談談反函數的求導法則

?韋磊?2011-10-04 22:10:11 昨天的文章中提到過反函數的求導法則。反函數的求導法則是：反函數的導數是原函數導數的倒數。這話聽起來很簡單，不過很多人因此犯了迷糊：
y=x3的導數是y'=3x2，其反函數是y=x1/3，其導數為y'=1/3x-2/3.這兩個壓根就不是互為倒數嘛！
出現這樣的疑問，其實是對反函數的概念未能充分理解，反函數是說，將f(x)的自變量當成因變量，因變量當成自變量，得到的新函數x=f(y)就是原函數的反函數。所以y=x3的反函數嚴格來說應該是x=1/3y-2/3（這里應該是y=x^3反函數的導數，x=y^(1/3),dx/dy=1/3 * y^(-2/3)），只不過為了符合習慣，經常將x寫成y，y寫成x而已，這一點，因為在中學的時候沒怎么強調，所以到了大學就有些不適應。因此：
y=x1/3的導函數應該這樣求 y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因為y的反函數是x=y3)，
=1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(將y=x1/3帶入即可) 實際上反函數求導法則是根據下面的原則
所以反函數求導法則的意思是說，反函數的導數，等于x對y求導的倒數。我們再以反三角函數來作為例子，希望學到這點的朋友能夠真正理解他。
例題：求y=arcsinx的導函數。 首先，函數y=arcsinx的反函數為x=siny，所以： y‘=1/sin’y=1/cosy
因為x=siny，所以cosy=√1-x2；(那個啥，這個符號輸入有點蛋疼，不過各位應該能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。
同理大家可以求其他幾個反三角函數的導數。所以以后在求涉及到反函數的導數時，先將反函數求出來，只是這里的反函數是以x為因變量，y為自變量，這個要和我們平時的區分開。最后將y想法設法換成x即可。
相信大家對這一點應該有所明白的吧！大家可以試著求y=arctanx的導函數，然后與結果進行對照。 結論:反函數與原函數一起運算時，不要將反函數的y改寫成x
原文鏈接：http://xuefuzi.com/post-319.html 參考證明：http://wenku.baidu.com/link?url=OqQYhhR-6M7k831zAOqV_lhSuFoJQFZw-f0Qz_hqj4_7UVLUaXzh6sqcsozYeMPbrgNHQOZGKlM__yVOWEHR9nAHE6EaYW8wHkW5Kd7EjO3 ??

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總結

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