? ? ? ?滿二叉樹：除最后一層無任何子節(jié)點外，每一層上的所有結(jié)點都有兩個子結(jié)點（也可以這樣理解，除葉子節(jié)點外的所有結(jié)點均有兩個子結(jié)點。節(jié)點數(shù)達(dá)到最大值。所有葉子結(jié)點必須在同一層上）

?

? ? ? ?1：堆排序的時間復(fù)雜度為O(nlgn)。具有空間原址性的特點，也就是任意時刻只需常數(shù)個額外元素空間存儲臨時數(shù)據(jù)。

?

? ? ? ?2：堆是一顆近似完全二叉樹：除了最底層外，該樹是完全充滿的，最底層是從左向右填充的。

?

? ? ? ?3：堆可以用數(shù)組存儲，對于元素下標(biāo)i，可以很快得出它的父節(jié)點，左孩子，右孩子的下標(biāo)(i從0開始)：

PARENT(i) = (i-1)/2? ?

LEFT(i) = 2i + 1 ? ?

RIGHT(i) = 2i + 2 ? ?

?

?????? 一般而言，上述計算父母，左孩子，右孩子索引的函數(shù)都是通過宏或者內(nèi)聯(lián)函數(shù)實現(xiàn)。

?

? ? ???4：堆有兩種：最大堆和最小堆。

?????? 最大堆是：除了根節(jié)點之外，所有節(jié)點i都要滿足：A[PARENT(i)]?>=?A[i]。即某個節(jié)點的值最多與父節(jié)點一樣大。因此，最大堆中的最大元素放在根節(jié)點中，任意一個子樹中所包含的所有節(jié)點的值都小于等于子樹根節(jié)點的值。如果是從小到大排序，一般用最大堆。

?????? 最小堆是：除了根節(jié)點之外，所有節(jié)點i都要滿足：A[PARENT(i)] <= A[i]。最小堆的最小值放在根節(jié)點中。如果是從大到小排序，用最小堆。

?

? ? ???5：一個包含n個元素的堆，高度為lgn 。堆結(jié)構(gòu)上的一些基本操作的運(yùn)行時間與堆高度成正比，所以時間復(fù)雜度為O(lg n)。

?

? ? ???6：當(dāng)用數(shù)組表示n個元素的堆時，葉節(jié)點的下標(biāo)分別是：((n-2)/2)+1, ((n-2)/2)+2,……,n。（默認(rèn)元素下標(biāo)從0開始，所以，最后一個結(jié)點的父節(jié)點一定是最后一個內(nèi)部結(jié)點。）

?

? ? ? ?7：最大堆上的操作有：

?????? MAX-HEAPIFY???? :維護(hù)最大堆的性質(zhì)，時間復(fù)雜度為O(lg n)。

?????? BUILD-MAX-HEAP:從無序的數(shù)組構(gòu)造一個最大堆，時間復(fù)雜度為O(n)。

?????? HEAPSORT: 對數(shù)組進(jìn)行原址排序，時間復(fù)雜度為O(nlg n)

?????? MAX-HEAP-INSERT, HEAP-EXTRACT-MAX, ?HEAP-INCREASE-KEY, ?HEAP-MAXIMUM

??????

? ? ? ?8：MAX-HEAPIFY:維護(hù)最大堆性質(zhì)，輸入為數(shù)組A和下標(biāo)i。調(diào)用MAX-HEAPIFY時，始終假定以LEFT(i)和RIGHT(i)為根的左右子樹都已經(jīng)是最大堆了。MAX-HEAPIFY通過讓A[i]的值在最大堆中“逐級下降”，從而使得以A[i]為根節(jié)點的子樹成為最大堆。

?????? 該算法中，每一步都是從A[i]，RIGHT[i]，LEFT[i]這三者中選出最大值。如果A[i]是最大值，則算法結(jié)束，否則，將A[i]與最大值A(chǔ)[j]（j= RIGHT[i] or LEFT[i]）交換，從而使i及其孩子滿足最大堆的性質(zhì)。然后針對j再次調(diào)用MAX-HEAPIFY過程，直到堆的末尾。代碼如下：

//from up to down to keep the property of max ?heap (recursion)
void ?maxheapify(int ?*set, ?int ?index, ?int ?size)
{
? ? ???int ?left = LEFT(index);
? ? ???int ?right = RIGHT(index);


? ? ???int ?largest;
? ? ???if(left < size && set[index] < set[left])
? ? ???{
? ? ???? ? ???largest = left;
? ? ???}
? ? ???else
? ? ???{
? ? ???? ? ???largest = index;
? ? ???}

