第一道組合數學題，連跪一天。。

沒有discuss根本做不出來，但是想想不是很難。

首先，

RoundNumber[start, end] = RoundNumber[0,start] - RoundNumber[0,end - 1] = RoundNumber[0, start + 1] - RoundNumber[0, end]

這是容易證明的。因為一個數字是否是所謂“RoundNumber”，只跟它自己有關，也就是說轉化成二進制的0的個數是否大于1的個數有關。那么他們（獨立的數字，如1，2，3，4）之間是相互獨立的。至于為何要加一或者減一，因為是要包含區間邊界，無論是否小于等于它都會包含（省事兒），所以最后處理一下。

《組合數學》第二章“排列與組合”中，闡述了幾個原理：加法原理、減法原理、乘法原理。各自的前提是不同的，需要仔細去了解。

重點不在上面，上面只是基礎。

首先在高中我們學過組合數的定義：

然后它具有以下常用性質：

1.

2.

3.

4.

性質3常用于打表，因為其具遞推的性質。

切入正題，假設有如下二進制數：

問其是否是RoundNumber？答案是肯定的。

最一開始我們知道，要想求RN[start,end]，我們只需要求RN[0,start+1]-RN[0,end]。歸根結底是求RN[0,x]。

把這個八位二進制數分情況討論一下，比它小的分兩種情況，一是1至7位數，二是八位數。

情況一：

一個二進制，長度為Len的數，若使0的個數大于1的個數，可以這么安排：

若Len是奇數，即Len=2*k+1，最高位是1，其余2k位，則有：

至此，Len是奇數時我們解決了。可以直接算這些組合數（從表中直接取，以下代碼就是這么操作的），也可以利用一下上面提供的性質。由性質2知，在性質1和式函數中，最頭的兩個是對稱相等的。那么，上式恰好等于：

若Len是偶數，Len=2*k，最高位是1，其余2k-1位，同理可得：

情況二：當位數為8時：

先放大一下這個二進制數：

可以清晰地看到，第四位，我標記了1。如果將1改為0，那么剩下的四位任意填數都滿足該數（新的）小于這個二進制數(10011000)B。但是不能任意填，還是要滿足0的個數大于1的個數，那么我們有如下結論：

令l為長度，i為當前改變的“1”的位置，如圖中的位置4，zero為0的計數（絕對計數、不包含被改變的第四位數1），a為需要填數的位置（下圖中的虛線框）中1的個數，b為需要填數的位置中0的個數。

有如下等式：

有如下不等式：

解得：

這個式子說明了，至少要填那么b個零，也就是l/2-(zero+1)。注意奇偶。至多呢？至多全填滿唄。填多少？i-1個（空格數）唄。注意，程序中是從高位到地位搜索，i的位置表示的是綠色的1的位置，i-1是空格（虛線框）的個數。

至此，問題解決了，那么代碼就很簡單了。

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#include<iostream>using namespace std;int c[33][33] = { 0 }; int bin[35]; //十進制n的二進制數void combinations() {for (int i = 0; i <= 32; i++){for (int j = 0; j <= i; j++){if (!j || i == j){c[i][j] = 1;}else{c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];}}}return; }void dec_to_bin(int n) {bin[0] = 0;while (n){bin[++bin[0]] = n % 2;n /= 2;}return; }int round(int n) {int i, j;int sum = 0;dec_to_bin(n);/*計算長度小于bin[0]的所有二進制數中RN的個數*/for (i = 1; i < bin[0] - 1; i++){for (j = i / 2 + 1; j <= i; j++){sum += c[i][j];}}/*計算長度等于bin[0]的所有二進制數中RN的個數*/int zero = 0; //從高位向低位搜索過程中出現0的位的個數for (i = bin[0] - 1; i >= 1; i--){if (bin[i]){for (j = (bin[0] + 1) / 2 - (zero + 1); j <= i - 1; j++){sum += c[i - 1][j];}}else zero++;}return sum; }int main() {combinations();int a, b;while (cin >> a >> b){cout << round(b + 1) - round(a) << endl;} }

組合數學，一跪一天，爽！

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轉載于:https://www.cnblogs.com/jiangu66/p/3243989.html

總結

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