是1)，其幅度公式如下：

當n->∞時，得到一個理想的低通濾波反饋: ω＜1時，增益為1；ω＞1時，增益為1；ω=1時，增益為0.707。如下圖所示：

將s=jω帶入上式得：

根據以下三個公式

a. ，這里取σ=0

b.

c. 拉普拉斯變換在虛軸s=jω上的性質：

可以得到：

因此極點(分母為0的解)為：

根據和得到：

因此可以求得極點在單位圓上：

如果k從0開始的話，上式括號里可以寫作2k+n+1：

??

由于我們只對H(s)感興趣，而不考慮H(-s)。因此低通濾波器的極點全部在負實半平面單位圓上：

該濾波器的傳遞函數為

下面是n=1到4階的極點位置：

例如四階Butterworth低通濾波器的極點所在角度為：

5π/8, 7π/8, 9π/8, 11π/8

極點位置在：

因此傳遞函數為：

1到10階的Butterworth多項式因子表格如下：

以上我們考慮的是幅度-3分貝時的截止頻率為1時的情況：

其它截止頻率可將傳遞函數中的s替換為：

例如二階截止頻率為100的傳遞函數為：

總結

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