? ? ???if(right < size && set[largest] < set[right])
? ? ???{
? ? ???? ? ???largest = right;
? ? ???}



? ? ???if(largest != index)
? ? ???{
? ? ???? ? ???exchange(set+index, set+largest);
? ? ???? ? ???maxheapify(set, largest, size);
? ? ???}
}


//from up to down to keep the property of max ?heap (loop)
void maxheapify2(int *set, int index, int size)
{
? ? ???int left;
? ? ???int right;

? ? ???int largest;

? ? ???while(index < size)
? ? ???{
? ? ???? ? ???left = LEFT(index);
? ? ???? ? ???right = RIGHT(index);

? ? ???? ? ???if(left < size && set[index] < set[left])
? ? ???? ? ???{
? ? ???? ? ???? ? ???largest = left;
? ? ???? ? ???}
? ? ???? ? ???else
? ? ???? ? ???{
? ? ???? ? ???? ? ???largest = index;
? ? ???? ? ???}

? ? ???? ? ???if(right < size && set[largest] < set[right])
? ? ???? ? ???{
? ? ???? ? ???? ? ???largest = right;
? ? ???? ? ???}

? ? ???? ? ???if(largest != index)
? ? ???? ? ???{
? ? ???? ? ???? ? ???exchange(set + index, set + largest);
? ? ???? ? ???? ? ???index = largest;
? ? ???? ? ???}
? ? ???? ? ???else
? ? ???? ? ???{
? ? ???? ? ???? ? ???return;
? ? ???? ? ???}
? ? ???}
}

?

?????? 若以i為根節(jié)點的子樹元素個數(shù)為n，則其左孩子結(jié)點的個數(shù)最多為2/3 * n。證明如下：假設(shè)左子樹節(jié)點數(shù)為x，右子樹節(jié)點數(shù)為y，所以n = x + y + 1。因堆是從左向右填充的，所以x >= y。如果要使x達(dá)到最大值，那么這種情況就是堆的最底層元素恰好半滿。

?????? 假設(shè)堆的高度為h，那么左子樹高度為h-1，右子樹高度為h-2。所以，n <= 2^(h+1) - 1,

x = 2^h - 1, y = 2^(h-1) - 1。所以 x/y ?≈ 2/1 ?。所以，x ≈ 2n/3 。

?????? 所以，遞歸的算法：T(n) = T(2n/3) + Θ(1)。從而T(n) = O(lg n)。

?

? ? ???9：因為MAX-HEAPIFY(A,i)包含一個假設(shè)，就是i的左右子樹都已經(jīng)是最大堆了，所以一般情況下，都是自底向上的調(diào)用MAX-HEAPIFY，比如建堆函數(shù)BUILD-MAX-HEAP，該算法把一個大小為n的數(shù)組轉(zhuǎn)換為最大堆。因為葉子節(jié)點可以認(rèn)為已經(jīng)是最大堆了，所以建堆的過程從最后一個內(nèi)部結(jié)點開始，也就是下標(biāo)為(size-2)/2的元素。從該節(jié)點開始，依次向前調(diào)用MAX-HEAPIFY，建立最大堆。

?????? 在BUILD-MAX-HEAP中，需要調(diào)用n次MAX-HEAPIFY過程，所以錯略計算該算法的時間復(fù)雜度為O(nlg n)。這不是一個緊缺的上界，因為MAX-HEAPIFY的時間跟高度h有關(guān)，h的范圍是[0,lg n]，而且高度為h的元素個數(shù)最多為n/2^(h+1) 。所以，實際上BUILD-MAX-HEAP的時間復(fù)雜度為O(n)。代碼如下：

?//build the max heap from set with call maxheapify
void buildmaxheap(int *set, int size)
{
? ? ???int index = size-1;
? ? ???int parent = PARENT(index);
? ? ???int i;

? ? ???for(i = parent; i >= 0; i--)
? ? ???{
? ? ???? ? ???maxheapify2(set, i, size);
? ? ???}
}

? ? ???10：利用最大堆進(jìn)行排序的算法HEAPSORT的基本思想是：

?????? 首相利用BUILD-MAX-HEAP算法將一個n元素數(shù)組轉(zhuǎn)換為最大堆，此時該數(shù)組的最大元素就是A[0]，所以，交換A[0]和A[n-1]。

?????? 然后，將數(shù)組A[0…n-2]看成新的數(shù)組，該數(shù)組中，除了根節(jié)點之外，其他左右子樹依然滿足最大堆的性質(zhì)，只是根節(jié)點因為發(fā)生了交換所以有可能不滿足最大堆性質(zhì)，所以，對根節(jié)點調(diào)用MAX-HEAPIFY即可。

?????? 重復(fù)以上這個過程直到堆的大小變?yōu)?。

?????? 該算法的時間復(fù)雜度為O(n lg n)。代碼如下：

//sort use max heap
void maxheapsort(int *heap, int size)
{
? ? ???int heapsize = size;
? ? ???int i;
? ? ???buildmaxheap(heap, size);

? ? ???for(i = size - 1; i > 0; i--)
? ? ???{
? ? ???? ? ???exchange(heap, heap+i);
? ? ???? ? ???heapsize--;
? ? ???? ? ???maxheapify2(heap, 0, heapsize);
? ? ???}
}

?

11：優(yōu)先隊列

?????? 堆排序是一個優(yōu)秀的算法，但是在實際應(yīng)用中，快速排序一般會快于堆排序。堆還可以作為優(yōu)先隊列的實現(xiàn)。最大堆和最小堆分別對應(yīng)于最大優(yōu)先隊列和最小優(yōu)先隊列。優(yōu)先隊列是一個集合，集合中的元素都有一個關(guān)鍵字（key），此關(guān)鍵字標(biāo)識該元素的優(yōu)先級。最大優(yōu)先隊列的例子是進(jìn)程調(diào)度，每次調(diào)度進(jìn)程時，都是從隊列中選擇優(yōu)先級最高的進(jìn)程進(jìn)行運(yùn)行。最小優(yōu)先隊列的例子是事件驅(qū)動的模擬器，每個事件以發(fā)生時間為關(guān)鍵字，每次選擇到時的事件進(jìn)行模擬。

?????? 優(yōu)先隊列支持的操作有（優(yōu)先隊列可用堆來實現(xiàn)，下面的優(yōu)先隊列的操作實際上是針對最大堆的）：

?????? INSERT：向優(yōu)先隊列中插入元素。

?????? MAXIMUM：返回優(yōu)先隊列中優(yōu)先級最大的元素。

?????? EXTRACT-MAX：返回優(yōu)先級最大的元素，并且將鈣元素刪除。

?????? INCREASE-KEY：將某個元素的關(guān)鍵字增加為k，重新構(gòu)造優(yōu)先隊列。

?????? DELETE：從優(yōu)先隊列中刪除元素。

?

12：EXTRACT-MAX：返回優(yōu)先級最大的元素，并且將該元素刪除。

???? 該算法將A[1]記錄，然后將最后的元素A[heapsize]存儲到A[1]中，然后減少heapsize，然后調(diào)用MAXHEAPIFY重新調(diào)整最大堆。最后返回記錄的A[1]的值。該算法的時間復(fù)雜度與MAXHEAPIFY相同，為O(lg n)。代碼如下：

//return the max elements and del it
int heap_extractmax(int *set, int size)
{
? ? ???if(size < 1)
? ? ???{
? ? ???? ? ???printf("heap size error\n");
? ? ???? ? ???return -1;
? ? ???}
? ? ???int max = set[0];
? ? ???int heapsize = size;

? ? ???set[0] = set[size-1];
? ? ???set[size-1] = NEINFINITE;
? ? ???heapsize = size - 1;
? ? ???maxheapify(set,0,heapsize);
? ? ???return max;
}

?

? ? ???14：INCREASE-KEY：將某個元素的關(guān)鍵字增加為key，重新構(gòu)造優(yōu)先隊列。

?? ? ???該算法將A[i]的關(guān)鍵字置為key，然后從索引i開始向上比較，如果A[i] > A[PARENT(i)]，則交換A[i] 和 A[PARENT(i)]，然后i= PARENT(i)。重復(fù)這個過程直到I = 1。

?????? 該算法與MAXHEAPIFY類似，只不過該算法是從下往上維護(hù)最大堆的性質(zhì)。該算法的時間復(fù)雜度為O(lg n)。代碼如下：

//from down to up to keep the property of max heap
void heap_increasekey(int *set, int index, int key, int size)
{
? ? ???int i, p;
? ? ???if(set[index] > key)
? ? ???{
? ? ???? ? ???printf("current is %d, key is %d, error\n", set[index], key);
? ? ???? ? ???return ;
? ? ???}
? ? ???set[index] = key;
? ? ???i = index;

? ? ???while(i > 0)
? ? ???{
? ? ???? ? ???p = PARENT(i);
? ? ???? ? ???if(key > set[p])
? ? ???? ? ???{
? ? ???? ? ???? ? ???set[i] = set[p];
? ? ???? ? ???? ? ???i = p;
? ? ???? ? ???}
? ? ???? ? ???else
? ? ???? ? ???{
? ? ???? ? ???? ? ???set[i] = key;
? ? ???? ? ???? ? ???break;
? ? ???? ? ???}
? ? ???}
}

?

? ? ???15：INSERT：向優(yōu)先隊列中插入元素。

?????? 該算法首先將heapsiize增加，然后置A[heapsize]為 。然后調(diào)用INCREASE-KEY（set, heapsize, key）即可，該算法的時間復(fù)雜度為O(lg n)。代碼如下：

//insert elements to max heap
void maxheapinsert(int *set, int key, int heapsize, int size)
{
? ? ???if(heapsize >= size)
? ? ???{
? ? ???? ? ???printf("heapsize larger than size, error\n");
? ? ???? ? ???return;
? ? ???}
? ? ???heapsize ++;
? ? ???set[heapsize - 1] = NEINFINITE;
? ? ???heap_increasekey(set, heapsize-1, key, heapsize);
}

?

? ? ???16：DELETE：從優(yōu)先隊列中刪除元素。

?????? 該算法將最后的元素A[heapsize]存儲到A[index]中，然后減少heapsize。然后比較當(dāng)前index元素的值與父母的值大小，如果A[index] < A[PARENT(index)]，則從上往下維護(hù)堆的性質(zhì)（MAXHEAPIFY），否則，從下往上維護(hù)堆的性質(zhì)(INCREASE-KEY)。代碼如下：

//del elements from max heap,note: it should be up to down or down to up
void maxheapdel(int *set, int index, int size)
{
? ? ???int heapsize = size-1;
? ? ???int p = PARENT(index);
? ? ???int key = set[size-1];

? ? ???if(key < set[p])
? ? ???{//down
? ? ???? ? ???set[index] = set[size-1];
? ? ???? ? ???maxheapify(set, index, heapsize);
}
? ? ???else
? ? ???{//up
? ? ???? ? ???heap_increasekey(set,index,key,heapsize);
? ? ???}
}?

? ? ???17：設(shè)計一個復(fù)雜度為O(nlg k)的算法，將k個有序鏈表合并為一個有序鏈表，其中n為所有鏈表元素的總和。

?????? 首先將所有k個鏈表的第一個元素組成一個最小堆，然后EXTRACT-MIN得到綜合鏈表的第一個元素，然后將MIN所在鏈表的第二個元素INSERT到最小堆中，然后再次EXTRACT-MIN。如此重復(fù)下去，知道最小堆為空。該算法時間復(fù)雜度為O(nlg k)。

?

18：一個m * n的YOUNG氏矩陣中，每一行的數(shù)據(jù)都是從左向右進(jìn)行排序的，每一列的元素都是從上到下排序的，如果矩陣中某個元素不存在，則記該元素為 比如包含元素{9，6，3，2，4，8，5，14，12}的4 x 4的Young氏矩陣如下：

2 3 4 5

6 8 9 12

14 ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

? ? ???a：給出一個O(m + n)的EXTRACT-MIN算法。

?????? 類似于堆的EXTRACT-MIN算法，首先將A[1][1]記錄下來以備返回，然后將矩陣的最后一個元素A[m][n]存儲到A[1][1]中，然后比較A[1][1]。A[1][2]和A[2][1]的值，將其中的最小值與A[1][1]進(jìn)行對換，然后再次調(diào)用該過程。每次調(diào)用都是比較A[i][j]、A[i][j+1]和A[i+1][j]的值，將最小值記錄到A[i][j]中，然后針對（I,j+1）或者（j+1, i）再次調(diào)用該過程（類似于MINHEAPIFY）。可見該過程的時間復(fù)雜度為O(m+n)。

?

? ? ???b：設(shè)計一個O(m + n)的算法，確定某個數(shù)是否在該矩陣中。

?????? 每次通過將X與矩陣中最右上角的元素進(jìn)行比較，如果X大，則說明X可能在剩下的(m-1) * n的矩陣中，如果X小，說明X有可能在剩下的m * (n-1)矩陣中。該算法的時間復(fù)雜度為O(m + n)。

?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/gqtcgq/p/7247241.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法导论笔记：06堆排序的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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